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美国学者Shulman（1986）提出的“Pedagogical Content Knowledge，简称PCK”这一概念，即成功的教师不能仅仅对某一概念、原则和原理有直觉的或个人的理解。为了促进学生的理解，他们必须自己先理解向学生表征概念的方法，他们必须要有如何把内容转化以适合教学目的的知识。根据Shulman的观点，PCK是一种实用性知识，它的核心要素有：第一是直面学生教学如何架构和呈现学科内容的知识；第二是有关学生在学习具体的内容时可能拥有的共同概念、误解和困难的知识；第三是在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略等。下面以Shulman提出的PCK的三种核心要素为框架，来分析“数学归纳法”的有关教学，并以此说明数学教师所应具备的MPCK。
1 MPCK的核心要素之一：直面学生教学如何架构和呈现学科内容的知识
课堂教学第一部分：提出问题，创设情境
A教师的教学设计：上课之前，课件上一直在用动画给学生们播放着多米诺骨牌的游戏，上课一开始，A教师在课件上给出了引例，如下：
已知数列{[an]}，其中[a1]=0，[a（n 1）]=[1（2-an）]，n∈N[*]，并推测{[an]}的通项公式。
从形式上看，A教师创设的问题情境有两部分构成，第一部分是现实中的“多米诺骨牌”游戏，第二部分是数学中关于数列的实际问题，看似平淡无奇，其实用心良苦。首先，数学的原理就蕴藏在游戏之中，而且学生对“多米诺骨牌”游戏非常熟悉，A教师为学生创设了一个十分贴近实际的情境，也为下面的数学原理理解现实的载体。其次，数列的实际问题，也是学生非常熟悉的，这一点可以从学生1回答的情况中得到很好的印证。一个是贴近学生实际的背景，是数学本质的载体；另一个是学生手到擒来的数学实际问题。如何在两者之间架设“桥梁”，引入埋下了伏笔，真正起到激发学生求知的欲望。
课堂教学第二部分：新课，用“有限”论证“无限”
游戏作为引子，实际问题作为平台，很好地蕴藏教师的教学意图，主要有两种教学意图。
（1）数列{[an]}满足[a1]=0，[a（n 1）]=[1（2-an）]，n∈N[*]，学生很容易求出数列的前几项，并以此为基础推测{[an]}的通项公式。教师在这么寻常的问题中，提出出乎学生意料的问题，作为不完全归纳的结论，结果未必就是正确的，这就涉及到数学中如何用“有限”的观点论证“无限”的结论。
（2）数列中遇到的问题，可能是学生一时半会没法解决的。教师A引导学生如何类比游戏，挖掘蕴藏在游戏中的数学原理，“无限”对应所有骨牌，“有限”对应任意相邻两块骨牌。
所以，教师A这样设置，较好地呈现有关学习内容。
2 MPCK的核心要素之一：有关学生在学习具体的内容时，可能拥有的共同概念、误解和困难的知识
学生已有的共同概念：
1.多米诺骨牌游戏相关背景。
2.数列中相关的知识及推理归纳的方法。
在这节课的学习中，学生普遍对以下几个地方感到困惑：
学习难点1：在引例中如何证明[an]的表达式对n∈N[*]都成立，学生缺乏这方面的思考，如何证明？感到无从下手。
已知数列{[an]}的首项以及递推关系，学生在求数列的前几项，并由此归纳数列的通项公式都不会感到困难，教师的意图也并不在此，而是引导学生思考如何证明结论对n∈N[*]都要成立，即一个“无限”命题的正确性，引出本节课的学习目标。
学习难点2：学生在教师引导下，回归到多米诺骨牌游戏中，思考如何保证所有的骨牌都倒下，满足的条件是什么？
既然以多米诺骨牌游戏作为载体，就必然离不开对游戏本质的挖掘，教师A提出的问题：要使所有多米诺骨牌都倒下，应该满足什么条件？学生的回答情况是这样的：①第一块骨牌倒下；②第一块骨牌倒下会导致第二块骨牌倒下，依次下去。教师A在肯定学生回答的基础下，又请其他学生回答，该生补充了第二条：相邻骨牌在摆放时间距要小于骨牌的长度。其实该生的补充的想法已经接近问题的答案，但还是有错误的，这里跟相邻骨牌摆放的间距无关，关键是前一块骨牌倒下一定会导致其后一块骨牌的倒下，骨牌“倒下”这个结果会一直传递下去。
学习难点3：游戏中蕴含的数学原理是什么？如何在实际的数学问题解决中应用？
游戏是现实的，直观的现象，在游戏与数学问题之间要“架设”一座桥梁，除了要理解把握蕴藏的游戏中的原理，更需要将原理用数学的语言规范的表达出来。[a1]=0结论成立，相当于游戏中第一块骨牌倒下，当n=k（k≥2）时结论成立，能得到n=k 1时结论也成立，相当于第k（k≥2）块骨牌倒下，会导致第k 1块骨牌也倒下，即“结论成立”类同于游戏中“骨牌倒下”。
3 MPCK的核心要素之一：在具体教学下能满足学生学习需求的具体教学策略
3.1 当学生出现错误时，教师要有针对性的进行纠错
比如，A教师提出：游戏中蕴含着数学的智慧，你能用数学的语言描述游戏中的数学原理吗？教师A先让全体学生回答，学生沉默。连续请5号，6號女生回答，仍然无解，看样子把游戏的原理抽象到数学的理论，学生还没有能够将两者联系起来。A教师此时心中也许在酝酿着对策，如何在游戏和数学原理之间架设“桥梁”。A教师这样引导：游戏中第一块骨牌倒下，相当于数学中，证明n=1时结论成立，骨牌倒下即相当于数学结论成立，那游戏中条件2如何用数学语言表述呢？A教师又请了7号女生回答：当n=2时，结论成立，能推出n=3时，结论成立，依次类推，n∈N[*]时，结论也成立。应该说，该生在教师的引导下，回答中慢慢学会将游戏与数学原理结合起来了，虽然还是有小瑕疵，但这就是真实的数学课堂。学生点滴的进步，都来自课堂中教师充满智慧的循循善诱。
3.2 当学生获得成功时，教师要给时间让学生充分“倾诉”
在课堂学习中，学生的经常有“意外”的惊喜，这是学生期望倾诉，期望获得成功体验，此时学生内心中充满喜悦，急切希望与他人分享，这时教师要及时创设平台，让学生展示，及时表扬肯定，增强学生的自信。学生在倾诉的过程中，表达能力，数学语言的组织能力都得到很好的锻炼。
1 MPCK的核心要素之一：直面学生教学如何架构和呈现学科内容的知识
课堂教学第一部分：提出问题，创设情境
A教师的教学设计：上课之前，课件上一直在用动画给学生们播放着多米诺骨牌的游戏，上课一开始，A教师在课件上给出了引例，如下：
已知数列{[an]}，其中[a1]=0，[a（n 1）]=[1（2-an）]，n∈N[*]，并推测{[an]}的通项公式。
从形式上看，A教师创设的问题情境有两部分构成，第一部分是现实中的“多米诺骨牌”游戏，第二部分是数学中关于数列的实际问题，看似平淡无奇，其实用心良苦。首先，数学的原理就蕴藏在游戏之中，而且学生对“多米诺骨牌”游戏非常熟悉，A教师为学生创设了一个十分贴近实际的情境，也为下面的数学原理理解现实的载体。其次，数列的实际问题，也是学生非常熟悉的，这一点可以从学生1回答的情况中得到很好的印证。一个是贴近学生实际的背景，是数学本质的载体；另一个是学生手到擒来的数学实际问题。如何在两者之间架设“桥梁”，引入埋下了伏笔，真正起到激发学生求知的欲望。
课堂教学第二部分：新课，用“有限”论证“无限”
游戏作为引子，实际问题作为平台，很好地蕴藏教师的教学意图，主要有两种教学意图。
（1）数列{[an]}满足[a1]=0，[a（n 1）]=[1（2-an）]，n∈N[*]，学生很容易求出数列的前几项，并以此为基础推测{[an]}的通项公式。教师在这么寻常的问题中，提出出乎学生意料的问题，作为不完全归纳的结论，结果未必就是正确的，这就涉及到数学中如何用“有限”的观点论证“无限”的结论。
（2）数列中遇到的问题，可能是学生一时半会没法解决的。教师A引导学生如何类比游戏，挖掘蕴藏在游戏中的数学原理，“无限”对应所有骨牌，“有限”对应任意相邻两块骨牌。
所以，教师A这样设置，较好地呈现有关学习内容。
2 MPCK的核心要素之一：有关学生在学习具体的内容时，可能拥有的共同概念、误解和困难的知识
学生已有的共同概念：
1.多米诺骨牌游戏相关背景。
2.数列中相关的知识及推理归纳的方法。
在这节课的学习中，学生普遍对以下几个地方感到困惑：
学习难点1：在引例中如何证明[an]的表达式对n∈N[*]都成立，学生缺乏这方面的思考，如何证明？感到无从下手。
已知数列{[an]}的首项以及递推关系，学生在求数列的前几项，并由此归纳数列的通项公式都不会感到困难，教师的意图也并不在此，而是引导学生思考如何证明结论对n∈N[*]都要成立，即一个“无限”命题的正确性，引出本节课的学习目标。
学习难点2：学生在教师引导下，回归到多米诺骨牌游戏中，思考如何保证所有的骨牌都倒下，满足的条件是什么？
既然以多米诺骨牌游戏作为载体，就必然离不开对游戏本质的挖掘，教师A提出的问题：要使所有多米诺骨牌都倒下，应该满足什么条件？学生的回答情况是这样的：①第一块骨牌倒下；②第一块骨牌倒下会导致第二块骨牌倒下，依次下去。教师A在肯定学生回答的基础下，又请其他学生回答，该生补充了第二条：相邻骨牌在摆放时间距要小于骨牌的长度。其实该生的补充的想法已经接近问题的答案，但还是有错误的，这里跟相邻骨牌摆放的间距无关，关键是前一块骨牌倒下一定会导致其后一块骨牌的倒下，骨牌“倒下”这个结果会一直传递下去。
学习难点3：游戏中蕴含的数学原理是什么？如何在实际的数学问题解决中应用？
游戏是现实的，直观的现象，在游戏与数学问题之间要“架设”一座桥梁，除了要理解把握蕴藏的游戏中的原理，更需要将原理用数学的语言规范的表达出来。[a1]=0结论成立，相当于游戏中第一块骨牌倒下，当n=k（k≥2）时结论成立，能得到n=k 1时结论也成立，相当于第k（k≥2）块骨牌倒下，会导致第k 1块骨牌也倒下，即“结论成立”类同于游戏中“骨牌倒下”。
3 MPCK的核心要素之一：在具体教学下能满足学生学习需求的具体教学策略
3.1 当学生出现错误时，教师要有针对性的进行纠错
比如，A教师提出：游戏中蕴含着数学的智慧，你能用数学的语言描述游戏中的数学原理吗？教师A先让全体学生回答，学生沉默。连续请5号，6號女生回答，仍然无解，看样子把游戏的原理抽象到数学的理论，学生还没有能够将两者联系起来。A教师此时心中也许在酝酿着对策，如何在游戏和数学原理之间架设“桥梁”。A教师这样引导：游戏中第一块骨牌倒下，相当于数学中，证明n=1时结论成立，骨牌倒下即相当于数学结论成立，那游戏中条件2如何用数学语言表述呢？A教师又请了7号女生回答：当n=2时，结论成立，能推出n=3时，结论成立，依次类推，n∈N[*]时，结论也成立。应该说，该生在教师的引导下，回答中慢慢学会将游戏与数学原理结合起来了，虽然还是有小瑕疵，但这就是真实的数学课堂。学生点滴的进步，都来自课堂中教师充满智慧的循循善诱。
3.2 当学生获得成功时，教师要给时间让学生充分“倾诉”
在课堂学习中，学生的经常有“意外”的惊喜，这是学生期望倾诉，期望获得成功体验，此时学生内心中充满喜悦，急切希望与他人分享，这时教师要及时创设平台，让学生展示，及时表扬肯定，增强学生的自信。学生在倾诉的过程中，表达能力，数学语言的组织能力都得到很好的锻炼。