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摘 要： 表征是学生解决数学问题的思维工具或问题交流的理解表达，表征水平影响甚至决定着学生的能力.在教学中注重多元表征对学生思维的影响，帮助学生根据具体的情况和要求创造和运用不同的表征时，使其加深对数学知识、定理的本质理解，促使学生交流他们的思维.
关键词： 高中数学 多元表征 动态思维
数学教学中要帮助学生对数学对象进行多元表征，让学生对数学知识形成强大又灵活的内、外部表征系统，是教师的职责，也是高效课堂上的重要保障.
一、训练多元表征能力，提高思维的灵活性
新课程的实施对数学教学有更高、更全面的要求——要求培养学生探究兴趣、创新型思维方式及能力，因此在教学中要高度重视对学生已有知识与经验的必要超越，使他们能用更高的抽象水平重新认识这些知识和经验，从而对已有的认知框架进行拓展与挖掘；还要重视如何通过已有的知识和经验把多元表征变得丰富又生动.加强多元表征的训练，通过交流与沟通，丰富多元表征系统，提高动态思维的灵活性.
教学案例1：如果直线y=kx 1与焦点在x轴上的椭圆：得1≤m≤9.本题的两个关键点：直线y=kx 1中隐藏着直线恒过定点问题及其对“总有公共点”的“总”的理解.不同的理解建立在不同的表征基础上.通过多元表征，增强学生对几何图形的感知能力，帮助他们更彻底地了解题目的本质，从而对解题策略做出动态、灵活的调整，寻求解决问题的最佳策略.
二、展示多元表征思维过程，提高思维合理性
多元表征能够从具体到抽象地把握数学的关系结构模式，强化事物的本质特征.教学时要鼓励学生分享自己的表征信息，促成学生自我反思、调整，从不同的视角丰富和完善自己的内部表征.其整个操作符合人们认识事物本质的规律，做到了不同特征的整体组合，生成足够的有效负荷，提高认知操作的策略水平.
1.打包教学信息，整合教学资源.
教学案例2：在直线与平面垂直的判定定理的教学中，教学内容在以下方面优化后进行打包：（1）实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？（2）必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的三点不共线后放在桌面；（3）用几何图形表示探究的各种情形（图略）；（4）“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条楣交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（5）“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征为：a，b∈π，a∩b=0，l⊥a，l⊥b？圯l⊥π；（6）“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征；（7）命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是l与π的交点（垂足）等.
2.优化多元表征，展示思维过程.
优化多元表征的信息结构、教学设计的时间临近、空间邻近及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳.
表征一：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？
表征二：如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
表征三：“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征是什么？
表征四：“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征是什么？
表征五：“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征是什么？
表征六：命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是与l与π的交点（垂足）.
多元表征的主要方式有动作表征、形象表征、语义表征、数学符号表征.在教学中，利用多种表征方式可以帮助学生从较复杂的情境图中捕捉有用的信息，在真实的情境中体验数学的魅力，特别在立体几何中，渗透了点、线、面的不固定性与开放性问题，通过多元表征，巧妙运用动静之间的转化，拉长了学生理解情境图、感悟数量之间关系的过程，也经历了将一些生活问题抽象为数学问题的过程，挖掘动态素材，有助于空间想象和综合思维能力的培养，寻求问题解决的变换途径和方法，培养动态、创新的思维品质和能力，创造多元表征的交流平台，提高动态思维的灵活性.
三、创设多元表征交流平台，提高思维发散性
多元表征有助于解题思路产生，合理的表征是理解问题的前提，是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式.有助于问题的形象直观思考和简约问题解决的思维长度，能激活学生原有的知识块，通过观察、发现、分析、联想，诱发学生进行多维表征，发散思路，并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活转换.
教学案例3：（s-1）n s 2=0看做关于n的二次方程，若将此式直接改写成x-（s-1）x s 2=0在x∈（1， ∞）上有实数解时，求s的最小值，学生就会联想到运用判别式法求解，但要注意求出最小值后一定要检验.
表征4：从图形表征考虑，由反比例函数及图像平移知识可知（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）表示双曲线一支，令m n=s，则其表示斜率为-1的直线，则原问题可转化为“直线m n=s与曲线（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）有公共点，求s的最小值”.学生通过图像可以发现：当直线与曲线相切时s最小.
由此可知，多元表征启迪动态思维，提高思维的灵活性和广阔性，适宜的表征可以减少运算量，缩短思维过程，优化解题步骤.因此，进行表征时，给学生时间，互相探讨，通过对多元表征的交流，让学生认清每一种表征的优越性与局限性，辨析数学问题的实质，从而有机选择恰当的解题方法.
总之，培养多元表征要注重知识间的网络关系，从不同角度审视同一个问题会得到不同的解题灵感，培养较强的动态思维能力和广阔的思维空间，在问题的研究中进行跳跃式、发散式的动态思考.因此，在数学教学中，为提高学生表征能力和对数学问题的理解能力，教师要引导学生积累知识与数学活动的基本经验，促进学生学习迁移能力的发展，有计划、有目的地进行问题表征的训练，发展学生直觉思维能力和数学语言转换能力，从而加强学生数学问题表征能力的培养.
参考文献：
[1]李静.基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J].西南师范大学学报（自然科学版），2011（3）.
[2]叶晶.基于表征的试题评析[J].福建中学数学，2013（6）.
关键词： 高中数学 多元表征 动态思维
数学教学中要帮助学生对数学对象进行多元表征，让学生对数学知识形成强大又灵活的内、外部表征系统，是教师的职责，也是高效课堂上的重要保障.
一、训练多元表征能力，提高思维的灵活性
新课程的实施对数学教学有更高、更全面的要求——要求培养学生探究兴趣、创新型思维方式及能力，因此在教学中要高度重视对学生已有知识与经验的必要超越，使他们能用更高的抽象水平重新认识这些知识和经验，从而对已有的认知框架进行拓展与挖掘；还要重视如何通过已有的知识和经验把多元表征变得丰富又生动.加强多元表征的训练，通过交流与沟通，丰富多元表征系统，提高动态思维的灵活性.
教学案例1：如果直线y=kx 1与焦点在x轴上的椭圆：得1≤m≤9.本题的两个关键点：直线y=kx 1中隐藏着直线恒过定点问题及其对“总有公共点”的“总”的理解.不同的理解建立在不同的表征基础上.通过多元表征，增强学生对几何图形的感知能力，帮助他们更彻底地了解题目的本质，从而对解题策略做出动态、灵活的调整，寻求解决问题的最佳策略.
二、展示多元表征思维过程，提高思维合理性
多元表征能够从具体到抽象地把握数学的关系结构模式，强化事物的本质特征.教学时要鼓励学生分享自己的表征信息，促成学生自我反思、调整，从不同的视角丰富和完善自己的内部表征.其整个操作符合人们认识事物本质的规律，做到了不同特征的整体组合，生成足够的有效负荷，提高认知操作的策略水平.
1.打包教学信息，整合教学资源.
教学案例2：在直线与平面垂直的判定定理的教学中，教学内容在以下方面优化后进行打包：（1）实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？（2）必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的三点不共线后放在桌面；（3）用几何图形表示探究的各种情形（图略）；（4）“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条楣交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（5）“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征为：a，b∈π，a∩b=0，l⊥a，l⊥b？圯l⊥π；（6）“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征；（7）命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是l与π的交点（垂足）等.
2.优化多元表征，展示思维过程.
优化多元表征的信息结构、教学设计的时间临近、空间邻近及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳.
表征一：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？
表征二：如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
表征三：“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征是什么？
表征四：“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征是什么？
表征五：“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征是什么？
表征六：命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是与l与π的交点（垂足）.
多元表征的主要方式有动作表征、形象表征、语义表征、数学符号表征.在教学中，利用多种表征方式可以帮助学生从较复杂的情境图中捕捉有用的信息，在真实的情境中体验数学的魅力，特别在立体几何中，渗透了点、线、面的不固定性与开放性问题，通过多元表征，巧妙运用动静之间的转化，拉长了学生理解情境图、感悟数量之间关系的过程，也经历了将一些生活问题抽象为数学问题的过程，挖掘动态素材，有助于空间想象和综合思维能力的培养，寻求问题解决的变换途径和方法，培养动态、创新的思维品质和能力，创造多元表征的交流平台，提高动态思维的灵活性.
三、创设多元表征交流平台，提高思维发散性
多元表征有助于解题思路产生，合理的表征是理解问题的前提，是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式.有助于问题的形象直观思考和简约问题解决的思维长度，能激活学生原有的知识块，通过观察、发现、分析、联想，诱发学生进行多维表征，发散思路，并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活转换.
教学案例3：（s-1）n s 2=0看做关于n的二次方程，若将此式直接改写成x-（s-1）x s 2=0在x∈（1， ∞）上有实数解时，求s的最小值，学生就会联想到运用判别式法求解，但要注意求出最小值后一定要检验.
表征4：从图形表征考虑，由反比例函数及图像平移知识可知（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）表示双曲线一支，令m n=s，则其表示斜率为-1的直线，则原问题可转化为“直线m n=s与曲线（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）有公共点，求s的最小值”.学生通过图像可以发现：当直线与曲线相切时s最小.
由此可知，多元表征启迪动态思维，提高思维的灵活性和广阔性，适宜的表征可以减少运算量，缩短思维过程，优化解题步骤.因此，进行表征时，给学生时间，互相探讨，通过对多元表征的交流，让学生认清每一种表征的优越性与局限性，辨析数学问题的实质，从而有机选择恰当的解题方法.
总之，培养多元表征要注重知识间的网络关系，从不同角度审视同一个问题会得到不同的解题灵感，培养较强的动态思维能力和广阔的思维空间，在问题的研究中进行跳跃式、发散式的动态思考.因此，在数学教学中，为提高学生表征能力和对数学问题的理解能力，教师要引导学生积累知识与数学活动的基本经验，促进学生学习迁移能力的发展，有计划、有目的地进行问题表征的训练，发展学生直觉思维能力和数学语言转换能力，从而加强学生数学问题表征能力的培养.
参考文献：
[1]李静.基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J].西南师范大学学报（自然科学版），2011（3）.
[2]叶晶.基于表征的试题评析[J].福建中学数学，2013（6）.