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[摘 要] 使学生感悟知识背后丰富、深刻的数学思想方法应成为我们数学教学所追求的目标之一. 如何在先学后教课堂中渗透、生长数学思想方法？笔者拟从数学思想方法的现状剖析、先学后教课堂的价值定位、先学后教课堂中渗透思想方法的践行策略来阐述自己的实践思考.
[关键词] 数学思想方法；以学促教；生长思想路径
先学后教，主要指在教学中让学生先根据预习提纲自主尝试预习过程，教师在学生学的困惑、疑难之处进行引导梳理，以此达到对学生知识上的点拨帮助，在思维疑点处互动交流，在思想凝练处提升反思. 在这样的课堂中，如何寻找到儿童学与教师导的最佳切入点，是课堂具有生长性的关键，也是教师在教学中要凸显的核心要素.
以“学”的基础定“导”的起点，
为思想发生领航
教师通过设计有针对性的“预习活动单”或“导学单”，给学生提供一张自我探索的学习地图，为学生深度学习提供研究的方向，将学生学习现实、已有认知经验毫无保留地呈现出来. 教师可以充分利用这些富有差异、多样、多元化的学习资源，真正从儿童学习的矛盾处、疑难处、问题处、困惑处，做到以学定教.
如学习“含有小括号的混合运算”一课中，笔者设置了如图1所示的预习导学单：
学生在学习这个内容前，已经具备了丰富解决问题的能力和经验，所以课堂中呈现不同的解决方法是合理存在的现象. 比如：29 25=54（人），54÷9=6（条）；29÷9=3（条）……2（人），25÷9=2（条）……7（人），3 2 1=6（条）；29 25÷9或（29 25）÷9. 分步和综合算式的两种呈现对比恰好是本节课讨论的中心话题，也是引出学习“小括号”的矛盾焦点. 所以，基于儿童已有经验事实的充分预设与合理把握，是预习导学单设置的重要基点，也是本节课主要展开的师生有效对话的主要板块.
“小括号”这节课的数学本质是什么？课上怎样让学生体会“改变运算顺序时，需要‘小括号’这个新符号的产生，感受符号化思想过程”？于是，在学生充分讨论29 25÷9和（29 25）÷9的过程中，教师适时引出：在数学发展史上还用“括线”（在需要运算的式子上面画一条横线）来约束运算顺序，为了统一方便使用，后来由荷兰人吉拉特首先使用“小括号（又叫圆括号）”来改变或约束运算顺序.
学生在参与符号创造的过程中，体验到“具体事物—个性化用符号表示—学会数学地表达”这一逐步符号化、形式化、数学化的过程，消除了对数学符号的神秘感，既感受到了数学符号产生的必然性，又感受到了数学符号的统一性，从而逐步建立起符号意识，形成符号化思想，为后面进一步认识“中括号、大括号”形成良好的学科感受.
以“学”的规律定“导”的内容，
让思想深度优化
学生的课前预习提纲反映了不同层次学生的思维状态，怎样有效捕捉学生预习提纲中的丰富资源、充分暴露学生真实的思维，是教师进一步展开教学的基础. 所以，教师要能敏锐地发现并利用有代表性的信息，组织全体学生对其进行方法剖析、价值判断，这样才能促动生生、师生之间在课堂上的互动生成、思想交流与智慧理辩.
在“搭配的规律”一课，学生通过预习交流，选择不同的学生思考表达方式，主要出现了以下不同的表达成果：
（1）文字描述法；
（2）文字连线法；
（3）符号表示法；
（4）列式计算法；
学生通过多样化的表达方式呈现不同的学习结果，教师教学的立足点不应是预设的流畅教学过程，而应将着眼点放在引导学生在智慧的对话交流中探求知识、体验情感、感悟思想、分享收获，要在教学的动态生成中选择、确立对话的主题和研究的重点. 学生经历“学具搭配—图形搭配—体会符号思想—得出规律—运用规律”的探究过程，在不断分析、比较、思考、质疑、对话中，体会数学思考的价值，模型思想、变与不变、一一对应等数学思想也悄然润泽儿童的心灵.
所以，教师的导既要关注儿童正确方法的解读，更要敏锐地把握学生多样化方法的联系；既要呈现思考的结果，更要完整展现学生的真实思考过程. 只有真正预见出现的各种可能，及时调整并有效选择，真正立足在学生学的需求上进行有效引导和点拨，这样的“教”，才更凸显学的方向性和思想方法的生长性.
以“学”的需求定“导”的策略，
让思想路径精准
在先学后教的课堂中，由于尊重了儿童不同的经验和认知差异，允许他们利用自我已有的经验建构属于自己的知识结构，所以课堂中我们可以听到不同层次的声音，有的是基于问题的思考方法和解决策略的阐述；有的是面对问题中的困惑和不解的质疑；有的是从多样化角度得到的高层次思维水平的解释……
如在“小数加减法”一课教学中，学生除了从竖式计算解决问题外，还出现了许多不同的思考方法. 有的从小数意义的理解出发，有的从生活经验出发，将元化成角后转化成整数加减法思考，有的借助画图理解算式意义得到结果，有的从分数与小数的关系角度切入……这些方法的呈现都是儿童利用已有知识、经验多样化表达的呈现.
图2这类思考方式是结合生活中元、角、分的现实背景，结合生活实际来学习数学. 这类儿童的思维水平停留在一个比较浅层次的水平，数学抽象程度还不够，所以，教师要帮助他们逐步从具体情境中抽象出来，教师的责任是需要引领学生往前走一步.
图3和图5是利用具体的图式表示结果，这类儿童有很好的理解方式，能迅速从头脑中提取小数加减法的表象支撑并再现，借助数与形的完美结合帮助他们理解算理. 他们对于数学的理解是饱满的、丰富的、鲜活的，他们对数学的理解不是生硬的记忆和模仿，而是一种形象化的建构.
图4这类儿童具有较强的抽象能力，利用整数加减法方法合理推导出小数加减法方法，但是，他们是不是真正理解算法的本质内涵呢？每个孩子能找到表象的支撑吗？都能找到图式的原型吗？这时，教师就要循着儿童的思维路径，把孩子拉回知识的原始起点，找到表象的支撑. 这样的数学学习才是丰实的、厚重的、有后劲的. 所以，画图，即利用数形结合思想方法进行深度交流对此类孩子很有启发意义. 这些独特的、富有个性化的表达恰恰是儿童自身发展过程中所需要的一种思维展示和精神需求，在教师精心选择、耐心交流和引导中得到修正或提升，从而让儿童真正体会到课堂自我表达、自我思考的张力，感受、经历数学思考的一种辨析过程. 对学生错误资源适时地修整、概括、提升，能让教学走向开放、走向差异、走向多元，使课堂的逻辑结构发生变化，使学生学与教师教的路径更精准，儿童不仅能收获知识方法，更能感悟到背后深刻、丰富的数学思想.
以“学”的主体定“导”的位置，
让思想互动生长
如果说教师以前在课堂上是冲在前面“教学”的话，那么在先学后教的课堂中教师要适当地学会“退、让”，真正培养学生的学习力，成为课堂学习的主体.
在列表解决问题策略时，教师应巧妙利用学生中最原生态的整理信息时的不同差异资源，在学生真实记录单的层层对比中凸显列表整理信息的方法指导，让学生经历从烦琐、冗长的文字到清楚、简洁的表格演变过程，在活动中帮助学生积累列表整理的经验和策略. 学生在悄无声息中感受到表格简洁、清晰、明了，对应数学思想的魅力，无形中体会列表整理的价值所在，由此自然生发学生学习列表策略的需求，真正关注学生列表策略的获得和初步形成过程，为后面进一步深入理解、探究列表解决实际问题埋下很好的伏笔.
这种基于学生学的教，教师不再一味地盯着自己预设的教学预案，而是能灵活地依据课堂中学生现场、当下的学习进程、学习状态作出判断和调整. 教师舍得给学生提供展示自我思考过程的舞台，并紧紧跟随他们的学习进程，或点拨、或引导、或启发、或提炼. 教师的介入和引导能让学生对自己的学习状况进行这样的描述：让模糊的知识逐渐清晰，让肤浅的方法逐渐深刻，让零碎的思想逐渐系统化. 有了这样的课堂整体观、结构观、系统观，教师就能真正做到为学生学习服务，促进学生的“学”，而不是掩盖、遮蔽、忽略学生的“学”，甚至代替他们的“学”，能真正立足在学生“学”的需求上，相机灵活穿插“教”的引领作用，凸显“教”的内驱力，让课堂恢复“学”的生命力.
回望整个先学后教的学习历程，“教”只有真正从“学”出发，才能将教学的力量用在关键点上，尊重、利用儿童丰富的差异性资源，将“学”推到“教”的前面，让学生在不断修正、辨析、质疑、思考、调整中获得真正自我学习成长历程，促进师生的和谐共长，从而达到一种生命成长与思想浸润的自觉.
[关键词] 数学思想方法；以学促教；生长思想路径
先学后教，主要指在教学中让学生先根据预习提纲自主尝试预习过程，教师在学生学的困惑、疑难之处进行引导梳理，以此达到对学生知识上的点拨帮助，在思维疑点处互动交流，在思想凝练处提升反思. 在这样的课堂中，如何寻找到儿童学与教师导的最佳切入点，是课堂具有生长性的关键，也是教师在教学中要凸显的核心要素.
以“学”的基础定“导”的起点，
为思想发生领航
教师通过设计有针对性的“预习活动单”或“导学单”，给学生提供一张自我探索的学习地图，为学生深度学习提供研究的方向，将学生学习现实、已有认知经验毫无保留地呈现出来. 教师可以充分利用这些富有差异、多样、多元化的学习资源，真正从儿童学习的矛盾处、疑难处、问题处、困惑处，做到以学定教.
如学习“含有小括号的混合运算”一课中，笔者设置了如图1所示的预习导学单：
学生在学习这个内容前，已经具备了丰富解决问题的能力和经验，所以课堂中呈现不同的解决方法是合理存在的现象. 比如：29 25=54（人），54÷9=6（条）；29÷9=3（条）……2（人），25÷9=2（条）……7（人），3 2 1=6（条）；29 25÷9或（29 25）÷9. 分步和综合算式的两种呈现对比恰好是本节课讨论的中心话题，也是引出学习“小括号”的矛盾焦点. 所以，基于儿童已有经验事实的充分预设与合理把握，是预习导学单设置的重要基点，也是本节课主要展开的师生有效对话的主要板块.
“小括号”这节课的数学本质是什么？课上怎样让学生体会“改变运算顺序时，需要‘小括号’这个新符号的产生，感受符号化思想过程”？于是，在学生充分讨论29 25÷9和（29 25）÷9的过程中，教师适时引出：在数学发展史上还用“括线”（在需要运算的式子上面画一条横线）来约束运算顺序，为了统一方便使用，后来由荷兰人吉拉特首先使用“小括号（又叫圆括号）”来改变或约束运算顺序.
学生在参与符号创造的过程中，体验到“具体事物—个性化用符号表示—学会数学地表达”这一逐步符号化、形式化、数学化的过程，消除了对数学符号的神秘感，既感受到了数学符号产生的必然性，又感受到了数学符号的统一性，从而逐步建立起符号意识，形成符号化思想，为后面进一步认识“中括号、大括号”形成良好的学科感受.
以“学”的规律定“导”的内容，
让思想深度优化
学生的课前预习提纲反映了不同层次学生的思维状态，怎样有效捕捉学生预习提纲中的丰富资源、充分暴露学生真实的思维，是教师进一步展开教学的基础. 所以，教师要能敏锐地发现并利用有代表性的信息，组织全体学生对其进行方法剖析、价值判断，这样才能促动生生、师生之间在课堂上的互动生成、思想交流与智慧理辩.
在“搭配的规律”一课，学生通过预习交流，选择不同的学生思考表达方式，主要出现了以下不同的表达成果：
（1）文字描述法；
（2）文字连线法；
（3）符号表示法；
（4）列式计算法；
学生通过多样化的表达方式呈现不同的学习结果，教师教学的立足点不应是预设的流畅教学过程，而应将着眼点放在引导学生在智慧的对话交流中探求知识、体验情感、感悟思想、分享收获，要在教学的动态生成中选择、确立对话的主题和研究的重点. 学生经历“学具搭配—图形搭配—体会符号思想—得出规律—运用规律”的探究过程，在不断分析、比较、思考、质疑、对话中，体会数学思考的价值，模型思想、变与不变、一一对应等数学思想也悄然润泽儿童的心灵.
所以，教师的导既要关注儿童正确方法的解读，更要敏锐地把握学生多样化方法的联系；既要呈现思考的结果，更要完整展现学生的真实思考过程. 只有真正预见出现的各种可能，及时调整并有效选择，真正立足在学生学的需求上进行有效引导和点拨，这样的“教”，才更凸显学的方向性和思想方法的生长性.
以“学”的需求定“导”的策略，
让思想路径精准
在先学后教的课堂中，由于尊重了儿童不同的经验和认知差异，允许他们利用自我已有的经验建构属于自己的知识结构，所以课堂中我们可以听到不同层次的声音，有的是基于问题的思考方法和解决策略的阐述；有的是面对问题中的困惑和不解的质疑；有的是从多样化角度得到的高层次思维水平的解释……
如在“小数加减法”一课教学中，学生除了从竖式计算解决问题外，还出现了许多不同的思考方法. 有的从小数意义的理解出发，有的从生活经验出发，将元化成角后转化成整数加减法思考，有的借助画图理解算式意义得到结果，有的从分数与小数的关系角度切入……这些方法的呈现都是儿童利用已有知识、经验多样化表达的呈现.
图2这类思考方式是结合生活中元、角、分的现实背景，结合生活实际来学习数学. 这类儿童的思维水平停留在一个比较浅层次的水平，数学抽象程度还不够，所以，教师要帮助他们逐步从具体情境中抽象出来，教师的责任是需要引领学生往前走一步.
图3和图5是利用具体的图式表示结果，这类儿童有很好的理解方式，能迅速从头脑中提取小数加减法的表象支撑并再现，借助数与形的完美结合帮助他们理解算理. 他们对于数学的理解是饱满的、丰富的、鲜活的，他们对数学的理解不是生硬的记忆和模仿，而是一种形象化的建构.
图4这类儿童具有较强的抽象能力，利用整数加减法方法合理推导出小数加减法方法，但是，他们是不是真正理解算法的本质内涵呢？每个孩子能找到表象的支撑吗？都能找到图式的原型吗？这时，教师就要循着儿童的思维路径，把孩子拉回知识的原始起点，找到表象的支撑. 这样的数学学习才是丰实的、厚重的、有后劲的. 所以，画图，即利用数形结合思想方法进行深度交流对此类孩子很有启发意义. 这些独特的、富有个性化的表达恰恰是儿童自身发展过程中所需要的一种思维展示和精神需求，在教师精心选择、耐心交流和引导中得到修正或提升，从而让儿童真正体会到课堂自我表达、自我思考的张力，感受、经历数学思考的一种辨析过程. 对学生错误资源适时地修整、概括、提升，能让教学走向开放、走向差异、走向多元，使课堂的逻辑结构发生变化，使学生学与教师教的路径更精准，儿童不仅能收获知识方法，更能感悟到背后深刻、丰富的数学思想.
以“学”的主体定“导”的位置，
让思想互动生长
如果说教师以前在课堂上是冲在前面“教学”的话，那么在先学后教的课堂中教师要适当地学会“退、让”，真正培养学生的学习力，成为课堂学习的主体.
在列表解决问题策略时，教师应巧妙利用学生中最原生态的整理信息时的不同差异资源，在学生真实记录单的层层对比中凸显列表整理信息的方法指导，让学生经历从烦琐、冗长的文字到清楚、简洁的表格演变过程，在活动中帮助学生积累列表整理的经验和策略. 学生在悄无声息中感受到表格简洁、清晰、明了，对应数学思想的魅力，无形中体会列表整理的价值所在，由此自然生发学生学习列表策略的需求，真正关注学生列表策略的获得和初步形成过程，为后面进一步深入理解、探究列表解决实际问题埋下很好的伏笔.
这种基于学生学的教，教师不再一味地盯着自己预设的教学预案，而是能灵活地依据课堂中学生现场、当下的学习进程、学习状态作出判断和调整. 教师舍得给学生提供展示自我思考过程的舞台，并紧紧跟随他们的学习进程，或点拨、或引导、或启发、或提炼. 教师的介入和引导能让学生对自己的学习状况进行这样的描述：让模糊的知识逐渐清晰，让肤浅的方法逐渐深刻，让零碎的思想逐渐系统化. 有了这样的课堂整体观、结构观、系统观，教师就能真正做到为学生学习服务，促进学生的“学”，而不是掩盖、遮蔽、忽略学生的“学”，甚至代替他们的“学”，能真正立足在学生“学”的需求上，相机灵活穿插“教”的引领作用，凸显“教”的内驱力，让课堂恢复“学”的生命力.
回望整个先学后教的学习历程，“教”只有真正从“学”出发，才能将教学的力量用在关键点上，尊重、利用儿童丰富的差异性资源，将“学”推到“教”的前面，让学生在不断修正、辨析、质疑、思考、调整中获得真正自我学习成长历程，促进师生的和谐共长，从而达到一种生命成长与思想浸润的自觉.