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解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
示范性题
例1. 实数x、y满足4x-5xy+4y=5 （ ①式） ，设S=x+y，求+的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S=x+y联想到cosα+sinα=1，于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S-5S·sinαcosα=5
解得 S= ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ +=+==
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α=的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S=x+y，设x=+t，y=-t，t∈[-，]，
则xy=±代入①式得：4S±5=5，
移项平方整理得 100t+39S-160S+100=0 。
∴ 39S-160S+100≤0 解得：≤S≤
∴ +=+==
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+sinα=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x+y而按照均值换元的思路，设x=+t、y=-t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x=a+b，y=a-b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b，y=a-b，代入①式整理得3a+13b=5 ，求得a∈[0，]，所以S=（a-b）+（a+b）=2（a+b）=+a∈[，]，再求+的值。
例2. △ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，+=-，求cos的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A+C=120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A+C=2B，可得 ，
由A+C=120°，设，代入已知等式得：
+=+=+===-2，
解得：cosα=， 即：cos=。
【另解】由A+C=2B，得A+C=120°，B=60°。所以+=-
=-2，设=-+m，=--m ，
所以cosA=，cosC=，两式分别相加、相减得：
cosA+cosC=2coscos=cos=，
cosA-cosC=-2sinsin=-sin=，
即：sin=-，=-，代入sin+cos=1整理得：3m-16m-12=0，解出m=6，代入cos==。
【注】 本题两种解法由“A+C=120°”、“+=-2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A+C=2B，得A+C=120°，B=60°。所以+=-=-2，即cosA+cosC=-2cosAcosC，和积互化得：
2coscos=-[cos（A+C）+cos（A-C），即cos=-cos（A-C）=-（2cos-1），整理得：4cos+2cos-3=0，
解得：cos=
y
， ，
- x
例3. 设a>0，求f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。
【解】 设sinx+cosx=t，则t∈[-，]，由（sinx+cosx）=1+2sinx·cosx得：sinx·cosx=
∴ f（x）=g（t）=-（t-2a）+ （a>0），t∈[-，]
t=-时，取最小值：-2a-2a-
当2a≥时，t=，取最大值：-2a+2a- ；
当0<2a≤时，t=2a，取最大值： 。
∴ f（x）的最小值为-2a-2a-，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-，]）与sinx+cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx±cosx，sinxcsox），经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
示范性题
例1. 实数x、y满足4x-5xy+4y=5 （ ①式） ，设S=x+y，求+的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S=x+y联想到cosα+sinα=1，于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S-5S·sinαcosα=5
解得 S= ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ +=+==
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α=的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S=x+y，设x=+t，y=-t，t∈[-，]，
则xy=±代入①式得：4S±5=5，
移项平方整理得 100t+39S-160S+100=0 。
∴ 39S-160S+100≤0 解得：≤S≤
∴ +=+==
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+sinα=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x+y而按照均值换元的思路，设x=+t、y=-t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x=a+b，y=a-b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b，y=a-b，代入①式整理得3a+13b=5 ，求得a∈[0，]，所以S=（a-b）+（a+b）=2（a+b）=+a∈[，]，再求+的值。
例2. △ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，+=-，求cos的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A+C=120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A+C=2B，可得 ，
由A+C=120°，设，代入已知等式得：
+=+=+===-2，
解得：cosα=， 即：cos=。
【另解】由A+C=2B，得A+C=120°，B=60°。所以+=-
=-2，设=-+m，=--m ，
所以cosA=，cosC=，两式分别相加、相减得：
cosA+cosC=2coscos=cos=，
cosA-cosC=-2sinsin=-sin=，
即：sin=-，=-，代入sin+cos=1整理得：3m-16m-12=0，解出m=6，代入cos==。
【注】 本题两种解法由“A+C=120°”、“+=-2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A+C=2B，得A+C=120°，B=60°。所以+=-=-2，即cosA+cosC=-2cosAcosC，和积互化得：
2coscos=-[cos（A+C）+cos（A-C），即cos=-cos（A-C）=-（2cos-1），整理得：4cos+2cos-3=0，
解得：cos=
y
， ，
- x
例3. 设a>0，求f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。
【解】 设sinx+cosx=t，则t∈[-，]，由（sinx+cosx）=1+2sinx·cosx得：sinx·cosx=
∴ f（x）=g（t）=-（t-2a）+ （a>0），t∈[-，]
t=-时，取最小值：-2a-2a-
当2a≥时，t=，取最大值：-2a+2a- ；
当0<2a≤时，t=2a，取最大值： 。
∴ f（x）的最小值为-2a-2a-，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-，]）与sinx+cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx±cosx，sinxcsox），经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。