论文部分内容阅读
摘 要:本文笔者就二元一次方程(组)做了四点归纳,教师在教学过程中及其学生在学习过程中应重点把握好四关,即概念关、解关、解法关、应用关等四点。
关键词:二元一次方程(组) 概念 解法 应用
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00117-02
七年级华师版数学第七章二元一次方程(组)在本册中起到了承上起下的作用,它承接了第六章一元一次方程,同时也为第八章不等式奠定了坚实的基础,并且本章在中考中也占据了较重的比例,笔者认为应着重地把握好四关。
一 二元一次方程(组)的概念关
含有两个未知数,并且未知数项的次数都是一,像这样的方程叫做二元一次方程;把两个二元一次方程合在一起,就组成一个二元一次方程组。
例1:(1) x3m-6-3y2n+1=10是二元一次方程,则m=___n=___。
(2)在下列方程中(1)x+y=0,(2)y=2x,(3)x2-y=0,(4)x2-y=1,(5)+y=2 其中是二元一次方程的有( )。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析:在方程中,“元”是指未知数,“二元”就指方程中有且只含二个未知数,“未知数项的次数为1”是指含有未知数项的次数是1。如xy的次数就为2,同时二元一次方程必须是整式方程,如+y=2就应是分式方程。
解:(1)因为3m-6=12n+1=1所以m=,n=0
(2)故选B。
(3)下列方程式中不是二元一次方程组的是____。
A、3X-2Y=04X-1=YB、X+Y=5Y=10C、x2-2x=x2+yx-y=20D、 x-2y=04x-1=y
分析:方程组中一共含有两个未知数即可,不是每个方程都必须含有两个未知数,如X+Y=5Y=10、x2-2x=x2+yx-y=20就是二元一次方程组。
解:(3)故选D。
二 二元一次方程(组)的解关
使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值,叫二元一次方程的解;使二元一次方程组两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。
例2:(1)已知x=0y=-1是方程组x+2y=a2x+by=-2的解,求a、b。
分析:要求a、b的值,只要求出a、b的值代入即可,因而我们可根据x=0y=-1代入方程组中,得到有关a、b方程组,从而求出a、b的值。
解:因为x=0y=-1是x+2y=a2x+by=-2的解,
所以0+2×(-1)=a0+(-1)×b=-2,解得a=-2b=2,所以ab=(-2)2=4。
(2)若关于xy的方程x+y=2a①x-y=4a② 的解满足x+2y=11③
则a=_____.
分析:因为原方程组的解满足第③方程,所以我们首先算出①②方程中x y的解,再将x y 的解代入③方程中,重新构成含有未知数a的方程,从而算出a的值。
解:①+②得: X=3a
②-①得:Y=-a,将x=3ay=-a代入③得:3a+2×(-a)=11
所以a=11。
(3)甲乙两个小马虎在练习解方程组ax+y=10x+by=7时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,解得方程组的解为x=1y=6,乙看错了方程组中的b,解得方程组的解为x=-1y=12,求原方程组a,b正确的值。
分析:因为甲看错了系数a,所以x=1y=6满足方程x+by=7,代入即可算出b的值;因为乙看错了系数b ,所以x=-1y=12满足方程ax+y=10,代入即可算出a 的值。
解:因为甲看错了系数a 因为乙看错了系数b
所以x=1y=6满足x+by=7所以x=-1y=12满足方程ax+y=10
代入得1+6b=7代入得-a+12=10
解得b=1 得a=2
所以a=2,b=1
(4)x+3y=7的整数解有____。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析:二元一次方程的解本应有无数对,但在某些实际运用中应只需找符合要求的解,如整数解,正整数解等。因而通过例出满足一个未知数的值,再求出另一个未知数符合要求的解。
解:当x取0、1、2、3、4时,则y取 、2、、、1
所以整数解就只有x=1y=2 x=4y=1两对,故选B。
三 二元一次方程的解法关
方程组的解法指导思想是“消元”,由“二元”消为“一元”求出一个未知数的解后,再求出另一个未知数的解,“消元”的方程有两种,第一种代入消元,第二种加减消元。
例3:(1)已知方程3x+2y=4用含x的式子表示y,则y=___ 分析:用一个未知数表示另一个未知数是“代入消元”的首先步骤,也是关键步骤,目的是将某一个未知数变形为x=ay+b或(y=ax+b)的形式,再代入另一个方程中进行求解。
解:因为2y=4-3x,所以y=。
(2)解方程组: 0.5x-3y=-1 ①5y=3+x ②
分析:如果两个方程中某一个未知数的系数相同或相反时,可直接加减,如不同或不相反时可取系数的最小公倍数变形后再相加减,从而将“二元”消为“一元”求解,同时“加减消元”时应注意“同减反加,格式对齐再加减”。
解:将②变形得: 0.5x-3y=-1 ①0.5x+5y=3 ②
①+②得2y=2,即y=1。
把y=1代入①得:x=4。
所以x=4y=1
四 二元一次方程(组)应用关
例4:(1)文字型:某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台,改进生产技术后,计划第二季度生产这两种机器554台,其中甲种机器产量比第一季度增产10%,乙种机器比第一季度增产20%,该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?
分析:解实际应用题时关键是设出未知数,找出题目中的等量关系列出方程,再求解,以达到解决问题的目的。
解:设甲机器第一季度生产x台,乙种机器生产y台,根据题意得:x+y=480(1+10%)x+(1+20%)y=554
解之得x=220y=260,经检验符合题意。
答:该厂一季度生产甲220台,乙260台。
(2)图文型:某酒店客房部有三人间,双人间客房,收费标准如下:
普通(元/天) 豪华(元/天)
三人间 150 300
双人间 140 400
为吸引游客,实行团体入住五折优惠措施,一个50人的旅游团在优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人普通间客房,这50人恰使每间客房住满,且一天共花去住宿费1510元,则旅游团住了三人间和双人间客房各多少间?
分析:图文型或图表型应用题的关键是要看懂图表,然后同样设出未知数再找出等量关系列方程组求解。
解:设三人间有x间,双人间有y间,根据题意得:
3x+2y=50150×50%x+140×50%y=1510
解之得x=8y=13,经检验符合题意。
答:旅游团住了三人间8间,双人间13间。
关键词:二元一次方程(组) 概念 解法 应用
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00117-02
七年级华师版数学第七章二元一次方程(组)在本册中起到了承上起下的作用,它承接了第六章一元一次方程,同时也为第八章不等式奠定了坚实的基础,并且本章在中考中也占据了较重的比例,笔者认为应着重地把握好四关。
一 二元一次方程(组)的概念关
含有两个未知数,并且未知数项的次数都是一,像这样的方程叫做二元一次方程;把两个二元一次方程合在一起,就组成一个二元一次方程组。
例1:(1) x3m-6-3y2n+1=10是二元一次方程,则m=___n=___。
(2)在下列方程中(1)x+y=0,(2)y=2x,(3)x2-y=0,(4)x2-y=1,(5)+y=2 其中是二元一次方程的有( )。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析:在方程中,“元”是指未知数,“二元”就指方程中有且只含二个未知数,“未知数项的次数为1”是指含有未知数项的次数是1。如xy的次数就为2,同时二元一次方程必须是整式方程,如+y=2就应是分式方程。
解:(1)因为3m-6=12n+1=1所以m=,n=0
(2)故选B。
(3)下列方程式中不是二元一次方程组的是____。
A、3X-2Y=04X-1=YB、X+Y=5Y=10C、x2-2x=x2+yx-y=20D、 x-2y=04x-1=y
分析:方程组中一共含有两个未知数即可,不是每个方程都必须含有两个未知数,如X+Y=5Y=10、x2-2x=x2+yx-y=20就是二元一次方程组。
解:(3)故选D。
二 二元一次方程(组)的解关
使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值,叫二元一次方程的解;使二元一次方程组两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。
例2:(1)已知x=0y=-1是方程组x+2y=a2x+by=-2的解,求a、b。
分析:要求a、b的值,只要求出a、b的值代入即可,因而我们可根据x=0y=-1代入方程组中,得到有关a、b方程组,从而求出a、b的值。
解:因为x=0y=-1是x+2y=a2x+by=-2的解,
所以0+2×(-1)=a0+(-1)×b=-2,解得a=-2b=2,所以ab=(-2)2=4。
(2)若关于xy的方程x+y=2a①x-y=4a② 的解满足x+2y=11③
则a=_____.
分析:因为原方程组的解满足第③方程,所以我们首先算出①②方程中x y的解,再将x y 的解代入③方程中,重新构成含有未知数a的方程,从而算出a的值。
解:①+②得: X=3a
②-①得:Y=-a,将x=3ay=-a代入③得:3a+2×(-a)=11
所以a=11。
(3)甲乙两个小马虎在练习解方程组ax+y=10x+by=7时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,解得方程组的解为x=1y=6,乙看错了方程组中的b,解得方程组的解为x=-1y=12,求原方程组a,b正确的值。
分析:因为甲看错了系数a,所以x=1y=6满足方程x+by=7,代入即可算出b的值;因为乙看错了系数b ,所以x=-1y=12满足方程ax+y=10,代入即可算出a 的值。
解:因为甲看错了系数a 因为乙看错了系数b
所以x=1y=6满足x+by=7所以x=-1y=12满足方程ax+y=10
代入得1+6b=7代入得-a+12=10
解得b=1 得a=2
所以a=2,b=1
(4)x+3y=7的整数解有____。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析:二元一次方程的解本应有无数对,但在某些实际运用中应只需找符合要求的解,如整数解,正整数解等。因而通过例出满足一个未知数的值,再求出另一个未知数符合要求的解。
解:当x取0、1、2、3、4时,则y取 、2、、、1
所以整数解就只有x=1y=2 x=4y=1两对,故选B。
三 二元一次方程的解法关
方程组的解法指导思想是“消元”,由“二元”消为“一元”求出一个未知数的解后,再求出另一个未知数的解,“消元”的方程有两种,第一种代入消元,第二种加减消元。
例3:(1)已知方程3x+2y=4用含x的式子表示y,则y=___ 分析:用一个未知数表示另一个未知数是“代入消元”的首先步骤,也是关键步骤,目的是将某一个未知数变形为x=ay+b或(y=ax+b)的形式,再代入另一个方程中进行求解。
解:因为2y=4-3x,所以y=。
(2)解方程组: 0.5x-3y=-1 ①5y=3+x ②
分析:如果两个方程中某一个未知数的系数相同或相反时,可直接加减,如不同或不相反时可取系数的最小公倍数变形后再相加减,从而将“二元”消为“一元”求解,同时“加减消元”时应注意“同减反加,格式对齐再加减”。
解:将②变形得: 0.5x-3y=-1 ①0.5x+5y=3 ②
①+②得2y=2,即y=1。
把y=1代入①得:x=4。
所以x=4y=1
四 二元一次方程(组)应用关
例4:(1)文字型:某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台,改进生产技术后,计划第二季度生产这两种机器554台,其中甲种机器产量比第一季度增产10%,乙种机器比第一季度增产20%,该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?
分析:解实际应用题时关键是设出未知数,找出题目中的等量关系列出方程,再求解,以达到解决问题的目的。
解:设甲机器第一季度生产x台,乙种机器生产y台,根据题意得:x+y=480(1+10%)x+(1+20%)y=554
解之得x=220y=260,经检验符合题意。
答:该厂一季度生产甲220台,乙260台。
(2)图文型:某酒店客房部有三人间,双人间客房,收费标准如下:
普通(元/天) 豪华(元/天)
三人间 150 300
双人间 140 400
为吸引游客,实行团体入住五折优惠措施,一个50人的旅游团在优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人普通间客房,这50人恰使每间客房住满,且一天共花去住宿费1510元,则旅游团住了三人间和双人间客房各多少间?
分析:图文型或图表型应用题的关键是要看懂图表,然后同样设出未知数再找出等量关系列方程组求解。
解:设三人间有x间,双人间有y间,根据题意得:
3x+2y=50150×50%x+140×50%y=1510
解之得x=8y=13,经检验符合题意。
答:旅游团住了三人间8间,双人间13间。