论文部分内容阅读
【摘 要】乘法是求若干个相同加数的和的简便运算。乘法的意义是乘法知识结构中最基本的概念，其知识的生长点是几个相同加数的和。在解决“1 2 3 4 …… 100”“89 90 91 88 92 99 81”类似加法问题中，是可以利用“乘法”来解决的。基于此，教师就可以从“乘法的初步认识”“乘法的意义练习”“等差数列求和”三个不同阶段逐步递进，从而促进学生思维经验的积累。
【关键词】 乘法的意义 思维经验
乘法的意义是乘法知识结构中最基本的概念，其知识的生长点是几个相同加数的和。学生要解决“1 2 3 4 …… 100”“89 90 91 88 92 99 81”类似加法问题的时候，如果积累了足够多的乘法思维经验，解决问题就水到渠成了。因此，在有关“乘法的意义”的相关教学中让学生经历乘法的形成过程，体会乘法与加法之间的相互转化，积累相关的思维经验是非常有价值的。
一、在丰富的数学背景中建立模型
【片段1】乘法的初步认识
张奠宙教授认为：“广义地讲，数学中的各种基本概念和基本算法，都可以叫作数学模型。”这就是说，乘法也是一种模型，等量组的聚焦模型（几个相同加数的和）是学生首次接触乘法概念时所形成的关于乘法模型的基本认识，这就需要激发学生对乘法模型的内在认知需求，亲身经历将思维材料抽象成乘法模型的创造过程。
人教版二上教材呈现了“游乐园”的主题背景，由三则同质材料引出了若干个相同加数相加的加法模型，进而将加法模型转化成乘法模型。素材是静态的，结论是知之的，缺少了思维的辨析体验，这就需要教师改变材料的呈现方式，使学生经历乘法认识“符号化”的过程，引导学生在不断反思中逐渐提升对意义的感悟层次，进而积累思维经验。
1.情境：游乐园小火车（1节），数一数1节小火车上坐了多少个小朋友。
2.提问：3节这样的小火车上能坐多少个小朋友？得出加法算式，明确表示“3个6”。
3.拓展：20节这样的小火车能坐多少个小朋友？怎样列式？当学生看到长长的算式时，自发提出“有没有更简便的写法”，教师要求他们用自己的方法表示出“20个6”。
4.建模：
（1）呈现学生创造的不规范模型：6 6 6 ……； 6 6 …… 6 6等。辨析，提出修改建议。
（2）呈现修改后的模型：。
20个
（3）呈现学生创造的简洁模型：6☆20；……；6×20。由提出“6×20”的学生介绍乘号、乘法。
5.比较：
（1）根据游乐园的三幅主题图分别列出加法算式与乘法算式。
（2）比较两种算式，有什么相同的地方？有什么不同的地方？
从上述的教学过程可以看到，学生具有“化繁为简”的思维愿景，当他们面对相同加数个数较多的加法模型时，寻找一种简洁的方式加以替代便成了驱动思维的任务，从不规范到规范，从烦琐到简洁，思维价值的逐渐提升伴随了乘法模型的逐渐完善。“小火车”的思维材料让学生首次感知了乘法的简洁性，后续三则思维材料的比较，为学生揭示了加法、乘法两种模型之间的关联，即若干个相同加数相加，可以用相同的加数去乘个数，这就是等量组聚焦模型的本质。学生在经历了上述“感知—完善—比较—抽象”的过程中，不仅初步感知了乘法的意义，而且在经历抽象归纳的活动过程中积累了思维经验。
二、在乘加的相互转化中学会互译
【片段2】乘法的意义练习
类似于“a a a a=a×4”的形式，只是等量组聚焦模型中的基本类型，但是对于很多拓展类型进行感知，既能深化对原有加法模型的理解，学会乘法加法的互译，积累相关的思维经验。所以有必要在后续的练习中安排拓展类型的学习，使学生的思维经历由一般到特殊的过程，初步积累数学思维经验。
1.算式“5 5 5 5”还可以改写成怎样的形式？
2.在算式后面添加上1个10，即“5 5 5 5 10”。
（1）用其他的方法把这道算式记录下来。
（2）呈现学生的记录形式：5×6，10×3，交流意义。
3.3 3 3 3 5能直接改成一道乘法算式吗？为什么不行？
反馈：3×5 2或3×6-1用画图表示你的想法。
4.下面的算式中，有哪些算式能改写成一道乘法算式？具体怎样改？
3×2 3 3 3 3 4 5 6 7
上面的过程没有依附于具体情境，通过思维材料中数据的个数、呈现方式的更改，让学生在头脑中进行判断与推理，进而引导思维逐渐趋于理性。前面三则材料的呈现，使学生首次感知了“乘加”形式，完善了运算的知识结构，也使他们经历了一次合情推理，即乘加算式是不能改写成一步计算的乘法算式，这是一种合情的猜想，材料4承载着验证与质疑的功效，帮助学生积累了更多的感性材料，不仅有利于学生形成严谨的思维活动习惯，更在探究过程中留下了理性思维的痕迹，积累了理性思维的经验。
三、在数列的求和运算中提升经验
【片段3】等差数列求和片段
在加法模型中，有一类特殊的等差数列求和的模型，如1 2 3 …… n，这是小学阶段较为常见的求和模式，该加法模型可以通过两两配对、移多补少的形式转化成乘法的等量组聚焦模型。教材中并没有专门编排此类模型的教学，但常以拓展练习的形式出现在作业中，可见其思维训练的价值所在。笔者以为，可以借助数形结合的方式，帮助学生顺利地实现此种加法模型与乘法模型的转换，以进一步完善加法、乘法的认识结构，获得新的思维体验。
1.研究：一共用了多少个这样的小正方形？
（1）结合图形计算：1 2 3 4 5 6。
（2）反馈方法：
①首尾配对
②颠倒配对
（3）梳理对比：你喜欢哪种方法？为什么？
归纳相同点：实质上是把求一串有规律的数的和的连加问题变为乘法。
2.练习：计算1 2 3 4 5 6 7（在前两种方法的基础上重点研究“移多补少”的方法）。
3.应用：
（1）下面三道计算题是不是也像刚才两题那样有规律？运用规律计算下面各题。
①4 5 6 7 8 9 10 11
②3 6 9 12 15 18 21 24 27
③1 2 3 …… 17 18 19
小结：具体用的方法需要根据不同的题目特点灵活选择运用。
（2）有一堆圆木，摆成下图形状，该怎样计算圆木的根数？
要求这堆圆木一共多少根，就是求3 4 5 6 … 11 12是多少。
3 4 5 6 … 11 12=（3 12）×10÷2=15×5=75（根）
在上述教学中，注重了思维过程的展开。首先通过观察、比较，学生初步发现了算式中数据的排列规律，结合图形掌握了处理数据的方法，积累了观察活动的经验；然后通过增加数据个数的方式，认识了“移多补少”这样的更为一般化的处理方法；接着通过一系列相同规律算式的运用，顺利地完成了两种模型的对接。可以看出，学生的思维活动由“点”到“面”，通过对两道算式运算规律的不完全归纳，进而推广到对一类算式运算规律的概括归纳，学生经历了完整的“演绎—归纳”的推理过程，这种思维层面经验的积淀，将为学生在后续学习中研究有关数的运算规律打下良好的基础。
综上，数学思维经验的生长，需要教师设计丰富的思维心智操作活动，把活动的思维起点定位在学生的最近发展区，使学生在经历心智操作提升经验的同时，让思维经验保留在学生的认知结构中；鉴于思维经验内隐的特点，可以将外显的生活经验数学化，让学生经历将生活原型抽象成数学模型并进行推广应用的全过程；要重视学生反思意识的培养，学生在思辨中进一步提升问题意识与探究意识，以促进思维经验的有效积累。
（浙江省湖州市湖师附小教育集团 313000）
【关键词】 乘法的意义 思维经验
乘法的意义是乘法知识结构中最基本的概念，其知识的生长点是几个相同加数的和。学生要解决“1 2 3 4 …… 100”“89 90 91 88 92 99 81”类似加法问题的时候，如果积累了足够多的乘法思维经验，解决问题就水到渠成了。因此，在有关“乘法的意义”的相关教学中让学生经历乘法的形成过程，体会乘法与加法之间的相互转化，积累相关的思维经验是非常有价值的。
一、在丰富的数学背景中建立模型
【片段1】乘法的初步认识
张奠宙教授认为：“广义地讲，数学中的各种基本概念和基本算法，都可以叫作数学模型。”这就是说，乘法也是一种模型，等量组的聚焦模型（几个相同加数的和）是学生首次接触乘法概念时所形成的关于乘法模型的基本认识，这就需要激发学生对乘法模型的内在认知需求，亲身经历将思维材料抽象成乘法模型的创造过程。
人教版二上教材呈现了“游乐园”的主题背景，由三则同质材料引出了若干个相同加数相加的加法模型，进而将加法模型转化成乘法模型。素材是静态的，结论是知之的，缺少了思维的辨析体验，这就需要教师改变材料的呈现方式，使学生经历乘法认识“符号化”的过程，引导学生在不断反思中逐渐提升对意义的感悟层次，进而积累思维经验。
1.情境：游乐园小火车（1节），数一数1节小火车上坐了多少个小朋友。
2.提问：3节这样的小火车上能坐多少个小朋友？得出加法算式，明确表示“3个6”。
3.拓展：20节这样的小火车能坐多少个小朋友？怎样列式？当学生看到长长的算式时，自发提出“有没有更简便的写法”，教师要求他们用自己的方法表示出“20个6”。
4.建模：
（1）呈现学生创造的不规范模型：6 6 6 ……； 6 6 …… 6 6等。辨析，提出修改建议。
（2）呈现修改后的模型：。
20个
（3）呈现学生创造的简洁模型：6☆20；……；6×20。由提出“6×20”的学生介绍乘号、乘法。
5.比较：
（1）根据游乐园的三幅主题图分别列出加法算式与乘法算式。
（2）比较两种算式，有什么相同的地方？有什么不同的地方？
从上述的教学过程可以看到，学生具有“化繁为简”的思维愿景，当他们面对相同加数个数较多的加法模型时，寻找一种简洁的方式加以替代便成了驱动思维的任务，从不规范到规范，从烦琐到简洁，思维价值的逐渐提升伴随了乘法模型的逐渐完善。“小火车”的思维材料让学生首次感知了乘法的简洁性，后续三则思维材料的比较，为学生揭示了加法、乘法两种模型之间的关联，即若干个相同加数相加，可以用相同的加数去乘个数，这就是等量组聚焦模型的本质。学生在经历了上述“感知—完善—比较—抽象”的过程中，不仅初步感知了乘法的意义，而且在经历抽象归纳的活动过程中积累了思维经验。
二、在乘加的相互转化中学会互译
【片段2】乘法的意义练习
类似于“a a a a=a×4”的形式，只是等量组聚焦模型中的基本类型，但是对于很多拓展类型进行感知，既能深化对原有加法模型的理解，学会乘法加法的互译，积累相关的思维经验。所以有必要在后续的练习中安排拓展类型的学习，使学生的思维经历由一般到特殊的过程，初步积累数学思维经验。
1.算式“5 5 5 5”还可以改写成怎样的形式？
2.在算式后面添加上1个10，即“5 5 5 5 10”。
（1）用其他的方法把这道算式记录下来。
（2）呈现学生的记录形式：5×6，10×3，交流意义。
3.3 3 3 3 5能直接改成一道乘法算式吗？为什么不行？
反馈：3×5 2或3×6-1用画图表示你的想法。
4.下面的算式中，有哪些算式能改写成一道乘法算式？具体怎样改？
3×2 3 3 3 3 4 5 6 7
上面的过程没有依附于具体情境，通过思维材料中数据的个数、呈现方式的更改，让学生在头脑中进行判断与推理，进而引导思维逐渐趋于理性。前面三则材料的呈现，使学生首次感知了“乘加”形式，完善了运算的知识结构，也使他们经历了一次合情推理，即乘加算式是不能改写成一步计算的乘法算式，这是一种合情的猜想，材料4承载着验证与质疑的功效，帮助学生积累了更多的感性材料，不仅有利于学生形成严谨的思维活动习惯，更在探究过程中留下了理性思维的痕迹，积累了理性思维的经验。
三、在数列的求和运算中提升经验
【片段3】等差数列求和片段
在加法模型中，有一类特殊的等差数列求和的模型，如1 2 3 …… n，这是小学阶段较为常见的求和模式，该加法模型可以通过两两配对、移多补少的形式转化成乘法的等量组聚焦模型。教材中并没有专门编排此类模型的教学，但常以拓展练习的形式出现在作业中，可见其思维训练的价值所在。笔者以为，可以借助数形结合的方式，帮助学生顺利地实现此种加法模型与乘法模型的转换，以进一步完善加法、乘法的认识结构，获得新的思维体验。
1.研究：一共用了多少个这样的小正方形？
（1）结合图形计算：1 2 3 4 5 6。
（2）反馈方法：
①首尾配对
②颠倒配对
（3）梳理对比：你喜欢哪种方法？为什么？
归纳相同点：实质上是把求一串有规律的数的和的连加问题变为乘法。
2.练习：计算1 2 3 4 5 6 7（在前两种方法的基础上重点研究“移多补少”的方法）。
3.应用：
（1）下面三道计算题是不是也像刚才两题那样有规律？运用规律计算下面各题。
①4 5 6 7 8 9 10 11
②3 6 9 12 15 18 21 24 27
③1 2 3 …… 17 18 19
小结：具体用的方法需要根据不同的题目特点灵活选择运用。
（2）有一堆圆木，摆成下图形状，该怎样计算圆木的根数？
要求这堆圆木一共多少根，就是求3 4 5 6 … 11 12是多少。
3 4 5 6 … 11 12=（3 12）×10÷2=15×5=75（根）
在上述教学中，注重了思维过程的展开。首先通过观察、比较，学生初步发现了算式中数据的排列规律，结合图形掌握了处理数据的方法，积累了观察活动的经验；然后通过增加数据个数的方式，认识了“移多补少”这样的更为一般化的处理方法；接着通过一系列相同规律算式的运用，顺利地完成了两种模型的对接。可以看出，学生的思维活动由“点”到“面”，通过对两道算式运算规律的不完全归纳，进而推广到对一类算式运算规律的概括归纳，学生经历了完整的“演绎—归纳”的推理过程，这种思维层面经验的积淀，将为学生在后续学习中研究有关数的运算规律打下良好的基础。
综上，数学思维经验的生长，需要教师设计丰富的思维心智操作活动，把活动的思维起点定位在学生的最近发展区，使学生在经历心智操作提升经验的同时，让思维经验保留在学生的认知结构中；鉴于思维经验内隐的特点，可以将外显的生活经验数学化，让学生经历将生活原型抽象成数学模型并进行推广应用的全过程；要重视学生反思意识的培养，学生在思辨中进一步提升问题意识与探究意识，以促进思维经验的有效积累。
（浙江省湖州市湖师附小教育集团 313000）