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[摘要]向量是一个很重要的数学概念，在《高等数学》中，向量代数是重点之一。对《高等数学》中向量代数教学做一探讨。目的是通过本课程各知识点的学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
[关键词]向量 线性运算 应用 数量积 向量积 混合积
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1110164－01
向量是一个很重要的数学概念，是数学领域内的一个重要方法与结构，在《高等数学》中，向量代数是重点之一。在学习的过程中有相当一部分学生认为《高等数学》课程中的向量仅是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。本文对《高等数学》中向量代数教学做一探讨。目的是通过本课程各知识点的学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
一、向量的基本概念及其运算
（一）向量的基本概念
基本理论是数学推理论证的核心，在向量代数教与学过程中，基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确。
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，称之为向量或矢量。
2．向量的模：向量的长度称为向量的模。向量a的长度记为∣a∣。
根据向量的定义，如果两个向量的模相等，并且方向也相同，则这两个向量相等记为a=b。由此可见，向量可以在空间任意地平行移动。
方向相同或相反的向量称为是平等的，并记为a∥b.
模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为0向量。零向量的方向规定为任意的，即零向量可以认为平行于任何向量。
（二）向量之间的基本运算
向量之间定义了两类运算，即线性运算和各种积运算。
1．向量的线性运算
（1）向量加法运算。向量的加法可用三角形法则来定义：已知两向量a和b，将b平移使其始点与a的终点重合，则以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量c就是a+b，即c=a+b.向量c称为向量a与b的和。
由两个向量的加法很容易推广到有限多个向量的加法，只要把这些向量首尾相连，而以第一个向量的始点为始点，以最后一个向量的终点为终点的向量就是这些向量的和，这种加法称为折线法。
另外，向量加法也可用平行四边形法则来进行：平移a和b，使它们的始点重合，以a和b为相邻两边作平行四边形，则以a和b的始点为始点的对角线向量c就是a+b，显然由于b的对边向量也等于b，故向量加法的平行四边形法则与上述的三角形法则是等价的。
向量加法的物理意义是：如果a和b表示作用于某物体同一点处的两个力，则a+b表示它们的合力。
向量加法满足如下运算规律
交换律 a+b=b+a
结合律 （a+b）+c=a+（b+c）
由向量的三角形法则可以看出
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
等号成立当且仅当a，b的方向相同。事实上，若a，b，a+b构成一个三角形，则由三角形两边之和大于第三边知
∣a+b∣<∣a∣+∣b∣
若a与b方向相同，则∣a+b∣=∣a∣+∣b∣。反之亦然。
与数量的减法是加法的逆运算一样，向量的减法定义为向量加法的逆运算对于给定的两个向量a,b，如果向量c满足下式c+b=a
则向量c称为向量a与b的差，并记为c=a-b
（2）向量的数乘运算
实数λ与向量a的乘积是一个向量，称为λ与a的数乘，记作λa，它的模∣λa∣=∣λ∣∣a∣，当λ>0时，λa的方向与a相同；当λ<0时，λa的方向与a相反；当λ=0时，λa是零向量。
无论λ为正为负或为零，向量λa都是与向量a平行的。
由此可知：向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使b=λa。
数乘运算满足下列规律
结合律 λ（μa）=（λμ）a=μ（λa）
分配律 （λ+μ）a=λa+μa
2．向量的各种积运算
（1）数量积运算（点积，内积）
对于给定的向量a，b，数∣a∣∣b∣cos
称为向量a和b的数量积，记作a﹒b，即
a﹒b=∣a∣∣b∣cos
作为特例，显然有
a﹒a=∣a∣∣a∣cos=∣a∣²
两个向量a，b互相垂直的充分必要条件是a﹒b=0
（2）向量积运算（叉积，外积）
两向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别定义为
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin﹤a，b﹥
a×b⊥a和b，且a，b，a×b成右手系。
向量积运算满足下列规律
反交换律：a×b=-b×a
与数层向量有结合律：λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）
分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
两向量a与b平行的充分必要条件是a×b=0
（3）混合积运算
向量a，b和c的混合积是一个数量
三个向量a，b，c位于同一平面上（共面）的充分必要条件是（a×b）﹒c=0。
二、向量运算的实际应用
（一）向量数量积的应用
在向量的各种运算中，除线性运算外，最重要的就是数量积运算，按定义
a﹒b=∣a∣∣b∣cos
在物理力学中有广泛的应用，例如：物体在力F的作用下，沿直线从点A移到B，则力F所做的功W=F﹒
由于数量积与向量的长度夹角有关，因此可利用数量积来确定向量的长度及两向量的夹角。
（1）向量的模。（2）两向量的夹角。（3）一向量在另一向量上的投影。（4）向量a与b相互直的充分必要条件是a﹒b=0
理论上，（三维）向量空间是维欧几里得空间的最基本最直观的模型，而在欧氏空间中最重要的基本概念就是向量的内积。
（二）向量的向量积的应用
有很多物理问题可以用向量的向量积表示，例如：设O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，则力对支点的力矩M=OP×F.
由于a×b的模定义为：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin﹤a，b﹥，所以向量的向量积在几何上有如下应用
（1）以向量a和b为邻边的平行四边形的面积S=∣a×b∣
（2）两非零向量a和b相互平行的充分必要条件是a×b=0
（三）向量混合积的应用
由于∣abc∣=(a×b).c=∣a×b∣∣c∣cosα,其中α为向量a×b与向量c的夹角，而在以向量为棱的平行六面体中，底面积（以a与b为邻边的平行四边形面积）为∣a×b∣，高h等于向量c在a×b上投影的绝对值,即
h=±prj(a×b).c=∣c∣cosα
所以有（1）以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积V=∣abc∣
（2）三个向量a，b，c共面的充分必要条件是∣abc∣=0
向量同数学与物理有天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。因此，在向量的教学中，应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。
参考文献：
[1]柳重堪主编，高等数学下册.中央广播电视大学出版社.1999年6月.
[2]田有先等编，新编高等数学.汕头大学出版社.2004年6月.
[关键词]向量 线性运算 应用 数量积 向量积 混合积
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1110164－01
向量是一个很重要的数学概念，是数学领域内的一个重要方法与结构，在《高等数学》中，向量代数是重点之一。在学习的过程中有相当一部分学生认为《高等数学》课程中的向量仅是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。本文对《高等数学》中向量代数教学做一探讨。目的是通过本课程各知识点的学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
一、向量的基本概念及其运算
（一）向量的基本概念
基本理论是数学推理论证的核心，在向量代数教与学过程中，基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确。
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，称之为向量或矢量。
2．向量的模：向量的长度称为向量的模。向量a的长度记为∣a∣。
根据向量的定义，如果两个向量的模相等，并且方向也相同，则这两个向量相等记为a=b。由此可见，向量可以在空间任意地平行移动。
方向相同或相反的向量称为是平等的，并记为a∥b.
模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为0向量。零向量的方向规定为任意的，即零向量可以认为平行于任何向量。
（二）向量之间的基本运算
向量之间定义了两类运算，即线性运算和各种积运算。
1．向量的线性运算
（1）向量加法运算。向量的加法可用三角形法则来定义：已知两向量a和b，将b平移使其始点与a的终点重合，则以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量c就是a+b，即c=a+b.向量c称为向量a与b的和。
由两个向量的加法很容易推广到有限多个向量的加法，只要把这些向量首尾相连，而以第一个向量的始点为始点，以最后一个向量的终点为终点的向量就是这些向量的和，这种加法称为折线法。
另外，向量加法也可用平行四边形法则来进行：平移a和b，使它们的始点重合，以a和b为相邻两边作平行四边形，则以a和b的始点为始点的对角线向量c就是a+b，显然由于b的对边向量也等于b，故向量加法的平行四边形法则与上述的三角形法则是等价的。
向量加法的物理意义是：如果a和b表示作用于某物体同一点处的两个力，则a+b表示它们的合力。
向量加法满足如下运算规律
交换律 a+b=b+a
结合律 （a+b）+c=a+（b+c）
由向量的三角形法则可以看出
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
等号成立当且仅当a，b的方向相同。事实上，若a，b，a+b构成一个三角形，则由三角形两边之和大于第三边知
∣a+b∣<∣a∣+∣b∣
若a与b方向相同，则∣a+b∣=∣a∣+∣b∣。反之亦然。
与数量的减法是加法的逆运算一样，向量的减法定义为向量加法的逆运算对于给定的两个向量a,b，如果向量c满足下式c+b=a
则向量c称为向量a与b的差，并记为c=a-b
（2）向量的数乘运算
实数λ与向量a的乘积是一个向量，称为λ与a的数乘，记作λa，它的模∣λa∣=∣λ∣∣a∣，当λ>0时，λa的方向与a相同；当λ<0时，λa的方向与a相反；当λ=0时，λa是零向量。
无论λ为正为负或为零，向量λa都是与向量a平行的。
由此可知：向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使b=λa。
数乘运算满足下列规律
结合律 λ（μa）=（λμ）a=μ（λa）
分配律 （λ+μ）a=λa+μa
2．向量的各种积运算
（1）数量积运算（点积，内积）
对于给定的向量a，b，数∣a∣∣b∣cos
称为向量a和b的数量积，记作a﹒b，即
a﹒b=∣a∣∣b∣cos
作为特例，显然有
a﹒a=∣a∣∣a∣cos
两个向量a，b互相垂直的充分必要条件是a﹒b=0
（2）向量积运算（叉积，外积）
两向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别定义为
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin﹤a，b﹥
a×b⊥a和b，且a，b，a×b成右手系。
向量积运算满足下列规律
反交换律：a×b=-b×a
与数层向量有结合律：λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）
分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
两向量a与b平行的充分必要条件是a×b=0
（3）混合积运算
向量a，b和c的混合积是一个数量
三个向量a，b，c位于同一平面上（共面）的充分必要条件是（a×b）﹒c=0。
二、向量运算的实际应用
（一）向量数量积的应用
在向量的各种运算中，除线性运算外，最重要的就是数量积运算，按定义
a﹒b=∣a∣∣b∣cos
在物理力学中有广泛的应用，例如：物体在力F的作用下，沿直线从点A移到B，则力F所做的功W=F﹒
由于数量积与向量的长度夹角有关，因此可利用数量积来确定向量的长度及两向量的夹角。
（1）向量的模。（2）两向量的夹角。（3）一向量在另一向量上的投影。（4）向量a与b相互直的充分必要条件是a﹒b=0
理论上，（三维）向量空间是维欧几里得空间的最基本最直观的模型，而在欧氏空间中最重要的基本概念就是向量的内积。
（二）向量的向量积的应用
有很多物理问题可以用向量的向量积表示，例如：设O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，则力对支点的力矩M=OP×F.
由于a×b的模定义为：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin﹤a，b﹥，所以向量的向量积在几何上有如下应用
（1）以向量a和b为邻边的平行四边形的面积S=∣a×b∣
（2）两非零向量a和b相互平行的充分必要条件是a×b=0
（三）向量混合积的应用
由于∣abc∣=(a×b).c=∣a×b∣∣c∣cosα,其中α为向量a×b与向量c的夹角，而在以向量为棱的平行六面体中，底面积（以a与b为邻边的平行四边形面积）为∣a×b∣，高h等于向量c在a×b上投影的绝对值,即
h=±prj(a×b).c=∣c∣cosα
所以有（1）以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积V=∣abc∣
（2）三个向量a，b，c共面的充分必要条件是∣abc∣=0
向量同数学与物理有天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。因此，在向量的教学中，应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。
参考文献：
[1]柳重堪主编，高等数学下册.中央广播电视大学出版社.1999年6月.
[2]田有先等编，新编高等数学.汕头大学出版社.2004年6月.