论文部分内容阅读
摘 要：在数学教学中，教师要充分发掘教材例题和习题，尤其是习题的内涵和价值，引导学生进行丰富而深刻的数学探究活动，充分感悟数学思想和方法。在苏科版初中数学教材中一道“四点共圆”问题的教学中，引导学生探究（发现），凸显了数学探究的一般方法（环节或步骤）：观察、猜想、验证、证明。对此，进一步的体会是，数学教学必须注意引导学生“以今度之，想当然”，大胆猜想；由“想当然”到“知所以然”，小心求证。
关键词：教材习题 数学探究 猜想 求证 “四点共圆”问题
数学中的知识结论是丰富而深刻的。现行数学教材除了把课程标准要求掌握的知识结论在一系列探究的引导铺垫之后明确呈现出来之外，还把很多相关或拓展的知识结论隐藏在例题或习题中。这样，一方面减轻学生学习记忆的负担，另一方面便于学生充分经历数学探究的过程。因此，在数学教学中，教师要充分发掘教材例题和习题，尤其是习题的内涵和价值（因为例题局限于基础性，往往比较简单），引导学生进行丰富而深刻的数学探究活动，充分感悟数学思想和方法。
苏科版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》第4节《线段、角的轴对称性》习题的第4题就是这么一道隐藏重要知识结论、需要充分发掘内涵和价值的题目。对此，笔者引导学生进行了广泛而深入的探究（发现）。
一、习题分析
习题 （1）如图1，利用网格线画出四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O；
（2）观察点O是否在另两边的垂直平分线上；
（3）把四边形ABCD的顶点D向左移动8格，还能观察到与上面相同的结论吗？
按照题目字面意思，学生画出图形，观察图形得出结论并不难。但是，如果就这样结束此题，而不追求题目背后的内涵和价值，则会白白浪费很多教学资源。问题（1）要求学生在网格中画出已知线段的垂直平分线，旨在帮助学生巩固线段垂直平分线的概念；问题（2）要求学生观察所画出的四条垂直平分线是否交于一点，旨在引导学生类比三角形三边的垂直平分线交于一点，猜测四边形四边的垂直平分线交于一点；问题（3）要求学生改变图形，再次画图观察，旨在引导学生得出不同的结论，进而引发关于四边形四边的垂直平分线是否交于一点（即四点是否共圆）的广泛而深入的探究（发现）。
二、教学过程
（一）初步的观察、猜想、验证、证明
学生完成问题（1）（2）后，暂时不让学生完成问题（3）。
师 由此，你有什么发现？
生 可能像三角形三边的垂直平分线交于一点一样，四边形四边的垂直平分线也交于一点。
[说明：康德说：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束的。”通过具体事例寻找（归纳）一类事物的共同属性是人类思维的本能：人们只能感知具体事例，但能形成抽象概念，为的就是找到一般规律，从而更好地认识事物的本质，预测事物的发展。这里，学生观察发现一个四边形各边的垂直平分线交于一点，加上已有三角形中的知识结论做类比，自然会产生一个猜想：和三角形一样，四边形各边的垂直平分线交于一点。当然，这个念头会随着问题（3）的完成而丢失。于是，笔者在学生完成问题（2）后及时提问，让学生把猜想说出来。这样，可以完整凸显数学探究的一般过程。]
师 这只是我们从具体事例中归纳——当然，也有一点从相似事物中类比——而产生的猜想。我们可以称之为猜想1。那么，这个猜想正确吗？
生 不正确。我偷偷做了问题（3），发现这个猜想不正确。
师 很好！这是具体的操作（观察）验证。如果不这样，你能一般地推理出上述猜想不正确吗？
生 还是移动点D，这时AB、BC的垂直平分线保持不变，所以它们的交点不变；而CD的垂直平分线（在竖直方向上）会沿着水平方向移动，所以它可能不经过前述交点，所以四边的垂直平分线不一定交于一点。
师 不错。这样，我们就可以构造出很多的反例了。当然，在某种程度上，这也可以算是一种证明——具有一定的一般性。
[說明：要确定猜想是否正确，学生的第一反应是再找实例验证一下，从而初步感知结论是否成立：如果新的例子与猜想的结论吻合（证实），那么，猜想的结论正确的可能性就得到加强；反之（证伪），猜想的结论就是不正确的。当然，仅仅通过几个例子的证实，在数学上还不能确定一般猜想的正确性；只有通过严格的证明，才能确定数学猜想的正确性。不过，通过具体例子的证伪，即举出反例，在数学上可以否定一般猜想的正确性，即否定数学命题。这里，学生借助于问题（3）给出的反例否定了猜想。在此基础上，笔者引导学生进行推理，帮助学生进一步学会构造反例，同时初步体验证明的一般性。至此，学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤：观察、猜想、验证、证明。]
（二）进一步的观察、猜想、验证、证明
师 刚刚的猜想1不成立，那么问题（2）中四边形各边的垂直平分线交于一点是巧合还是必然呢？要弄清楚这个问题，我们要思考一正、一逆两个一般化（本质性）的问题：什么样的四边形满足各边的垂直平分线交于一点？各边的垂直平分线交于一点的四边形是什么样的？
[说明：所得结论不正确，数学探究就还没达到最终目的。这里，笔者进一步提出了两个问题，凸显了数学探究的根本追求：寻找一般化的结论，本质性地解决问题。这两个问题看似简单，其实指向了一般的本质，包含了各边的垂直平分线交于一点的四边形的性质与判定（充分条件和必要条件），是深刻而全面的。由此可以引导学生展开进一步的探究：如果两个问题全部解决了，也就找到了“各边的垂直平分线交于一点的四边形”的等价概念。]
师 如何解决这两个问题？我们还是从观察开始，寻找蛛丝马迹。从画好的图形中，你能观察到什么？
（学生交流后汇总：①两个内角∠A、∠C是直角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③各边垂直平分线的交点是直角所对的对角线BD的中点；④这个交点到四个顶点距离相等。） 师 很好！这四个结论，①是观察到的，②是联想到的，③是推测出的，而④是基于线段垂直平分线的性质推测出的问题本质——这其实是一个“四点共圆”问题。同学们初三学“圆”的时候还会接触到。所以说，观察和思考往往是分不开的。那么，你觉得什么样的四边形满足各边的垂直平分线交于一点？
生 我们小组讨论认为，一组对角是直角的四边形满足各边的垂直平分线交于一点。
师 这还是我们从具体事例中归纳而产生的猜想——当然，这次我们进一步认识了事例的特征，从而扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。我们可以称之为猜想2。下面大家还是先来验证一下。
（学生画图、观察。）
生 我们小组在格点图中画出了另一个一组对角是直角的四边形，进行了初步的验证，结果发现各边的垂直平分线交于一点。
师 很好！当然，再多的操作（观察），也只是验证了这个猜想的特殊性。要证明这个猜想的一般性，还需要运用（演绎）推理。请大家试一试——其实，刚才发现的结论③和④已经给了我们启发。
生 设BD的中点为O，连接OA，在Rt△ABD中，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可得OA=OB，所以点O在边AB的垂直平分线上。同理，点O也在其他三边的垂直平分线上。所以，点O是四边的垂直平分线的交点，证得猜想2。
师 很好！这里，我们从结论③中找到了要证的交点，又倒过来用结论④，即用线段垂直平分线的判定说明了要证的垂直平分线。
[说明：明确探究目的后，笔者再一次引导学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤：观察、猜想、验证、证明。在这一过程中，学生在观察基础上的多个发现体现了观察与思考的自然结合；教师点出“四点共圆”体现了“以学定教”，为后续的教学埋下了伏笔。学生的观察聚焦了具体的特征，使得猜想做出了调整，笔者点出概念内涵、外延的变化，让学生明晰了经验过程中的思想方法。 此后，学生对猜想的验证驾轻就熟，而证明也因为之前的观察发现以及线段垂直平分线知识、证明三角形三边垂直平分线交于一点方法的储备，显得水到渠成。]
师 在大家的努力下，我们确定了猜想2的正确性。根据之前提出的探究思路，现在我们要确定猜想2的逆向结论的正确性。这个结论就是——
生 各边的垂直平分线交于一点的四边形是一组对角是直角的。
师 不错。我们可以称之为猜想3。你觉得它正确吗？
生 正确。
师 怎么验证或证明呢？
（学生画图、观察。）
生 （出示图2）我们小组从一个点出发，随便画出四条相等的线段，然后顺次连接它们的另一个端点，得到一个四边形。根据猜想2的证明，我们知道，这个四边形各边的垂直平分线交于一点，但是，我们发现，这个四边形没有内角是直角。
师 很好！直接作出各边的垂直平分线交于一点的四边形比较困难，但是，你们灵活地运用了之前发现的结论④，即线段垂直平分线的性质。这里，你们想验证猜想3，结果却找到了一个反例。这说明——
生 猜想3不正确。
师 好的。现在老师用更先进的工具——几何画板——也来找一找反例。（几何画板演示：构造任意四边形ABCD，分别作出四边的垂直平分线，拖动顶点，使得垂直平分线交于一点O，如图3）这个各边的垂直平分线交于一点的四边形也没有一个内角是直角。可见，猜想3确实是错误的。
[说明：这是前一次观察、猜想、验证、证明过程的一个分支——根据之前设计的等价性探究思路，学生提出了前一次猜想的逆向猜想；在验证的过程中，学生活用了之前的观察发现以及线段垂直平分线知识，意外地找到了反例。于是，笔者利用几何画板呈现了更多的反例，强化了对猜想的反驳。再一次否定猜想，让教学过程“一波三折”，充满吸引力，促使学生的探究更深入，所得的结论更严谨。]
（三）最终的观察、猜想、验证、证明
师 猜想2正确，而猜想3不正确，即一组对角是直角的四边形满足各边的垂直平分線交于一点，而各边的垂直平分线交于一点的四边形不一定是一组对角是直角的。这就说明，“一组对角是直角的四边形”不是“各边的垂直平分线交于一点的四边形”的等价概念，它的特征过于特殊，从而过分扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。因此，我们需要用一个特征更加一般的概念来产生一组新的猜想。那么，它是什么样的四边形呢？
生 由四个腰相等的等腰三角形拼成的四边形。
生 他的这个猜想正确，但是不具有操作性：因为无法判断一个四边形是否是由四个腰相等的等腰三角形拼成的；假使判断出来了，那么各边的垂直平分线也就画出来了。
师 我觉得，他说的四边形其实就是刚才那组同学从一个点出发，随便画出四条相等的线段，然后顺次连接它们的另一个端点得到的四边形。就像你说的，判断这个四边形确实不具有操作性，而且本质上就是在判断各边的垂直平分线交于一点的四边形。因此，这个结果不错，但是不好！那么，怎么找更好的结果呢？探索的方向在哪里？（稍停）四边形最基本的要素是边、角以及对角线等。既然之前的特征“一组对角是直角”与角度有关，那么我们就来看看四边形的角度吧。我们还是先观察一些例子，利用几何画板，很容易作出图形并且测量角度。（几何画板演示：拖动四边形ABCD的顶点，保持四边的垂直平分线交于一点O，同步度量四个内角的度数）观察四个内角之间的关系，你有新的发现和猜想吗？
生 我发现它们的对角互补。
生 猜想4：对角互补的四边形满足各边的垂直平分线交于一点。
生 猜想5：各边的垂直平分线交于一点的四边形是对角互补的。
师 好的，我们又得到了两个猜想。怎么验证呢？
生 前面的例子都可以看作验证。
生 而且我们也找不到反例。
师 很好，大家都很聪明，知道帮助发现的例子本身也是验证。这样，我们就来试着给出证明吧。猜想4是否正确呢？ （学生类比“三角形三边的垂直平分线交于一点”的证明，在四边形ABCD中，首先构造出AB、BC的垂直平分线的交点O，得OA=OB=OC；然后尝试直接证明OD与它们相等，遇到困难。教师引导学生运用反证法间接证明。
这里的证明虽然过程有些复杂，但是思路是清楚的：在四边形中，对角互补其实就是对角和相等，于是由角的相等，得线段相等，得点在线段垂直平分线上，利用的是线段垂直平分线的判定。由此你能得出猜想5的证明思路吗？
生 利用线段垂直平分线的性质，由点在线段垂直平分线上，得线段相等，得角的相等。
师 很好。从条件出发，用结论引领，是证明的基本思路。请同学们完成证明。
（学生证明。）
师 前面我们说过，“四边形各边的垂直平分线交于一点”的本质是“四点共圆”。所以，对角互补其实也是“四点共圆”判定与性质。
[说明：再一次否定猜想之后，笔者又一次引导学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤，最终实现了探究目的。对于学生的观察，笔者借助了几何画板；对于学生的猜想，笔者提示了一般化特征，点出了概念内涵、外延的变化；对于学生的验证，笔者强调了其与观察在本质上的一致性；对于学生的证明，笔者注意了难点的引领和思路的启发。这些都是对前面探究的重复和提升，凸显了本节课的逻辑连贯和前后一致。]
（四）拓展作业
最后，教师要求学生课后类比“三角形角平分线交于一点”的知识，拓展“四边形各边的垂直平分线交于一点”的判定与性质，进一步探究四边形角平分线交于一点的判定与性质。
[说明：通过拓展（变式）练习，让学生对本次探究的活动经验（思想方法）学以致用，触类旁通，进一步培养学生敏锐的观察力以及思维的联动性，帮助学生建立起知识之间的网络体系。 ]
三、教学反思
本节课通过对一道教材习题的探究，凸显了数学探究的一般方法（环节或步骤）：观察、猜想、验证、证明。
（一）“以今度之，想当然”，大胆猜想
确定无疑的问题，虽然探索的道路比较艰苦，但是总是可以解决的，因为在探索的道路上，我们至少知道“我们的目标”，能够通过目标引领方法，走向成功。对此，著名数学家黎曼感慨道：“但愿我手中有定理，届时我想必会易如反掌地找出证明。”而著名数学教育家波利亚则更加直接地说：“证明一个数学定理之前，你得先猜到它才行。”可见，猜想在数学中的重要地位。但是，在平时的教学中，我们往往给学生呈现已经成型的定义，将确定无疑的结论抛给学生，让学生证明这些结论，运用这些结论继续证明新的命题，以追求数学的严谨性，训练学生的逻辑思维能力。在这样的环境下，学生会形成一个固化的认识：数学的知识都是确定无疑的，我们接受它们就好了。
殊不知，借助于演绎推理进行的证明只能验证数学结果，而发现任何新知识则需要借助合情（归纳、类比）推理来“预测”数学结果。相对于演绎推理的严谨，合情推理的魅力则在于想象的丰富。丰富的想象和对各种情况的判断更利于培养人的智慧。为此，在教学中，我们要鼓励学生在观察中积累经验，“以今度之，想当然”地大胆猜想，放飞想象的翅膀。思想的飞翔可以“幫助学生积累基于原点思考问题的经验，以及借助直观判断问题的经验”，从而让学生在飞翔之后，能够冷静地进行演绎推理，将新知识落到实处。
（二）由“想当然”到“知所以然”，小心求证
历史上，关于“想当然”的错误例子有很多，最经典的莫过于自由落体的理论。亚里士多德由直观经验“想当然”地认为，物体下落的速度与物体的重量成正比；伽利略通过思想实验构造反例（“重物与轻物结合体”）“知其然”——物体下落的速度与物体的重量无关；牛顿通过严格的逻辑论证（万有引力理论与牛顿运动定律）“知其所以然”——物体下落的加速度恒定。
在从“想当然”到“知其然”到“知其所以然”的过程中，我们需要从不同的角度分析与思考问题。在验证的过程中，教师往往需要引导学生构造反例，证伪一个假命题。由此，学生便能够认识到“想当然”的一些错误，进而体会到要用怀疑、质疑的态度去学习，才能让自己的思想不受约束。当反例出现的时候，教师需要引导学生认识到：简单地否定命题，则收获甚少；明智的做法是修改命题，让结论更加特殊或一般，以适合反例。而当没有反例的时候，无论正向进攻，还是逆向迂回，教师需要引导学生思考如何逻辑地证明命题，以“知其所以然”。
参考文献：
[1] 【英】伊姆雷·拉卡托斯.证明与反驳——数学发现的逻辑[M].康宏逵译.上海：上海译文出版社，1987.
[2] 史宁中.数学思想概论（第4辑）——数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2010.
关键词：教材习题 数学探究 猜想 求证 “四点共圆”问题
数学中的知识结论是丰富而深刻的。现行数学教材除了把课程标准要求掌握的知识结论在一系列探究的引导铺垫之后明确呈现出来之外，还把很多相关或拓展的知识结论隐藏在例题或习题中。这样，一方面减轻学生学习记忆的负担，另一方面便于学生充分经历数学探究的过程。因此，在数学教学中，教师要充分发掘教材例题和习题，尤其是习题的内涵和价值（因为例题局限于基础性，往往比较简单），引导学生进行丰富而深刻的数学探究活动，充分感悟数学思想和方法。
苏科版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》第4节《线段、角的轴对称性》习题的第4题就是这么一道隐藏重要知识结论、需要充分发掘内涵和价值的题目。对此，笔者引导学生进行了广泛而深入的探究（发现）。
一、习题分析
习题 （1）如图1，利用网格线画出四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O；
（2）观察点O是否在另两边的垂直平分线上；
（3）把四边形ABCD的顶点D向左移动8格，还能观察到与上面相同的结论吗？
按照题目字面意思，学生画出图形，观察图形得出结论并不难。但是，如果就这样结束此题，而不追求题目背后的内涵和价值，则会白白浪费很多教学资源。问题（1）要求学生在网格中画出已知线段的垂直平分线，旨在帮助学生巩固线段垂直平分线的概念；问题（2）要求学生观察所画出的四条垂直平分线是否交于一点，旨在引导学生类比三角形三边的垂直平分线交于一点，猜测四边形四边的垂直平分线交于一点；问题（3）要求学生改变图形，再次画图观察，旨在引导学生得出不同的结论，进而引发关于四边形四边的垂直平分线是否交于一点（即四点是否共圆）的广泛而深入的探究（发现）。
二、教学过程
（一）初步的观察、猜想、验证、证明
学生完成问题（1）（2）后，暂时不让学生完成问题（3）。
师 由此，你有什么发现？
生 可能像三角形三边的垂直平分线交于一点一样，四边形四边的垂直平分线也交于一点。
[说明：康德说：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束的。”通过具体事例寻找（归纳）一类事物的共同属性是人类思维的本能：人们只能感知具体事例，但能形成抽象概念，为的就是找到一般规律，从而更好地认识事物的本质，预测事物的发展。这里，学生观察发现一个四边形各边的垂直平分线交于一点，加上已有三角形中的知识结论做类比，自然会产生一个猜想：和三角形一样，四边形各边的垂直平分线交于一点。当然，这个念头会随着问题（3）的完成而丢失。于是，笔者在学生完成问题（2）后及时提问，让学生把猜想说出来。这样，可以完整凸显数学探究的一般过程。]
师 这只是我们从具体事例中归纳——当然，也有一点从相似事物中类比——而产生的猜想。我们可以称之为猜想1。那么，这个猜想正确吗？
生 不正确。我偷偷做了问题（3），发现这个猜想不正确。
师 很好！这是具体的操作（观察）验证。如果不这样，你能一般地推理出上述猜想不正确吗？
生 还是移动点D，这时AB、BC的垂直平分线保持不变，所以它们的交点不变；而CD的垂直平分线（在竖直方向上）会沿着水平方向移动，所以它可能不经过前述交点，所以四边的垂直平分线不一定交于一点。
师 不错。这样，我们就可以构造出很多的反例了。当然，在某种程度上，这也可以算是一种证明——具有一定的一般性。
[說明：要确定猜想是否正确，学生的第一反应是再找实例验证一下，从而初步感知结论是否成立：如果新的例子与猜想的结论吻合（证实），那么，猜想的结论正确的可能性就得到加强；反之（证伪），猜想的结论就是不正确的。当然，仅仅通过几个例子的证实，在数学上还不能确定一般猜想的正确性；只有通过严格的证明，才能确定数学猜想的正确性。不过，通过具体例子的证伪，即举出反例，在数学上可以否定一般猜想的正确性，即否定数学命题。这里，学生借助于问题（3）给出的反例否定了猜想。在此基础上，笔者引导学生进行推理，帮助学生进一步学会构造反例，同时初步体验证明的一般性。至此，学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤：观察、猜想、验证、证明。]
（二）进一步的观察、猜想、验证、证明
师 刚刚的猜想1不成立，那么问题（2）中四边形各边的垂直平分线交于一点是巧合还是必然呢？要弄清楚这个问题，我们要思考一正、一逆两个一般化（本质性）的问题：什么样的四边形满足各边的垂直平分线交于一点？各边的垂直平分线交于一点的四边形是什么样的？
[说明：所得结论不正确，数学探究就还没达到最终目的。这里，笔者进一步提出了两个问题，凸显了数学探究的根本追求：寻找一般化的结论，本质性地解决问题。这两个问题看似简单，其实指向了一般的本质，包含了各边的垂直平分线交于一点的四边形的性质与判定（充分条件和必要条件），是深刻而全面的。由此可以引导学生展开进一步的探究：如果两个问题全部解决了，也就找到了“各边的垂直平分线交于一点的四边形”的等价概念。]
师 如何解决这两个问题？我们还是从观察开始，寻找蛛丝马迹。从画好的图形中，你能观察到什么？
（学生交流后汇总：①两个内角∠A、∠C是直角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③各边垂直平分线的交点是直角所对的对角线BD的中点；④这个交点到四个顶点距离相等。） 师 很好！这四个结论，①是观察到的，②是联想到的，③是推测出的，而④是基于线段垂直平分线的性质推测出的问题本质——这其实是一个“四点共圆”问题。同学们初三学“圆”的时候还会接触到。所以说，观察和思考往往是分不开的。那么，你觉得什么样的四边形满足各边的垂直平分线交于一点？
生 我们小组讨论认为，一组对角是直角的四边形满足各边的垂直平分线交于一点。
师 这还是我们从具体事例中归纳而产生的猜想——当然，这次我们进一步认识了事例的特征，从而扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。我们可以称之为猜想2。下面大家还是先来验证一下。
（学生画图、观察。）
生 我们小组在格点图中画出了另一个一组对角是直角的四边形，进行了初步的验证，结果发现各边的垂直平分线交于一点。
师 很好！当然，再多的操作（观察），也只是验证了这个猜想的特殊性。要证明这个猜想的一般性，还需要运用（演绎）推理。请大家试一试——其实，刚才发现的结论③和④已经给了我们启发。
生 设BD的中点为O，连接OA，在Rt△ABD中，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可得OA=OB，所以点O在边AB的垂直平分线上。同理，点O也在其他三边的垂直平分线上。所以，点O是四边的垂直平分线的交点，证得猜想2。
师 很好！这里，我们从结论③中找到了要证的交点，又倒过来用结论④，即用线段垂直平分线的判定说明了要证的垂直平分线。
[说明：明确探究目的后，笔者再一次引导学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤：观察、猜想、验证、证明。在这一过程中，学生在观察基础上的多个发现体现了观察与思考的自然结合；教师点出“四点共圆”体现了“以学定教”，为后续的教学埋下了伏笔。学生的观察聚焦了具体的特征，使得猜想做出了调整，笔者点出概念内涵、外延的变化，让学生明晰了经验过程中的思想方法。 此后，学生对猜想的验证驾轻就熟，而证明也因为之前的观察发现以及线段垂直平分线知识、证明三角形三边垂直平分线交于一点方法的储备，显得水到渠成。]
师 在大家的努力下，我们确定了猜想2的正确性。根据之前提出的探究思路，现在我们要确定猜想2的逆向结论的正确性。这个结论就是——
生 各边的垂直平分线交于一点的四边形是一组对角是直角的。
师 不错。我们可以称之为猜想3。你觉得它正确吗？
生 正确。
师 怎么验证或证明呢？
（学生画图、观察。）
生 （出示图2）我们小组从一个点出发，随便画出四条相等的线段，然后顺次连接它们的另一个端点，得到一个四边形。根据猜想2的证明，我们知道，这个四边形各边的垂直平分线交于一点，但是，我们发现，这个四边形没有内角是直角。
师 很好！直接作出各边的垂直平分线交于一点的四边形比较困难，但是，你们灵活地运用了之前发现的结论④，即线段垂直平分线的性质。这里，你们想验证猜想3，结果却找到了一个反例。这说明——
生 猜想3不正确。
师 好的。现在老师用更先进的工具——几何画板——也来找一找反例。（几何画板演示：构造任意四边形ABCD，分别作出四边的垂直平分线，拖动顶点，使得垂直平分线交于一点O，如图3）这个各边的垂直平分线交于一点的四边形也没有一个内角是直角。可见，猜想3确实是错误的。
[说明：这是前一次观察、猜想、验证、证明过程的一个分支——根据之前设计的等价性探究思路，学生提出了前一次猜想的逆向猜想；在验证的过程中，学生活用了之前的观察发现以及线段垂直平分线知识，意外地找到了反例。于是，笔者利用几何画板呈现了更多的反例，强化了对猜想的反驳。再一次否定猜想，让教学过程“一波三折”，充满吸引力，促使学生的探究更深入，所得的结论更严谨。]
（三）最终的观察、猜想、验证、证明
师 猜想2正确，而猜想3不正确，即一组对角是直角的四边形满足各边的垂直平分線交于一点，而各边的垂直平分线交于一点的四边形不一定是一组对角是直角的。这就说明，“一组对角是直角的四边形”不是“各边的垂直平分线交于一点的四边形”的等价概念，它的特征过于特殊，从而过分扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。因此，我们需要用一个特征更加一般的概念来产生一组新的猜想。那么，它是什么样的四边形呢？
生 由四个腰相等的等腰三角形拼成的四边形。
生 他的这个猜想正确，但是不具有操作性：因为无法判断一个四边形是否是由四个腰相等的等腰三角形拼成的；假使判断出来了，那么各边的垂直平分线也就画出来了。
师 我觉得，他说的四边形其实就是刚才那组同学从一个点出发，随便画出四条相等的线段，然后顺次连接它们的另一个端点得到的四边形。就像你说的，判断这个四边形确实不具有操作性，而且本质上就是在判断各边的垂直平分线交于一点的四边形。因此，这个结果不错，但是不好！那么，怎么找更好的结果呢？探索的方向在哪里？（稍停）四边形最基本的要素是边、角以及对角线等。既然之前的特征“一组对角是直角”与角度有关，那么我们就来看看四边形的角度吧。我们还是先观察一些例子，利用几何画板，很容易作出图形并且测量角度。（几何画板演示：拖动四边形ABCD的顶点，保持四边的垂直平分线交于一点O，同步度量四个内角的度数）观察四个内角之间的关系，你有新的发现和猜想吗？
生 我发现它们的对角互补。
生 猜想4：对角互补的四边形满足各边的垂直平分线交于一点。
生 猜想5：各边的垂直平分线交于一点的四边形是对角互补的。
师 好的，我们又得到了两个猜想。怎么验证呢？
生 前面的例子都可以看作验证。
生 而且我们也找不到反例。
师 很好，大家都很聪明，知道帮助发现的例子本身也是验证。这样，我们就来试着给出证明吧。猜想4是否正确呢？ （学生类比“三角形三边的垂直平分线交于一点”的证明，在四边形ABCD中，首先构造出AB、BC的垂直平分线的交点O，得OA=OB=OC；然后尝试直接证明OD与它们相等，遇到困难。教师引导学生运用反证法间接证明。
这里的证明虽然过程有些复杂，但是思路是清楚的：在四边形中，对角互补其实就是对角和相等，于是由角的相等，得线段相等，得点在线段垂直平分线上，利用的是线段垂直平分线的判定。由此你能得出猜想5的证明思路吗？
生 利用线段垂直平分线的性质，由点在线段垂直平分线上，得线段相等，得角的相等。
师 很好。从条件出发，用结论引领，是证明的基本思路。请同学们完成证明。
（学生证明。）
师 前面我们说过，“四边形各边的垂直平分线交于一点”的本质是“四点共圆”。所以，对角互补其实也是“四点共圆”判定与性质。
[说明：再一次否定猜想之后，笔者又一次引导学生完整地经历了数学探究的基本环节或步骤，最终实现了探究目的。对于学生的观察，笔者借助了几何画板；对于学生的猜想，笔者提示了一般化特征，点出了概念内涵、外延的变化；对于学生的验证，笔者强调了其与观察在本质上的一致性；对于学生的证明，笔者注意了难点的引领和思路的启发。这些都是对前面探究的重复和提升，凸显了本节课的逻辑连贯和前后一致。]
（四）拓展作业
最后，教师要求学生课后类比“三角形角平分线交于一点”的知识，拓展“四边形各边的垂直平分线交于一点”的判定与性质，进一步探究四边形角平分线交于一点的判定与性质。
[说明：通过拓展（变式）练习，让学生对本次探究的活动经验（思想方法）学以致用，触类旁通，进一步培养学生敏锐的观察力以及思维的联动性，帮助学生建立起知识之间的网络体系。 ]
三、教学反思
本节课通过对一道教材习题的探究，凸显了数学探究的一般方法（环节或步骤）：观察、猜想、验证、证明。
（一）“以今度之，想当然”，大胆猜想
确定无疑的问题，虽然探索的道路比较艰苦，但是总是可以解决的，因为在探索的道路上，我们至少知道“我们的目标”，能够通过目标引领方法，走向成功。对此，著名数学家黎曼感慨道：“但愿我手中有定理，届时我想必会易如反掌地找出证明。”而著名数学教育家波利亚则更加直接地说：“证明一个数学定理之前，你得先猜到它才行。”可见，猜想在数学中的重要地位。但是，在平时的教学中，我们往往给学生呈现已经成型的定义，将确定无疑的结论抛给学生，让学生证明这些结论，运用这些结论继续证明新的命题，以追求数学的严谨性，训练学生的逻辑思维能力。在这样的环境下，学生会形成一个固化的认识：数学的知识都是确定无疑的，我们接受它们就好了。
殊不知，借助于演绎推理进行的证明只能验证数学结果，而发现任何新知识则需要借助合情（归纳、类比）推理来“预测”数学结果。相对于演绎推理的严谨，合情推理的魅力则在于想象的丰富。丰富的想象和对各种情况的判断更利于培养人的智慧。为此，在教学中，我们要鼓励学生在观察中积累经验，“以今度之，想当然”地大胆猜想，放飞想象的翅膀。思想的飞翔可以“幫助学生积累基于原点思考问题的经验，以及借助直观判断问题的经验”，从而让学生在飞翔之后，能够冷静地进行演绎推理，将新知识落到实处。
（二）由“想当然”到“知所以然”，小心求证
历史上，关于“想当然”的错误例子有很多，最经典的莫过于自由落体的理论。亚里士多德由直观经验“想当然”地认为，物体下落的速度与物体的重量成正比；伽利略通过思想实验构造反例（“重物与轻物结合体”）“知其然”——物体下落的速度与物体的重量无关；牛顿通过严格的逻辑论证（万有引力理论与牛顿运动定律）“知其所以然”——物体下落的加速度恒定。
在从“想当然”到“知其然”到“知其所以然”的过程中，我们需要从不同的角度分析与思考问题。在验证的过程中，教师往往需要引导学生构造反例，证伪一个假命题。由此，学生便能够认识到“想当然”的一些错误，进而体会到要用怀疑、质疑的态度去学习，才能让自己的思想不受约束。当反例出现的时候，教师需要引导学生认识到：简单地否定命题，则收获甚少；明智的做法是修改命题，让结论更加特殊或一般，以适合反例。而当没有反例的时候，无论正向进攻，还是逆向迂回，教师需要引导学生思考如何逻辑地证明命题，以“知其所以然”。
参考文献：
[1] 【英】伊姆雷·拉卡托斯.证明与反驳——数学发现的逻辑[M].康宏逵译.上海：上海译文出版社，1987.
[2] 史宁中.数学思想概论（第4辑）——数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2010.