论文部分内容阅读
解题是数学教学活动的一个重要组成部分，在提高学生的数学认知能力和数学思维能力，培养学生的创新能力等方面起着不可替代的作用。要提高数学解题能力，提升思维能力，除了正确运用数学知识，善于分析题意，选择简洁的解题途径，还应在解题后对解题过程进行分析、归纳、总结、反思。笔者认为，让学生在题后反思，能够促使其较好地掌握数学知识和方法，全面提升学生的思维品质。
一、问卷调查
1.调查对象
为深入了解学生对题后反思这一学习方法的认知程度，笔者选取了郑州市两所中职学校的516名学生为调研对象，并向其发放了调查问卷。
2.调查方法与结果
问卷调查法。笔者设计了《数学题后反思调查问卷》，选取了10道与数学题后反思学习相关的选择题，形成问卷的初稿。选A得3分，选B得2分，选C得1分，得分越高说明该生题后反思能力越强。调查结果统计显示，总分在24分以上的有125人，占被测人数的24.2%；总分在18～23分的有172人，占被测人数的33.3%；总分在18分以下的有219人，占被测人数的42.4%。由此得出结论，大部分学生只是为了完成任务而解题，只要能解出正确答案就行，对自己的解题方法和解题过程从来不加以分析和反思，忽视了归纳数学思想方法，放弃了把感悟由经验上升到规律、由感性上升到理性的机会。长此以往，学生解题思路狭窄，思维的灵活性也得不到提高。
二、题后反思教学法的好处
以上调查表明，题后反思这一方法值得大力推广，好处有三。
1.梳理思路，化零为整
解完一道题后不妨让学生捋一下解题程序，有时会突然发现，一道题的解题模式竟涵盖了很多同类题型的解题方法。这时要引导学生利用迁移规律来解决问题，提高自主学习能力。
如解一元一次不等式3x+6>2-x时，学生很容易得出解题过程，但是如果再对解题过程展开进一步的分析，就会发现解所有一元一次不等式的“三部曲”——移项、合并同类项和三系数化为一。在分析与总结的过程中又回顾了如何移项，哪些是同类项以及不等式的基本性质，一举三得。这样，有利于深化学生对数学知识和解题方法的认识，使其真正领悟到数学的知识结构，促进其创造性思维能力的发展。
2.一题多解，培养思维
在学生解答完题目后，教师要引导学生反思解题的过程，寻找最佳解题方案，提高学生的解题能力。如，想想这道题是怎样做出来的？回忆一下你思考的全过程？为什么要这样做？还有没有其他的方法？如果有，哪种方法更好？等等，帮助学生进行反思。
例题：已知{a}为等差数列，其前10项的和S=100，前100项的和S=10，求前110项的和S
这道题目，学生独立完成后都纷纷发表想法，不少同学采取了这样的解法：要求等差数列的和可先求首项及公差，利用方程思想（常规解法）
设数列{a}的首项为a，公差为d，则10a+×10×9d=100。
100a+×100×99d=10 求出a，d
再由S=110a+d，得出结论。
但还有不少同学选用这样的解法：函数思想（待定系数法）
数列{a}的前n项和S=A+Bn，则
100A+10B=100
10000A+100B=10，解出A=-，B=
再由S=A×110+B×110=-110
还有个别学生选用这样的解法：利用性质（简化运算）
因为数列{a}为等差数列
∴S-S=a+a+……+a==-90
∴a+a=a+a=-2，∴S==-110
学生解题后，教师提出问题要求学生反思，如“想想这道题是怎样做出来的？回忆一下你思考的全过程”。并要求学生用自己的数学语言进行概述，说说自己的解题方法，再对每种方法进行评价。前两种都是很常用的解法，而后一种解法简单明了，见解很独到。最后让学生在保留自己解题方法的基础上，也参考一下别人的方法，把自己的方法和别人的方法进行比较，最后积累属于个人的知识组块。通过此题采用多种解法解答激发了学生的创新思维，能够进一步增强学生勇于探索的科学精神。
3.纠错补漏，加强训练
在解题过程中，出现错误是不可避免的，关键是寻找错因：究竟是知识的负迁移，还是落入命题者的“陷阱”？这样在数学教学中应有意识地选编典型易错题进行训练，引导学生对错误进行全方位地反思，从试误、纠错再到正确的过程中，帮助学生弄清错误的根源，提高反思能力。
如：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。
许多学生是这样解的：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1，则它与抛物线的交点为
y=kx+1y2=2x. ，消去y得（kx+1）2-2x=0。
整理得k2x2+（2k-2）x+1=0。
∵直线与抛物线仅有一个交点，∴△=0解得k=
∴所求直线为y=x+1
如果做过题后进行检查就会发现此解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没做考虑，表现出思维不严密的问题。
正确解法应该是：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以x=0即y轴，它正好与抛物线y2=2x相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个交点。
③一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1（k≠0），
则y=kx+1y2=2x ，∴ k2x2+（2k-2）x+1=0
令Δ=0，解得k = ，
∴？摇所求直线为y=x+1
综上，满足条件的直线为：y=1，x=0，y=x+1
解完题后，如果能反思一下解题过程，不仅能巩固已学的知识，避免解题的疏漏或错误，更重要的是还能对解题思路进一步整理、归纳，对原题进行引申发展，达到深化知识、积累经验的目的。在教学中，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”训练，通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
总之，在数学教学中，要逐步培养学生的题后反思意识，在数学活动中不断进行回顾、总结、评价和调节，让学生在题后反思的过程中自我成长，学会学习，掌握数学知识和方法，全面提升思维品质。（责编 王鹏飞）
一、问卷调查
1.调查对象
为深入了解学生对题后反思这一学习方法的认知程度，笔者选取了郑州市两所中职学校的516名学生为调研对象，并向其发放了调查问卷。
2.调查方法与结果
问卷调查法。笔者设计了《数学题后反思调查问卷》，选取了10道与数学题后反思学习相关的选择题，形成问卷的初稿。选A得3分，选B得2分，选C得1分，得分越高说明该生题后反思能力越强。调查结果统计显示，总分在24分以上的有125人，占被测人数的24.2%；总分在18～23分的有172人，占被测人数的33.3%；总分在18分以下的有219人，占被测人数的42.4%。由此得出结论，大部分学生只是为了完成任务而解题，只要能解出正确答案就行，对自己的解题方法和解题过程从来不加以分析和反思，忽视了归纳数学思想方法，放弃了把感悟由经验上升到规律、由感性上升到理性的机会。长此以往，学生解题思路狭窄，思维的灵活性也得不到提高。
二、题后反思教学法的好处
以上调查表明，题后反思这一方法值得大力推广，好处有三。
1.梳理思路，化零为整
解完一道题后不妨让学生捋一下解题程序，有时会突然发现，一道题的解题模式竟涵盖了很多同类题型的解题方法。这时要引导学生利用迁移规律来解决问题，提高自主学习能力。
如解一元一次不等式3x+6>2-x时，学生很容易得出解题过程，但是如果再对解题过程展开进一步的分析，就会发现解所有一元一次不等式的“三部曲”——移项、合并同类项和三系数化为一。在分析与总结的过程中又回顾了如何移项，哪些是同类项以及不等式的基本性质，一举三得。这样，有利于深化学生对数学知识和解题方法的认识，使其真正领悟到数学的知识结构，促进其创造性思维能力的发展。
2.一题多解，培养思维
在学生解答完题目后，教师要引导学生反思解题的过程，寻找最佳解题方案，提高学生的解题能力。如，想想这道题是怎样做出来的？回忆一下你思考的全过程？为什么要这样做？还有没有其他的方法？如果有，哪种方法更好？等等，帮助学生进行反思。
例题：已知{a}为等差数列，其前10项的和S=100，前100项的和S=10，求前110项的和S
这道题目，学生独立完成后都纷纷发表想法，不少同学采取了这样的解法：要求等差数列的和可先求首项及公差，利用方程思想（常规解法）
设数列{a}的首项为a，公差为d，则10a+×10×9d=100。
100a+×100×99d=10 求出a，d
再由S=110a+d，得出结论。
但还有不少同学选用这样的解法：函数思想（待定系数法）
数列{a}的前n项和S=A+Bn，则
100A+10B=100
10000A+100B=10，解出A=-，B=
再由S=A×110+B×110=-110
还有个别学生选用这样的解法：利用性质（简化运算）
因为数列{a}为等差数列
∴S-S=a+a+……+a==-90
∴a+a=a+a=-2，∴S==-110
学生解题后，教师提出问题要求学生反思，如“想想这道题是怎样做出来的？回忆一下你思考的全过程”。并要求学生用自己的数学语言进行概述，说说自己的解题方法，再对每种方法进行评价。前两种都是很常用的解法，而后一种解法简单明了，见解很独到。最后让学生在保留自己解题方法的基础上，也参考一下别人的方法，把自己的方法和别人的方法进行比较，最后积累属于个人的知识组块。通过此题采用多种解法解答激发了学生的创新思维，能够进一步增强学生勇于探索的科学精神。
3.纠错补漏，加强训练
在解题过程中，出现错误是不可避免的，关键是寻找错因：究竟是知识的负迁移，还是落入命题者的“陷阱”？这样在数学教学中应有意识地选编典型易错题进行训练，引导学生对错误进行全方位地反思，从试误、纠错再到正确的过程中，帮助学生弄清错误的根源，提高反思能力。
如：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。
许多学生是这样解的：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1，则它与抛物线的交点为
y=kx+1y2=2x. ，消去y得（kx+1）2-2x=0。
整理得k2x2+（2k-2）x+1=0。
∵直线与抛物线仅有一个交点，∴△=0解得k=
∴所求直线为y=x+1
如果做过题后进行检查就会发现此解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没做考虑，表现出思维不严密的问题。
正确解法应该是：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以x=0即y轴，它正好与抛物线y2=2x相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个交点。
③一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1（k≠0），
则y=kx+1y2=2x ，∴ k2x2+（2k-2）x+1=0
令Δ=0，解得k = ，
∴？摇所求直线为y=x+1
综上，满足条件的直线为：y=1，x=0，y=x+1
解完题后，如果能反思一下解题过程，不仅能巩固已学的知识，避免解题的疏漏或错误，更重要的是还能对解题思路进一步整理、归纳，对原题进行引申发展，达到深化知识、积累经验的目的。在教学中，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”训练，通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
总之，在数学教学中，要逐步培养学生的题后反思意识，在数学活动中不断进行回顾、总结、评价和调节，让学生在题后反思的过程中自我成长，学会学习，掌握数学知识和方法，全面提升思维品质。（责编 王鹏飞）