〔关键词〕 二次函数;图象;系数;关系
　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)07(A)—0025—01
　　
　　函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)叫做二次函数.二次函数是七年级—九年级数学知识的重要组成部分,其解析式中的a,b,c对图象的形状和位置、一元二次方程的根及二次三项式值的情况起着重要作用.现归纳如下:
　　1. a决定抛物线的开口方向:a>0?圮开口向上;a<0?圮开口向下;|a|决定抛物线的开口大小,|a|的值越大,开口越小.
　　2. b与a共同决定着对称轴的位置:a,b异号,对称轴在y轴右侧;a,b同号,对称轴在y轴左侧;b=0时,对称轴为y轴.
　　3. (1)c决定抛物线与y轴交点的位置:c>0?圮交点在y轴正半轴;c<0 ?圮交点在y轴负半轴;c=0?圮交点在原点.
　　(2)(■,0)与(■,0)是抛物线与x轴的交点坐标;横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根.
　　4. ?驻(?驻=b2-4ac)决定抛物线与x轴是否有交点及交点的个数:?驻>0 ?圮与x轴有两个交点;?驻=0 ?圮与x轴有一个交点;?驻<0?圮与x轴没有交点.
　　5. -■,■是抛物线的顶点坐标,其中,x=-■是抛物线的对称轴方程,y=■是抛物线的最值:a>0时,y有最小值;a<0时,y有最大值.
　　6. ■是抛物线与x轴两个交点之间的距离:d=|x1-x2|.
　　7. 当a≠0,b=0,c=0时,抛物线顶点在原点,对称轴为y轴;当a≠0,b=0,c≠0时,抛物线顶点在y轴上,对称轴为y轴;当a≠0,b≠0,c=0时,抛物线过原点,一元二次方程有一零根.
　　例1:如左图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象为图中抛物线,则下面不等式中能成立的个数有( ).
　　①abc>0;②b　　④2c<3b;⑤c>2b.
　　A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
　　解:∵抛物线开口向下,∴a<0.
　　∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.
　　∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴-■>0, ∴b>0, ∴abc<0, ∴ ①不成立.
　　∵当x=-1时,对应的函数值y=a(-1)2+b·(-1)+c=a-b+c.而由图象可知,x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴b>a+c,∴②不成立.
　　当x=1时,对应的函数值y=a·12+b·1+c=a+b+c.又由图象可知,当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,∴③不成立.
　　∵由上得b>a+c,又∵-■=1,∴a=-■b,∴2c<3b,∴ ④成立.
　　∵2c<3b,b>0,∴c<■b<2b,∴c<2b,∴⑤不成立.
　　∴本题中不等式成立的只有④,故选A.
　　例2:求证:不论m取何值,二次函数y=x2-(m+4)x+2(m+1)的图象与x轴都有两个交点.
　　证明:∵?驻=[-(m+4)]2-4×1×2(m+1)=m2+8>0,∴不论m取何值,此抛物线与x轴都有两个交点.
　　例3:抛物线y=x2+nx+n-2与x轴的两个交点间的距离是 .
　　分析:可设两交点的横坐标分别为x1,x2,从而两点间的距离d=|x1-x2|=■=■.
　　例4:已知抛物线y=x2+(k-4)x-k与x轴交于A,B两点,关于y轴对称,求抛物线的解析式.
　　解:抛物线y=x2+(k-4)x-k关于y轴对称→x=-■=0 → b=0 → k-4=0 → k=4 → y=x2-4.
　　总之,a决定抛物线的开口方向,b,c确定抛物线的形状与位置.正是由于a,b,c对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的形状、位置的影响,蕴含着方程、不等式、函数等数学内容及数形结合的数学思想,所以是近几年中考的热点,也对学生以后的数学学习具有非同寻常的意义.