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摘 要：“学为中心”的数学教学关键是抓住两点：基于学情分析，注重思想（方法）渗透（引领）。这样，才能让学生想学、能学、会学。《多边形的内角和》的教学重点是公式探索。对此，教师要引导学生从特殊情况四边形、五边形、六边形等入手，寻找一般规律，归纳出n边形的内角和公式;察觉量和拼的方法的局限性，体会作平行线证的方法的困难性和转化为三角形证的方法的优越性;获得从多边形一个顶点、边上一点和内部一点出发连接其他顶点的分割方法，感悟数学思考的有序性。
关键词：学情分析 思想渗透 多边形的内角和
新课改要求数学教学从“教为中心”转到“学为中心”，从“讲授—接受”方式转到“探究—发现”方式，从基于教师的主观预计和心理期待，要求学生死记硬背、机械训练转到基于学生的已有经验和发展水平，引导学生主动、积极、自主、合作学习，真正成为学习的主体，从而理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用基本的数学思想和方法，获得和积累基本的数学活动经验。
那么，“学为中心”的数学教学应该怎样进行？笔者认为，关键是抓住两点：基于学情分析，注重思想（方法）渗透（引领）。这样，才能让学生想学、能学、会学。下面以苏科版初中数学七年级下册第7章第5节“多边形的内角和与外角和”第二课时的教学为例，谈一谈笔者的思考。
一、总体教学设计
“多边形的内角和与外角和”第一课时的主要内容是三角形内角和定理的探索和简单应用。而本节课的主要内容是多边形内角和公式的探索和简单应用。其中，公式探索是公式应用的基础，蕴含着丰富的数学思想方法与数学活动经验，关系到公式理解的广度与深度，因而是教学的重点。
基于“学为中心”的理念，我们应让学生积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，发现、证明从而理解、建构多边形内角和公式。
在多边形内角和公式的探索过程中，学生因为抽象逻辑思维的局限，对于一般情况n边形会感到无从下手。对此，教师要引导学生联想数学中常用的从“简单的做起”的策略，从特殊情况四边形、五边形、六边形等入手，寻找一般规律，归纳出n边形的内角和公式。
在多边形内角和公式的探索过程中，学生类比三角形内角和定理的探索方法，容易想到量、拼以及作平行线证的方法。对此，教师要引导学生发现作平行线证的方法中蕴含的“从未知到已知”的转化思想，进而想到转化为三角形证的方法;还要让学生尝试不同的方法，察觉量和拼的方法的局限性，体会作平行线证的方法的困难性和转化为三角形证的方法的优越性。
在将多边形转化为三角形的过程中，尤其是在多边形边数比较多的情况下，学生往往是凭经验和直觉进行分割的，他们说不清分割的思路、方法或注意事项，甚至可能出现错误。对此，教师要先让学生尝试分割，再对学生进行适当的指导。在学生掌握了从一个顶点出发连对角线的分割方法后，还要引导学生思考其他分割方法，获得从多边形边上一点和内部一点出发连接其他顶点的分割方法，体会方法的本质，感悟数学思考的有序性（层次性和条理性）。
二、具体教学实施
（一）回忆旧知，引入新课
师 三角形的内角和是多少度？你是怎么得到的？
生 （齐）180°。
生 （抢）量出来的。
生 （抢）拼出来的。
生 （抢）证出来的。
师 怎么说理的？
生 作辅助线。
生 作平行线。
生 内错角相等。
生 同旁内角互补。
师 没错，可以通过作辅助线，利用平行线的性质推理得出。这说明我们常常把新问题转化成已经解决的问题来解决，新知识归结为已经学过的知识来理解。那么，学习了三角形的内角和后，接下来要研究什么新问题，学习什么新知识呢？
生 四边形的内角和。
生 五边形的内角和。
生 六边形的内角和。
师 这样说下去说得完吗？
生 说不完。
师 那怎么办呢？
（学生思考。）
师 想一想我们之前经历过的从算术到代数的学习，它们有什么区别？
生 用字母表示数。
师 这样有什么好处？
生 可以使问题中的数量关系更简明，更具有一般性。
师 没错！这就是从特殊到一般的思想。这里，我们确实要研究四边形、五邊形、六边形等特殊多边形的内角和，但最终的目的是研究一般多边形的内角和，用字母表示就是n边形的内角和。那么，应该怎么研究呢？你有什么想法？
生 用量的方法。
生 用拼的方法。
生 用证的方法。
师 怎么证明呢？
生 作平行线？
师 这些方法都可以试一试。这里，别忘了现在三角形的内角和也是已经解决的问题和已经学过的知识了。
生 我们可以尝试把多边形转化为三角形，利用三角形内角和定理求出多边形的内角和。
师 很好！有了研究方法，我们再来想一想研究过程。可以直接研究n边形的内角和吗？
生 似乎有点困难。n边形到底是几边形？我连图都画不出来，更别说拼和量了，转化为三角形好像也很困难。
师 是的。所以，我们应该从简单的做起，先研究特殊的四边形、五边形、六边形等，再寻找规律，尝试归纳一般的n边形的情况。 [设计意图：“学为中心”要求以学生的已有知识、经验和学习需求、方式等为基础展开教学。这里利用学生刚学过的“三角形的内角和”引入，揭示其中的转化思想，让学生自己提出“接下来要研究什么新问题，学习什么新知识”以及“应该怎么研究”，提醒从特殊到一般的归纳思想，从而引出本节课研究、学习的主题以及方法、过程。这样的过程充分唤醒了学生的已有知识和经验，尊重了学生的学习需求和方式，使教学简单、自然，能很好地激发学生的学习兴趣和信心，让学生体会学习的意义，感悟学习的方法。]
（二）分层探究，获得新知
1.探究任意四边形的内角和。
师 我们知道长方形的内角和为360°。那么，任意四边形的内角和是多少呢？
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
生 量出一个四边形的每个内角的度数，相加得360°。
生 把一个四边形的四个内角剪拼到一起，看出是360°。
师 量和拼的方法比较具体直观，但是往往会产生误差，而且缺乏一般性，所以不能完全让人信服。谁是用证明的方法的？
生 我试了，作平行线证明很困难，涉及的角太多。
师 那么，能否把四边形转化成三角形呢？
生 连接AC，可知四边形的内角和为2×180°=360°。
师 没错，连接对角线AC，四边形就被分割为两个三角形了，四边形的内角和就被转化为两个三角形的内角和了。
[设计意图：在确定了研究过程和方法的基础上，放手让学生探索任意四边形的内角和。量、拼和作平行线证以及转化为三角形证的方法都被学生尝试了。在交流比较的基础上，教师引导学生认识到前两种方法的局限性、第三种方法的困难性以及最后一种方法的优越性。这样的教学充分体现了“学为中心”的思想：不是直接告诉学生，而是让学生自己尝试、体会、发现。]
2.探究五边形、六边形的内角和。
师 你能类比刚才四边形内角和的求法，求出五边形、六边形的内角和吗？
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
师 怎么把五边形、六边形转化成三角形呢？
生 还是连接对角线。
师 怎么连接？连接几条？
生 从同一个顶点出发。
生 连接过这个顶点的所有对角线。
师 为什么？不从同一个顶点出发会怎样呢？
生 会出现交叉的对角线，这样图形就太复杂了。
师 不连接过这个顶点的所有对角线会怎样呢？
生 会出现没有被分割成三角形的四边形、五边形等，这样图形就有无法求内角和的部分了。
师 很好！这些就是把多边形分割为三角形需要注意的地方。这样，五边形、六边形分别被分割成了几个三角形？
生 五边形被分割成了3个三角形、六边形被分割成了4个。
师 那么，五边形、六边形的内角和分别是多少呢？
生 五边形的内角和为3×180°=540°，六边形的内角和为4×180°=720°。
生 （突然举手）老师，也可以不这样做。
（教师期待地看着这位学生。）
生 （继续说道）我觉得连一条对角线就行了。刚才那位同学说，不连接过这个顶点的所有对角线，会出现没有被分割成三角形的四边形、五边形等，这样图形就有无法求内角和的部分了。但是我觉得，这里的“无法求内角和的部分”是相对的。比如，连一条对角线可以把五边形分成一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是知道的，而四边形的内角和也已经求出来了。
师 非常好！同学们听懂他的意思了吗？我们之前说要把多边形转化为三角形，是因为我们只知道三角形的内角和。那么，如果我们知道了四边形的内角和，要求五边形的内角和，是不是一定要把五边形分割成三角形呢？
生 不是。可以分割成1个三角形和1个四边形。
师 六边形呢？
生 如果我们只知道三角形的内角和，就分割成4个三角形;如果我们还知道四边形的内角和，还可以分割成2个三角形和1个四边形，或者2个四边形;如果我们还知道五边形的内角和，还可以分割成1个三角形和1个五边形。
师 你们真棒！其实，自然数是一个一个数出来的。这里，我们可以特别关注从三角形内角和到四边形内角和、从四边形内角和到五边形内角和、从五边形内角和到六边形内角和的分割方法。其中蕴含着数学归纳法的思想，即从前一个数的情况到后一个数的情况，同学们以后会学到。
[设计意图：在探索任意四邊形内角和的基础上，继续放手让学生探索五边形、六边形的内角和。学生自然会重点尝试转化为三角形证的方法。五边形、六边形稍微有些复杂，把它们转化为三角形的分割方法也稍微有些复杂，教师顺势引导学生思考分割时要注意的地方，提炼更为精细的方法。这正是“学为中心”思想的体现：以学定教。此外，对一位学生意外生成的体现数学归纳法思想的转化分割方法的处理，提升了教学的广度和深度，也体现了“学为中心”的思想。]
3.探究任意多边形的内角和。
师 说到归纳，我们就来归纳一下。你能通过刚才求出的四边形、五边形、六边形这些特殊多边形的内角和，归纳出n边形这个一般多边形的内角和吗？（出示表1）请你先完成前三行。
师 你看出什么规律了吗？
生 多边形的内角和与多边形的边数有关。从四边形的一个顶点出发可以连4-3=1（条）对角线，可以把四边形分割成4-2=2（个）三角形，因此四边形的内角和是2×180°;从四边形的一个定点出发可以连5-3=2（条）对角线，可以把五边形分割成5-2=3（个）三角形，因此五边形的内角和是3×180°…… 师 那么，从n边形的一个顶点出发，能连几条对角线？
生 n-3。
师 能分割成几个三角形？
生 n-2。
师 因此，n边形的内角和是——
生 （n-2）×180_________。
师 这里对n的取值有要求吗？
生 n是大于或等于3的自然数。
师 好的。下面，我们再用之前提到的数学归纳法的思路，来探索并验证一下这个结论。n边形可以分割为1个三角形和1个n-1边形，n-1边形可以分为1个三角形和1个n-2边形……这样，分1次得到1个三角形和1个n-1边形，分2次得到2个三角形和1个n-2边形……分几次得到几个三角形和另外1个三角形？
生 分n-3次得到n-3个三角形和另外1个三角形。
师 为什么？
生 因为n-（n-3）=3。
师 很好！这时一共分出了多少个三角形？
生 n-3+1=n-2（个）。
师 那么，n边形的内角和是——
生 （n-2）×180______。
[设计意图：在探索五边形、六边形内角和的基础上，继续放手让学生探索n边形的内角和。通过表格形式帮助学生发现规律，经历从特殊到一般的归纳过程。这里的探究主体还是由学生来完成，教师的提问引导只是帮助学生厘清推理的过程。此外，继续利用之前意外生成的数学归纳法的思路，提升教学的广度和深度。]
4.利用其他转化分割方法验证多边形的内角和。
师 刚才，我们是从多边形的一个顶点出发连对角线，将多边形分割成三角形的。
那么，我们还可以怎样将多边形分割成三角形？
（学生思考。）
师 出发的这个点还可以选在哪里？
生 选在一条边上？
生 选在多边形内？
师 请大家试一试。
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
师 请小组派代表来展示。
生 我把出发点选在一条边上，得到了多边形的内角和。
师 这种方法将n边形分割成几个三角形？在计算内角和时多了什么？如何处理？
生 将n边形分割成n-1个三角形。在计算时多了一个平角，需要减去180_____。
生 我把出发点选在多边形内，得到了多边形的内角和。
师 这种方法将n边形分割成几个三角形？在计算内角和时多了什么？如何处理？
生 将n边形分割成n个三角形。在计算时多了一个周角，需要减去360°。
师 很好！由此可见，数学问题的解决思路是很灵活的，而很多方法往往是殊途同归的。大家可以比较不同分割方法的优劣，体会其中不变的转化思想和归纳思想。
[设计意图：引导学生多角度探寻分割的方法，验证多边形的内角和，拓宽学生的视野，加深学生的认识，完善学生的知识结构;兼顾探究过程的回顾总结，让学生体会解决问题方法的多样性、灵活性和思想的统一性、深刻性，发展分析问题、解决问题的能力。]
（三）运用新知，解决问题
教师出示如下问题，让学生用多边形的内角和解决：
【说一说】
1.八边形的内角和等于。
2.已知一个多边形的内角和等于2340°，它的边数是。
3.小明在计算多边形的内角和时求得的度数是1000°，他的答案正确吗？为什么？
【做一做】
4.一个多边形各內角都是120°，则它是几边形？
5.在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F。∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？
学生自主完成后，教师引导学生交流解决这一类问题的方法与注意点。
[设计意图：“说一说”让学生体会到利用多边形内角和公式可以直接解决“已知多边形边数求内角和”“已知多边形内角和求边数”两类问题，并发现多边形的内角和是180°的整数倍的特征，以掌握公式的基本应用。“做一做”
的第1题让学生结合方程方法运用多边形内角和公式，第2题让学生结合几何推理运用多边形内角和公式，由此可以
帮助学生掌握公式的灵活运用，学会数学地思考。]
参考文献：
[1] 张晓斌，付大平.落实“三教”理念，培育数学核心素养[J].中小学教师培训，2017（8）.
关键词：学情分析 思想渗透 多边形的内角和
新课改要求数学教学从“教为中心”转到“学为中心”，从“讲授—接受”方式转到“探究—发现”方式，从基于教师的主观预计和心理期待，要求学生死记硬背、机械训练转到基于学生的已有经验和发展水平，引导学生主动、积极、自主、合作学习，真正成为学习的主体，从而理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用基本的数学思想和方法，获得和积累基本的数学活动经验。
那么，“学为中心”的数学教学应该怎样进行？笔者认为，关键是抓住两点：基于学情分析，注重思想（方法）渗透（引领）。这样，才能让学生想学、能学、会学。下面以苏科版初中数学七年级下册第7章第5节“多边形的内角和与外角和”第二课时的教学为例，谈一谈笔者的思考。
一、总体教学设计
“多边形的内角和与外角和”第一课时的主要内容是三角形内角和定理的探索和简单应用。而本节课的主要内容是多边形内角和公式的探索和简单应用。其中，公式探索是公式应用的基础，蕴含着丰富的数学思想方法与数学活动经验，关系到公式理解的广度与深度，因而是教学的重点。
基于“学为中心”的理念，我们应让学生积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，发现、证明从而理解、建构多边形内角和公式。
在多边形内角和公式的探索过程中，学生因为抽象逻辑思维的局限，对于一般情况n边形会感到无从下手。对此，教师要引导学生联想数学中常用的从“简单的做起”的策略，从特殊情况四边形、五边形、六边形等入手，寻找一般规律，归纳出n边形的内角和公式。
在多边形内角和公式的探索过程中，学生类比三角形内角和定理的探索方法，容易想到量、拼以及作平行线证的方法。对此，教师要引导学生发现作平行线证的方法中蕴含的“从未知到已知”的转化思想，进而想到转化为三角形证的方法;还要让学生尝试不同的方法，察觉量和拼的方法的局限性，体会作平行线证的方法的困难性和转化为三角形证的方法的优越性。
在将多边形转化为三角形的过程中，尤其是在多边形边数比较多的情况下，学生往往是凭经验和直觉进行分割的，他们说不清分割的思路、方法或注意事项，甚至可能出现错误。对此，教师要先让学生尝试分割，再对学生进行适当的指导。在学生掌握了从一个顶点出发连对角线的分割方法后，还要引导学生思考其他分割方法，获得从多边形边上一点和内部一点出发连接其他顶点的分割方法，体会方法的本质，感悟数学思考的有序性（层次性和条理性）。
二、具体教学实施
（一）回忆旧知，引入新课
师 三角形的内角和是多少度？你是怎么得到的？
生 （齐）180°。
生 （抢）量出来的。
生 （抢）拼出来的。
生 （抢）证出来的。
师 怎么说理的？
生 作辅助线。
生 作平行线。
生 内错角相等。
生 同旁内角互补。
师 没错，可以通过作辅助线，利用平行线的性质推理得出。这说明我们常常把新问题转化成已经解决的问题来解决，新知识归结为已经学过的知识来理解。那么，学习了三角形的内角和后，接下来要研究什么新问题，学习什么新知识呢？
生 四边形的内角和。
生 五边形的内角和。
生 六边形的内角和。
师 这样说下去说得完吗？
生 说不完。
师 那怎么办呢？
（学生思考。）
师 想一想我们之前经历过的从算术到代数的学习，它们有什么区别？
生 用字母表示数。
师 这样有什么好处？
生 可以使问题中的数量关系更简明，更具有一般性。
师 没错！这就是从特殊到一般的思想。这里，我们确实要研究四边形、五邊形、六边形等特殊多边形的内角和，但最终的目的是研究一般多边形的内角和，用字母表示就是n边形的内角和。那么，应该怎么研究呢？你有什么想法？
生 用量的方法。
生 用拼的方法。
生 用证的方法。
师 怎么证明呢？
生 作平行线？
师 这些方法都可以试一试。这里，别忘了现在三角形的内角和也是已经解决的问题和已经学过的知识了。
生 我们可以尝试把多边形转化为三角形，利用三角形内角和定理求出多边形的内角和。
师 很好！有了研究方法，我们再来想一想研究过程。可以直接研究n边形的内角和吗？
生 似乎有点困难。n边形到底是几边形？我连图都画不出来，更别说拼和量了，转化为三角形好像也很困难。
师 是的。所以，我们应该从简单的做起，先研究特殊的四边形、五边形、六边形等，再寻找规律，尝试归纳一般的n边形的情况。 [设计意图：“学为中心”要求以学生的已有知识、经验和学习需求、方式等为基础展开教学。这里利用学生刚学过的“三角形的内角和”引入，揭示其中的转化思想，让学生自己提出“接下来要研究什么新问题，学习什么新知识”以及“应该怎么研究”，提醒从特殊到一般的归纳思想，从而引出本节课研究、学习的主题以及方法、过程。这样的过程充分唤醒了学生的已有知识和经验，尊重了学生的学习需求和方式，使教学简单、自然，能很好地激发学生的学习兴趣和信心，让学生体会学习的意义，感悟学习的方法。]
（二）分层探究，获得新知
1.探究任意四边形的内角和。
师 我们知道长方形的内角和为360°。那么，任意四边形的内角和是多少呢？
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
生 量出一个四边形的每个内角的度数，相加得360°。
生 把一个四边形的四个内角剪拼到一起，看出是360°。
师 量和拼的方法比较具体直观，但是往往会产生误差，而且缺乏一般性，所以不能完全让人信服。谁是用证明的方法的？
生 我试了，作平行线证明很困难，涉及的角太多。
师 那么，能否把四边形转化成三角形呢？
生 连接AC，可知四边形的内角和为2×180°=360°。
师 没错，连接对角线AC，四边形就被分割为两个三角形了，四边形的内角和就被转化为两个三角形的内角和了。
[设计意图：在确定了研究过程和方法的基础上，放手让学生探索任意四边形的内角和。量、拼和作平行线证以及转化为三角形证的方法都被学生尝试了。在交流比较的基础上，教师引导学生认识到前两种方法的局限性、第三种方法的困难性以及最后一种方法的优越性。这样的教学充分体现了“学为中心”的思想：不是直接告诉学生，而是让学生自己尝试、体会、发现。]
2.探究五边形、六边形的内角和。
师 你能类比刚才四边形内角和的求法，求出五边形、六边形的内角和吗？
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
师 怎么把五边形、六边形转化成三角形呢？
生 还是连接对角线。
师 怎么连接？连接几条？
生 从同一个顶点出发。
生 连接过这个顶点的所有对角线。
师 为什么？不从同一个顶点出发会怎样呢？
生 会出现交叉的对角线，这样图形就太复杂了。
师 不连接过这个顶点的所有对角线会怎样呢？
生 会出现没有被分割成三角形的四边形、五边形等，这样图形就有无法求内角和的部分了。
师 很好！这些就是把多边形分割为三角形需要注意的地方。这样，五边形、六边形分别被分割成了几个三角形？
生 五边形被分割成了3个三角形、六边形被分割成了4个。
师 那么，五边形、六边形的内角和分别是多少呢？
生 五边形的内角和为3×180°=540°，六边形的内角和为4×180°=720°。
生 （突然举手）老师，也可以不这样做。
（教师期待地看着这位学生。）
生 （继续说道）我觉得连一条对角线就行了。刚才那位同学说，不连接过这个顶点的所有对角线，会出现没有被分割成三角形的四边形、五边形等，这样图形就有无法求内角和的部分了。但是我觉得，这里的“无法求内角和的部分”是相对的。比如，连一条对角线可以把五边形分成一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是知道的，而四边形的内角和也已经求出来了。
师 非常好！同学们听懂他的意思了吗？我们之前说要把多边形转化为三角形，是因为我们只知道三角形的内角和。那么，如果我们知道了四边形的内角和，要求五边形的内角和，是不是一定要把五边形分割成三角形呢？
生 不是。可以分割成1个三角形和1个四边形。
师 六边形呢？
生 如果我们只知道三角形的内角和，就分割成4个三角形;如果我们还知道四边形的内角和，还可以分割成2个三角形和1个四边形，或者2个四边形;如果我们还知道五边形的内角和，还可以分割成1个三角形和1个五边形。
师 你们真棒！其实，自然数是一个一个数出来的。这里，我们可以特别关注从三角形内角和到四边形内角和、从四边形内角和到五边形内角和、从五边形内角和到六边形内角和的分割方法。其中蕴含着数学归纳法的思想，即从前一个数的情况到后一个数的情况，同学们以后会学到。
[设计意图：在探索任意四邊形内角和的基础上，继续放手让学生探索五边形、六边形的内角和。学生自然会重点尝试转化为三角形证的方法。五边形、六边形稍微有些复杂，把它们转化为三角形的分割方法也稍微有些复杂，教师顺势引导学生思考分割时要注意的地方，提炼更为精细的方法。这正是“学为中心”思想的体现：以学定教。此外，对一位学生意外生成的体现数学归纳法思想的转化分割方法的处理，提升了教学的广度和深度，也体现了“学为中心”的思想。]
3.探究任意多边形的内角和。
师 说到归纳，我们就来归纳一下。你能通过刚才求出的四边形、五边形、六边形这些特殊多边形的内角和，归纳出n边形这个一般多边形的内角和吗？（出示表1）请你先完成前三行。
师 你看出什么规律了吗？
生 多边形的内角和与多边形的边数有关。从四边形的一个顶点出发可以连4-3=1（条）对角线，可以把四边形分割成4-2=2（个）三角形，因此四边形的内角和是2×180°;从四边形的一个定点出发可以连5-3=2（条）对角线，可以把五边形分割成5-2=3（个）三角形，因此五边形的内角和是3×180°…… 师 那么，从n边形的一个顶点出发，能连几条对角线？
生 n-3。
师 能分割成几个三角形？
生 n-2。
师 因此，n边形的内角和是——
生 （n-2）×180_________。
师 这里对n的取值有要求吗？
生 n是大于或等于3的自然数。
师 好的。下面，我们再用之前提到的数学归纳法的思路，来探索并验证一下这个结论。n边形可以分割为1个三角形和1个n-1边形，n-1边形可以分为1个三角形和1个n-2边形……这样，分1次得到1个三角形和1个n-1边形，分2次得到2个三角形和1个n-2边形……分几次得到几个三角形和另外1个三角形？
生 分n-3次得到n-3个三角形和另外1个三角形。
师 为什么？
生 因为n-（n-3）=3。
师 很好！这时一共分出了多少个三角形？
生 n-3+1=n-2（个）。
师 那么，n边形的内角和是——
生 （n-2）×180______。
[设计意图：在探索五边形、六边形内角和的基础上，继续放手让学生探索n边形的内角和。通过表格形式帮助学生发现规律，经历从特殊到一般的归纳过程。这里的探究主体还是由学生来完成，教师的提问引导只是帮助学生厘清推理的过程。此外，继续利用之前意外生成的数学归纳法的思路，提升教学的广度和深度。]
4.利用其他转化分割方法验证多边形的内角和。
师 刚才，我们是从多边形的一个顶点出发连对角线，将多边形分割成三角形的。
那么，我们还可以怎样将多边形分割成三角形？
（学生思考。）
师 出发的这个点还可以选在哪里？
生 选在一条边上？
生 选在多边形内？
师 请大家试一试。
（学生独立探索，小组交流，汇总方法。教师巡视、指导。）
师 请小组派代表来展示。
生 我把出发点选在一条边上，得到了多边形的内角和。
师 这种方法将n边形分割成几个三角形？在计算内角和时多了什么？如何处理？
生 将n边形分割成n-1个三角形。在计算时多了一个平角，需要减去180_____。
生 我把出发点选在多边形内，得到了多边形的内角和。
师 这种方法将n边形分割成几个三角形？在计算内角和时多了什么？如何处理？
生 将n边形分割成n个三角形。在计算时多了一个周角，需要减去360°。
师 很好！由此可见，数学问题的解决思路是很灵活的，而很多方法往往是殊途同归的。大家可以比较不同分割方法的优劣，体会其中不变的转化思想和归纳思想。
[设计意图：引导学生多角度探寻分割的方法，验证多边形的内角和，拓宽学生的视野，加深学生的认识，完善学生的知识结构;兼顾探究过程的回顾总结，让学生体会解决问题方法的多样性、灵活性和思想的统一性、深刻性，发展分析问题、解决问题的能力。]
（三）运用新知，解决问题
教师出示如下问题，让学生用多边形的内角和解决：
【说一说】
1.八边形的内角和等于。
2.已知一个多边形的内角和等于2340°，它的边数是。
3.小明在计算多边形的内角和时求得的度数是1000°，他的答案正确吗？为什么？
【做一做】
4.一个多边形各內角都是120°，则它是几边形？
5.在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F。∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？
学生自主完成后，教师引导学生交流解决这一类问题的方法与注意点。
[设计意图：“说一说”让学生体会到利用多边形内角和公式可以直接解决“已知多边形边数求内角和”“已知多边形内角和求边数”两类问题，并发现多边形的内角和是180°的整数倍的特征，以掌握公式的基本应用。“做一做”
的第1题让学生结合方程方法运用多边形内角和公式，第2题让学生结合几何推理运用多边形内角和公式，由此可以
帮助学生掌握公式的灵活运用，学会数学地思考。]
参考文献：
[1] 张晓斌，付大平.落实“三教”理念，培育数学核心素养[J].中小学教师培训，2017（8）.