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摘要：提出了一种新的基于离散PSO实现系统完全可观的最优PMU配置方法。该方法首先依据系统的节点关联矩阵及相关的衍生矩阵快速求解出一种近似最优PMU配置，然后依据离散PSO对这个近似最优配置进行优化，以得到实际最优的PMU配置。本算法中，离散PSO过程中每个粒子的维数不再是系统的节点总数，而是近似最优配置中PMU的数量，此举大大提高了优化过程的灵活性和收敛性。最后通过对IEEE14节点和39节点系统的仿真试验验证了该算法的合理性、科学性和高效性。
关键词：相量测量单元；最优配置；系统可观；离散PSO；拓扑分析
0 引言
相量测量单元（Phasor Measurement Unit，PMU）能提供统一时空坐标下的高精度电压和电流相量测量，并通过高速通讯网络把数据传送到调度中心，其快速发展使得实时监测电网的运行状态进而对电力系统进行广域实时分析和控制成为可能。但是不论从经济还是从技术的角度，全网配置PMU都不太现实，因此，实际应用中需要在保证系统可观的前提下对PMU的布点进行优化。
本文在文献[7]和[8]研究的基础上，提出了一种新的基于离散粒子群优化算法（Discrete Particle Swarm Optimization，DPSO）实现系统完全可观的PMU最优配置方法。该方法首先依据系统的节点关联矩阵及相关的衍生矩阵快速求解出一种近似最优的PMU配置，然后依据DPSO对这个近似最优解进行优化，以得到实际最优的PMU配置。本算法中，DPSO过程中每个粒子的维数不再是系统的节点总数，而是近似最优配置中的PMU数量，此举大大提高了优化过程的灵活性和收敛性。同时，本算法没有简单地以系统中配置的PMU数量最少作为DPSO过程的目标函数，而是依据系统的拓扑分析提出了一种新的优化目标函数。此外，该算法重视初始布点的选择，因为合理的初始布点将大大提高DPSO的收敛速度。
电力系统的可观性可以从两个角度来考虑：即代数可观性和拓扑可观性[10]。本文主要研究后者，并且假定若一条母线上配置有PMU，则可以通过计算获得与其相邻的所有母线的状态，从而使这些母线都可观。进行最优的PMU配置，即是在保证系统拓扑可观的前提下，使需配置的PMU的数量最少[3][8]。以图1所示的一个子系统为例进行说明。图中有五个非零注入节点，分别表示为1-5。首先在节点1上配置一个PMU，则第二个PMU的落点选择将会决定PMU的配置是否最优。若将第二个PMU配置在节点2，使节点1、2都配置有PMU，则PMU的配置过密，无法充分发挥PMU的利用率，以致节点4和节点5都不可观。继续依次将第二个PMU配置在节点3、4、5，并通过分析可发现：将第二个PMU配置在节点3和5会分别造成节点5和3的不可观，而配置在节点4可使子系统中的所有节点都可观。由此观之，实现系统可观的最优PMU配置策略是使两个配置有PMU的节点之间间隔两个非零注入节点，比如图1中的节点1和4及节点2和5。依据[11]，可以将这种配置命名为零不可测度配置（depth-of-zero unobservability，DOZU）。DOZU即是本文获取近似最优配置的主要依据。当然，系统中的节点数可能不会恰好满足所有的PMU都按照DOZU策略进行配置，不过依照DOZU策略布点的PMU越多，获得的PMU配置就越优越。对于零注入节点，可将其随机捆绑到一个相邻的非零注入节点上，而获得的组合节点将作为一个新的节点参与到PMU的配置过程中，因为零注入节点的状态可通过相邻可观节点的状态及KCL定律获得[12]。
通过拓扑分析可发现，依据DOZU策略布点的系统只包含两种形式的节点：1）节点上配置有PMU，即直接可观；2）节点上没有配置PMU，但是直接毗邻一个配置PMU的节点。因此，DOZU策略也可以用下面一种方式来表达。定义任一节点i的节点邻域：该节点邻域由节点i及直接毗邻节点i的所有节点组成，用iL表示。同时，用iT表示该节点领域中配置有PMU的节点的数量，则DOZU策略等效为iL中有且只有一个PMU，即iT =1。当系统中的节点数没有恰好满足所有的PMU都按照DOZU策略进行配置时，为了实现系统可观，则对于任一节点须有：
iT，这即是本文所采用的DPSO过程的主要约束条件
2 PMU的近似最优配置
相量测量单元的近似最优配置是DPSO初始化的依据。本文通过系统的节点关联矩阵及其相关的衍生矩阵来快速获得一个PMU的近似最优配置。该配置的布点过程分为两个步骤，即：初始布点的选择和剩余布点的确定。
2.1 初始布点的选择
对于初始布点的选择问题，目前国内外学者们采用的措施主要有两个：1. 随意选择初始布点[3]；2.选择相邻节点数最多的节点作为初始布点[8][11]。前者没有认识到初始布点的重要性，而后者则主要出于对提高某个PMU利用率的考虑。本文从提高布点最优程度和PMU利用率的双重角度出发，提出一种新的确定初始布点的方法。其中，布点最优程度表征按照该方法确定的初始布点恰好就是实际最优配置中的一个PMU布点的概率。
前文已经叙及，系统可观的一个必要条件是：Ti≥1；而最优PMU配置需要使尽可能多的节点满足：Ti≥1。先考虑Ti≥1的情况。假设Li的元素总数为y，将PMU随机配置在Li中的任一节点上，则该节点恰好就是实际最优配置中的PMU布点的概率为1y。
也即是说，Li中的元素越少，Li中任一元素的最优程度越大。对于Li？1的情况可作同样的考虑并且获得的结论相同。当然最优的PMU配置也是PMU的整体利用率最高的配置，因此，本文确定初始布点的方法为：首先选择所含元素最少的节点领域，然后将该节点邻域内拥有直接相邻节点数最多的节点作为搜索初始布点。该节点恰好是实际最优配置中的PMU布点的概率最大，因此，本文将依据这种初始布点选择原则和DOZU策略进行全网布点的配置称为近似最优配置。 2.2 剩余布点的确定
选定初始布点后，依据DOZU策略可确定所有剩余的PMU布点。定义使两节点连通所经历的支路数为两节点间的电气距离。实际系统中，两节点间大多会存在多条连通路径，并且这些连通路径往往会呈现出多种电气距离。因此，定义两节点间电气距离的最小值为二者的电气间隔。则按照DOZU策略，两PMU布点之间的电气间隔为3。
用n nA？表示整个系统的节点关联矩阵，其中n表示系统中节点的
式（2）的求解结果可能是多个节点，则将所有这些节点的节点邻域内拥有直接相邻节点数最多的节点选择为初始布点。如果仍然有出线多解的话，则可任选其一，因为这些解拥有相同的最优程度。
2.2.1节点之间的连通性
搜索剩余的PMU布点，即是依据初始布点和电气间隔为3的原则在全网布点PMU。节点之间的连通性可以用可达矩阵来表示[13]。电气间隔为3的可达矩阵没有直接求解方法，但是可以依据电气距离为3的可达矩阵进行推导。
的效率及收敛性都有非常积极的作用。
0 依据DPSO对近似最优配置进行优化
3.1 离散PSO算法简介
粒子群优化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart提出的一种基于种群的随机优化算法，该算法源于对鸟群觅食等社会行为的模拟研究[16]。PSO算法利用n个粒子组成的粒子群在N维问题空间中以迭代的方式搜索最优解。迭代过程由式（6）和式（7）来确定[9]：
点4，节点10，节点13}。E中只包含有四个节点，是整个系统节点总数144，这个比例对于减少DPSO中的粒子维数、提高优化收敛速度而言是相当可观的。最后依据本文所介绍的DPSO优化算法对近似最优配置进行优化，结果获得一个冗余度为2的冗余节点---节点9，同时节点1上的PMU最终移动到L1中节点2上，节点13上的PMU最终移动到L13中节点6上。由此可以获得IEEE14节点系统的实际最优的PMU配置是在节点2、6、9上分别配置一个PMU。
4.2对IEEE39节点系统的仿真
IEEE39节点系统的单线图和节点编号如图3所示。该系统中有12个零注入节点，分别为节点1、2、5、6、9、10、11、12、14、17、19、22，将这些节点依次分别捆绑到节点39、25、4、4、8、13、13、13、13、16、16、23上，并以新的组合节点参与PMU配置。组合节点的编号取为该组合节点中非零注入节点的编号。考虑组合节点的系统关联矩阵见附录。
依据式（2），可确定系统中所有的节点领域所拥有的元素的最小值为2，而且只有两个元素的节点领域有八个，分别是30L、31L、32L、L、34L、35L、36L和37L。这八个节点领域包含的所有节点中，与节点16相邻的节点数最多（7个）。及前文所介绍的原则，将初始布点选在30L中的节点25上，然后依据式（4）和式（5）同时考虑节点的相邻节点的数量，依次将PMU配置在节点8、29、16、32、35，然后通过搜索剩余节点获得F={节点31，节点34，节点36}。则获得的PMU的近似最优配置为：E={节点8、16、25、29、31、32、34、35、36}。E中有9个元素，是系统节点总数的399。最后依据本文所介绍的DPSO优化算法对近似最优配置进行优化，结果获得一个冗余度为2的冗余节点--节点23。最终的最优配置为在节点4、8、13、16、20、23、25、29上分别配置一个PMU。
2 总结
本文提出了一种新的基于DPSO的能够实现系统完全可观的PMU的最优配置算法。该方法首先依据系统的节点关联矩阵及相关的衍生矩阵快速求解出一种近似最优的PMU配置，然后依据DPSO对近似最优配置进行优化，以得到实际最优的PMU配置。对近似最优配置的求解过程中，本文对系统的可达矩阵进行了深入的探讨，从而奠定了该搜索过程的理论基础。本算法的突出特点有三个，即：重视初始布点的选择；降低DPSO过程的粒子维数；对DPSO过程的目标函数进行了新的数学阐释。这三个特点使得本算法的收敛速度快、收敛特性好、收敛准确性高。对IEEE14节点和39节点系统的仿真试验证明了该算法的有效性、合理性和科学性。
参考文献
[1]刘新东， 江全元， 曹一家. N–1条件下不失去可观测性的PMU优化配置方法. 中国电机工程，2009，29（10）：47-51.
[2]彭疆南， 孙元章， 王海风. 考虑系统完全可观测性的PMU最优配置方法. 电力系统自动化， 2003， 27（4）： 10-16.
[3]K. -P. Lien， C. -W. Liu， C. –S. Yu， and J.-A. Jiang. Transmission network fault location observability with minimal PMU placement. IEEE Trans. Power Del.， vol. 21， no. 3， pp： 1128-1136， Jul. 2006.
[4]Hajian M.， Ranjbar A. Amraee M.， T.， and Shirani A. R.. Optimal Placement of Phasor Measurement Units： Particle Swarm Optimization Approach. ISAP 2007 International Conference on Intelligent Systems Applications to Power Systems， pp： 1-6， 5-8 Nov. 2007.
[5]彭春华. 基于免疫BPSO算法与拓扑可观性的PMU最优配置. 电工技术学报， 2008， 23（6）： 119- 124.
[6]蔡超豪. 广域电流差动保护研究. 电力科学与工程， 2009， 25（9）： 7-11.
[7]Kenneth H. Rosen. 离散数学及其应用. 北京： 机械工业出版社.2007.
[8]储俊杰. 变电所一次主接线电气连通性分析的数学模型. 电力系统自动化， 2003， 27（1）：31-33
关键词：相量测量单元；最优配置；系统可观；离散PSO；拓扑分析
0 引言
相量测量单元（Phasor Measurement Unit，PMU）能提供统一时空坐标下的高精度电压和电流相量测量，并通过高速通讯网络把数据传送到调度中心，其快速发展使得实时监测电网的运行状态进而对电力系统进行广域实时分析和控制成为可能。但是不论从经济还是从技术的角度，全网配置PMU都不太现实，因此，实际应用中需要在保证系统可观的前提下对PMU的布点进行优化。
本文在文献[7]和[8]研究的基础上，提出了一种新的基于离散粒子群优化算法（Discrete Particle Swarm Optimization，DPSO）实现系统完全可观的PMU最优配置方法。该方法首先依据系统的节点关联矩阵及相关的衍生矩阵快速求解出一种近似最优的PMU配置，然后依据DPSO对这个近似最优解进行优化，以得到实际最优的PMU配置。本算法中，DPSO过程中每个粒子的维数不再是系统的节点总数，而是近似最优配置中的PMU数量，此举大大提高了优化过程的灵活性和收敛性。同时，本算法没有简单地以系统中配置的PMU数量最少作为DPSO过程的目标函数，而是依据系统的拓扑分析提出了一种新的优化目标函数。此外，该算法重视初始布点的选择，因为合理的初始布点将大大提高DPSO的收敛速度。
电力系统的可观性可以从两个角度来考虑：即代数可观性和拓扑可观性[10]。本文主要研究后者，并且假定若一条母线上配置有PMU，则可以通过计算获得与其相邻的所有母线的状态，从而使这些母线都可观。进行最优的PMU配置，即是在保证系统拓扑可观的前提下，使需配置的PMU的数量最少[3][8]。以图1所示的一个子系统为例进行说明。图中有五个非零注入节点，分别表示为1-5。首先在节点1上配置一个PMU，则第二个PMU的落点选择将会决定PMU的配置是否最优。若将第二个PMU配置在节点2，使节点1、2都配置有PMU，则PMU的配置过密，无法充分发挥PMU的利用率，以致节点4和节点5都不可观。继续依次将第二个PMU配置在节点3、4、5，并通过分析可发现：将第二个PMU配置在节点3和5会分别造成节点5和3的不可观，而配置在节点4可使子系统中的所有节点都可观。由此观之，实现系统可观的最优PMU配置策略是使两个配置有PMU的节点之间间隔两个非零注入节点，比如图1中的节点1和4及节点2和5。依据[11]，可以将这种配置命名为零不可测度配置（depth-of-zero unobservability，DOZU）。DOZU即是本文获取近似最优配置的主要依据。当然，系统中的节点数可能不会恰好满足所有的PMU都按照DOZU策略进行配置，不过依照DOZU策略布点的PMU越多，获得的PMU配置就越优越。对于零注入节点，可将其随机捆绑到一个相邻的非零注入节点上，而获得的组合节点将作为一个新的节点参与到PMU的配置过程中，因为零注入节点的状态可通过相邻可观节点的状态及KCL定律获得[12]。
通过拓扑分析可发现，依据DOZU策略布点的系统只包含两种形式的节点：1）节点上配置有PMU，即直接可观；2）节点上没有配置PMU，但是直接毗邻一个配置PMU的节点。因此，DOZU策略也可以用下面一种方式来表达。定义任一节点i的节点邻域：该节点邻域由节点i及直接毗邻节点i的所有节点组成，用iL表示。同时，用iT表示该节点领域中配置有PMU的节点的数量，则DOZU策略等效为iL中有且只有一个PMU，即iT =1。当系统中的节点数没有恰好满足所有的PMU都按照DOZU策略进行配置时，为了实现系统可观，则对于任一节点须有：
iT，这即是本文所采用的DPSO过程的主要约束条件
2 PMU的近似最优配置
相量测量单元的近似最优配置是DPSO初始化的依据。本文通过系统的节点关联矩阵及其相关的衍生矩阵来快速获得一个PMU的近似最优配置。该配置的布点过程分为两个步骤，即：初始布点的选择和剩余布点的确定。
2.1 初始布点的选择
对于初始布点的选择问题，目前国内外学者们采用的措施主要有两个：1. 随意选择初始布点[3]；2.选择相邻节点数最多的节点作为初始布点[8][11]。前者没有认识到初始布点的重要性，而后者则主要出于对提高某个PMU利用率的考虑。本文从提高布点最优程度和PMU利用率的双重角度出发，提出一种新的确定初始布点的方法。其中，布点最优程度表征按照该方法确定的初始布点恰好就是实际最优配置中的一个PMU布点的概率。
前文已经叙及，系统可观的一个必要条件是：Ti≥1；而最优PMU配置需要使尽可能多的节点满足：Ti≥1。先考虑Ti≥1的情况。假设Li的元素总数为y，将PMU随机配置在Li中的任一节点上，则该节点恰好就是实际最优配置中的PMU布点的概率为1y。
也即是说，Li中的元素越少，Li中任一元素的最优程度越大。对于Li？1的情况可作同样的考虑并且获得的结论相同。当然最优的PMU配置也是PMU的整体利用率最高的配置，因此，本文确定初始布点的方法为：首先选择所含元素最少的节点领域，然后将该节点邻域内拥有直接相邻节点数最多的节点作为搜索初始布点。该节点恰好是实际最优配置中的PMU布点的概率最大，因此，本文将依据这种初始布点选择原则和DOZU策略进行全网布点的配置称为近似最优配置。 2.2 剩余布点的确定
选定初始布点后，依据DOZU策略可确定所有剩余的PMU布点。定义使两节点连通所经历的支路数为两节点间的电气距离。实际系统中，两节点间大多会存在多条连通路径，并且这些连通路径往往会呈现出多种电气距离。因此，定义两节点间电气距离的最小值为二者的电气间隔。则按照DOZU策略，两PMU布点之间的电气间隔为3。
用n nA？表示整个系统的节点关联矩阵，其中n表示系统中节点的
式（2）的求解结果可能是多个节点，则将所有这些节点的节点邻域内拥有直接相邻节点数最多的节点选择为初始布点。如果仍然有出线多解的话，则可任选其一，因为这些解拥有相同的最优程度。
2.2.1节点之间的连通性
搜索剩余的PMU布点，即是依据初始布点和电气间隔为3的原则在全网布点PMU。节点之间的连通性可以用可达矩阵来表示[13]。电气间隔为3的可达矩阵没有直接求解方法，但是可以依据电气距离为3的可达矩阵进行推导。
的效率及收敛性都有非常积极的作用。
0 依据DPSO对近似最优配置进行优化
3.1 离散PSO算法简介
粒子群优化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart提出的一种基于种群的随机优化算法，该算法源于对鸟群觅食等社会行为的模拟研究[16]。PSO算法利用n个粒子组成的粒子群在N维问题空间中以迭代的方式搜索最优解。迭代过程由式（6）和式（7）来确定[9]：
点4，节点10，节点13}。E中只包含有四个节点，是整个系统节点总数144，这个比例对于减少DPSO中的粒子维数、提高优化收敛速度而言是相当可观的。最后依据本文所介绍的DPSO优化算法对近似最优配置进行优化，结果获得一个冗余度为2的冗余节点---节点9，同时节点1上的PMU最终移动到L1中节点2上，节点13上的PMU最终移动到L13中节点6上。由此可以获得IEEE14节点系统的实际最优的PMU配置是在节点2、6、9上分别配置一个PMU。
4.2对IEEE39节点系统的仿真
IEEE39节点系统的单线图和节点编号如图3所示。该系统中有12个零注入节点，分别为节点1、2、5、6、9、10、11、12、14、17、19、22，将这些节点依次分别捆绑到节点39、25、4、4、8、13、13、13、13、16、16、23上，并以新的组合节点参与PMU配置。组合节点的编号取为该组合节点中非零注入节点的编号。考虑组合节点的系统关联矩阵见附录。
依据式（2），可确定系统中所有的节点领域所拥有的元素的最小值为2，而且只有两个元素的节点领域有八个，分别是30L、31L、32L、L、34L、35L、36L和37L。这八个节点领域包含的所有节点中，与节点16相邻的节点数最多（7个）。及前文所介绍的原则，将初始布点选在30L中的节点25上，然后依据式（4）和式（5）同时考虑节点的相邻节点的数量，依次将PMU配置在节点8、29、16、32、35，然后通过搜索剩余节点获得F={节点31，节点34，节点36}。则获得的PMU的近似最优配置为：E={节点8、16、25、29、31、32、34、35、36}。E中有9个元素，是系统节点总数的399。最后依据本文所介绍的DPSO优化算法对近似最优配置进行优化，结果获得一个冗余度为2的冗余节点--节点23。最终的最优配置为在节点4、8、13、16、20、23、25、29上分别配置一个PMU。
2 总结
本文提出了一种新的基于DPSO的能够实现系统完全可观的PMU的最优配置算法。该方法首先依据系统的节点关联矩阵及相关的衍生矩阵快速求解出一种近似最优的PMU配置，然后依据DPSO对近似最优配置进行优化，以得到实际最优的PMU配置。对近似最优配置的求解过程中，本文对系统的可达矩阵进行了深入的探讨，从而奠定了该搜索过程的理论基础。本算法的突出特点有三个，即：重视初始布点的选择；降低DPSO过程的粒子维数；对DPSO过程的目标函数进行了新的数学阐释。这三个特点使得本算法的收敛速度快、收敛特性好、收敛准确性高。对IEEE14节点和39节点系统的仿真试验证明了该算法的有效性、合理性和科学性。
参考文献
[1]刘新东， 江全元， 曹一家. N–1条件下不失去可观测性的PMU优化配置方法. 中国电机工程，2009，29（10）：47-51.
[2]彭疆南， 孙元章， 王海风. 考虑系统完全可观测性的PMU最优配置方法. 电力系统自动化， 2003， 27（4）： 10-16.
[3]K. -P. Lien， C. -W. Liu， C. –S. Yu， and J.-A. Jiang. Transmission network fault location observability with minimal PMU placement. IEEE Trans. Power Del.， vol. 21， no. 3， pp： 1128-1136， Jul. 2006.
[4]Hajian M.， Ranjbar A. Amraee M.， T.， and Shirani A. R.. Optimal Placement of Phasor Measurement Units： Particle Swarm Optimization Approach. ISAP 2007 International Conference on Intelligent Systems Applications to Power Systems， pp： 1-6， 5-8 Nov. 2007.
[5]彭春华. 基于免疫BPSO算法与拓扑可观性的PMU最优配置. 电工技术学报， 2008， 23（6）： 119- 124.
[6]蔡超豪. 广域电流差动保护研究. 电力科学与工程， 2009， 25（9）： 7-11.
[7]Kenneth H. Rosen. 离散数学及其应用. 北京： 机械工业出版社.2007.
[8]储俊杰. 变电所一次主接线电气连通性分析的数学模型. 电力系统自动化， 2003， 27（1）：31-33