摘 要:求数列通项公式是数列中常见的问题,其常用的思想方法是转化思想,本文笔者介绍了一种构造常数数列来求通项的方法。
　　关键词:数列 通项公式 构造
　　【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00111-01
　　
　　求数列通项公式是数列中常见的问题,我们有累加法,累乘法,转化为等差、等比数列,利用数列的前n项Sn和与通项an之间的关系以及递归法等方法来求。常用的思想方法是转化的思想。在数列{an}中满足an+1=an(n∈N+),称数列{an}为常数列。这里笔者给出一种构造常数数列来求通项的方法,与大家一起探讨。
　　一 构造常数列证明等差、等比数列的通项公式
　　 设数列{an}是等差数列,其首项是a1,公差是d,证明它的通项公式是an=a1+(n-1)d。
　　 证明:由等差数列的定义知,an-an-1=d(n≥2),则an-nd=an-1-(n-1)d;
　　所以数列{an-nd}是常数数列,故an-nd=a1-d,于是an=a1+(n-1)d。
　　 设数列{an}是等比数列,其首项是a1,公比是q,证明它的通项公式是an=a1qn-1。
　　 证明:由等比数列的定义知,an=an-1q(n≥2),则=;
　　所以数列{}是常数数列,因此=,于是an=a1qn-1。
　　 在学习等差、等比数列的时候,课本是通过观察规律,用不完全归纳法得出的通项公式,建议通过此法来证明成立,来保证数学的严密性。上面的证明表明,能转化为等差、等比数列的数列都可以用构造常数列来求通项公式。
　　二 构造常数列来求型如:an+1=αan+β(α≠1)的通项公式
　　 例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2求数列{an}的通项公式。
　　 解:由an+1=3an+2得:=,所以{}是常数数列,所以==,因此an=2×3n-1-1。
　　三 构造常数列来求型如an+1=αan+f(n)(α≠1)的数列通项
　　 例2:已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+求数列{an}的通项公式
　　 解:由an+1=an+得:an+1+=an+,所以{an+}是常数列,an+=a1+1=2,所以an=2-。
　　 评:在an+1=αan+f(n)类型中,当(α=1)时,将f(n)化为f(n)=bn+1-bn或f(n)=bn-bn+1
　　四 构造常数列{an+bn}或{an-bn}来求通项
　　 例3:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,求数列{an}的通项公式。
　　 解:由an+1=4an-3n+1得:===
　　 所以an=4n-1+n
　　 例4:在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+,λ>0)求数列{an}的通项公式。(07天津理)
　　 解:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,得:-()n+1-(n+1)=-()n-n,令bn=-()n-n,所以bn+1=bn(n∈N+),因此数列{-()n-n}是常数列。
　　 所以-()n-n=--1=-1(a1=2),于是an=(n-1)λn+2n。
　　 评:以上两例是类型an+1=αan+f(n)中α≠1的情形,当α≠1时,将an+1=αan+f(n)两边同除以αn+1化为=+,令cn=,g(n)=所以cn+1=cn+g(n),化为α=1的情形来解。
　　五 构造常数列来求型如an+1=f(n)an+g(n)的数列通项
　　 例5:在数列{an}中,a1=1,an+1=an,求数列{an}的通项公式。
　　 解:由an+1=an得:(n+1)an+1=nan,所以nan=a1=1
　　 所以an=。
　　 评:对于型如an+1=f(n)an的类型,化f(n)=或f(n)=,构造常数{an,bn}或{}来求通项;若式子中出现了系数,如an+1=αf(n)an,两边同除以αn+1转化为an+1=f(n)an来求。
　　六 构造常数列求型如an+1=f(n)an+g(n)的通项公式
　　 例6:在数列{an}中,a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1)求数列{an}通项公式。
　　 解:由nan+1=(n+1)an+n(n+1)得:-(n+1)=-n,{-n}是常数列,-n=a1-1=0,an=n2。
　　 评:通过上面3例我们可以看到型如an+1=f(n)an+g(n)类型可以化为an+1=αan+f(n)来求解。化f(n)为f(n)=或f(n)=,则 an+1=f(n)an+g(n)化为=+或bn+1an+1=bnan+g(n)bn+1,即可求。