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一、问题缘起
数学中的函数和方程常需要研究其图象，如能在教学中演示其图象的生成过程、变化特征，会加强学生的感性认识，提高学习效率。从笔者多年制作教学课件的经验来看，制作这样一个课件的关键技术是如何设计用来生成数学轨迹（或动态图象）的算法。失当的算法使制作课件效率低下，甚至于难以完成，只有高效的算法才能事半功倍。本文通过一个数学案例来说明：如何设计生成轨迹的良好算法；算法在几何画板中的实现过程；课件在课堂教学中的演示方式。
二、理论基础
几何画板以点、直线（段）、圆为基础，通过相交、垂直、平移、对称、缩放等众多变化能构建出许多复杂的图形，辅以“绘制函数”的功能，几乎涵盖了所有中小学阶段所涉及的图象问题，当驱动其中某个特征点时，便能生成轨迹或使图象运动起来。但仅仅知道这些基础的功能，只能处理简易的图象问题，想要高效地生成复杂的、动态的轨迹，还需要进一步理解几何画板中生成动态轨迹的原则。据笔者看来，重要的原则有两个：其一，寻找一个主动点来提供运动方式，从这个主动点出发，依照确定的步骤做出一个或多个从动点（即构成轨迹的动点），从而生成轨迹；其二，确定好函数或方程的参数设置方式，以便于轨迹的调整及演示时的变化。
有必要对以上两个原则作进一步说明：其一，从主动点出发到做出从动点的过程就是一个合理算法设计的过程，良好的算法依赖于设计者对所做轨迹的深刻理解和对几何画板功能的熟知，这是作图的核心部分，也是初学几何画板时最值得花时间思考的地方，往往能有一通百通的效果。其二，只有适当的主动点及其良好的运动方式才能为后面的生成轨迹打好基础，因此，应多思考什么样的点适合做主动点及这个点应以一个什么样的方式来运动。主动点的运动轨迹常在圆（弧）、直线（线段）或确定图象上，同时应尽量确保整个主动点的运动是连续不断的，这样从动点生成的轨迹才会是连续的一个整体。其三，设计算法时尽量淡化所做轨迹的个别化特征，寻找这一类轨迹生成的通法，比如作一个具体二次函数的图象，就可以考虑以三个参数来分别代替三个系数，初次构图时会费些时间，但这样做是高效的，生成图象后，只需调整相应参数即可得到相应图象，甚至可以将其做成一个新工具，方便以后直接调用。参数的运用是初学几何画板时的一个难点，没有参数的轨迹只是静态的图象，是无法实时变化的，也就不利于课堂教学的演示。其四，参数的设置尽量不用菜单“图表/新建参数”来产生，而应以一种几何的方式给出，最好能赋予参数一个明确的实际意义，这样便于演示轨迹变化时的参数调整，也便于学生理解参数的意义以及参数变化与图象变化的关联。
三、案例说明
本文选择的构图案例是“圆锥曲线的统一生成方法及其演示”。圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线三类。三者独立而又共具特征。教材中“圆锥曲线的统一定义”揭示了三者的联系与区别，但三者到底是如何演变的，学生由于缺乏感性认识，仅依靠三张静态图象在接受上存在明显的困难。因此本案例有较高的教学价值。
先看圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点和到一条定直线（定点在直；线外）的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中，定点是焦点，定直线是准线，常数是离心率，当常数小于1时，轨迹是椭圆；当常数等于1时，轨迹是抛物线；当常数大于1时，轨迹是双曲线。
如果仅仅需要分别做出三种轨迹并加以比较，对许多有过制作轨迹经验的教师而言不是难事。困难的地方在于难以将三个图象有机地整合在一起，并通过一个参数的控制来演示统一定义中所说的变化，所以需要选择合适的算法来构图。
然而，从统一定义看来，没有明确的点可做主动点，无论是从定点出发还是从定直线出发，都不容易做出从动点。但经过研究可以发现一个圆锥曲线的统一性质。
圆锥曲线如图1，记焦点F，顶点A，准线l，过点A作对称轴FA的垂线，设点P为曲线上任意一点，∠PFA的平分线与l交于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE，则P、E、Q三点共线。
统一性质与统一定义相比较，一个明显的优点是任意两点间的关系确定，可以由一个几何的方式来做出图中的任意一个点。因此，就以这个统一性质作为整个构图算法的理论基础。
从上述理论可以看出，如何做出点P是关键，直线PF的主动旋转可以引导点P在图象上运动，这就能提供一个主动的运动方式。在直线PF上任取一点作为主动点，依照理论可以做出点P，从而可以生成轨迹。
四、构图过程
构图要处理好的两个关键点：一是选取适当的主动点；二是定义中常数的设置方式。
圆锥曲线的统一做法（图2）。
（1）打开新画板，选择菜单“图表/定义坐标系”做出坐标系，选择工具栏中的“点”工具，在坐标系的横轴上任取两点，用“文本”工具分别标记为F和D。
（2）选中点D及横轴，菜单“构造/垂线”做出垂线，标记为l。
（3）选中点D和点F，菜单“构造/线段”做出线段FD。
（4）用“点”工具在FD上任取一点，标记为A，这是设置统一定义中常数的关键步骤，AF与AD的比值即为常数，通过改变点A的位置来控制常数变化，进而演示曲线的变化。
（5）选中点A及线段FD，菜单“构造/垂线”作出垂线，标记为m。
（6）用“圆”工具以点F为圆心做任意大小的圆，用“点”工具在圆周上任取一点，标记为B，选中点B和点F，菜单“构造/直线”做出直线BF，这是设置主动点B的关键步骤，实际上，点B可以是平面上任意一点，但这样提供的运动方式是不确定的，做圆并使点B在圆周上运动，就为点B提供了确定的运动方式，便于后面生成轨迹的操作。
（7）依次选中点B、点F和点D，菜单“构造/角平分线”做出的平分线，选中平分线、直线l及直线m，菜单“构造/交点”生成两个交点，依次标记为Q、C。
（8）选中点A，点击菜单“变换/标记中心”，选中点C，菜单“变换/缩放”，设置缩放比为2：1，使点C变换到新位置，标记为E，即AC=CE。
（9）选中点Q、点E，菜单“构造/直线”做出直线QE，进而做出直线QE与直线BF的交点，标记为P。
（10）依次选中点B（主动点）、点P（从动点），菜单“构造/轨迹”生成点P的轨迹，此轨迹即为圆锥曲线，其中F为焦点，A为顶点，l为准线，AF/AD为离心率。
五、演示方式
圆锥曲线生成后，通过改变点A的位置来改变离心率。当AF/AD<1时，轨迹为椭圆。当AF/AD=1时，轨迹为抛物线。当AF/AD>1时，轨迹为双曲线。同时，改变点F和直线的距离能变化曲线的大小。
演示方式一：使用按钮隐藏轨迹，计算并显示AF/AD的值（即离心率），将点A从F向D移动，选取五个不同位置，分别追踪点P，运动点B即可产生相应轨迹，演示效果如图3。
演示方式二：显示轨迹，从F向D拖动点A，可以演示轨迹从椭圆、抛物线至双曲线的连续变化过程。
(作者单位：江苏大丰高级中学)
数学中的函数和方程常需要研究其图象，如能在教学中演示其图象的生成过程、变化特征，会加强学生的感性认识，提高学习效率。从笔者多年制作教学课件的经验来看，制作这样一个课件的关键技术是如何设计用来生成数学轨迹（或动态图象）的算法。失当的算法使制作课件效率低下，甚至于难以完成，只有高效的算法才能事半功倍。本文通过一个数学案例来说明：如何设计生成轨迹的良好算法；算法在几何画板中的实现过程；课件在课堂教学中的演示方式。
二、理论基础
几何画板以点、直线（段）、圆为基础，通过相交、垂直、平移、对称、缩放等众多变化能构建出许多复杂的图形，辅以“绘制函数”的功能，几乎涵盖了所有中小学阶段所涉及的图象问题，当驱动其中某个特征点时，便能生成轨迹或使图象运动起来。但仅仅知道这些基础的功能，只能处理简易的图象问题，想要高效地生成复杂的、动态的轨迹，还需要进一步理解几何画板中生成动态轨迹的原则。据笔者看来，重要的原则有两个：其一，寻找一个主动点来提供运动方式，从这个主动点出发，依照确定的步骤做出一个或多个从动点（即构成轨迹的动点），从而生成轨迹；其二，确定好函数或方程的参数设置方式，以便于轨迹的调整及演示时的变化。
有必要对以上两个原则作进一步说明：其一，从主动点出发到做出从动点的过程就是一个合理算法设计的过程，良好的算法依赖于设计者对所做轨迹的深刻理解和对几何画板功能的熟知，这是作图的核心部分，也是初学几何画板时最值得花时间思考的地方，往往能有一通百通的效果。其二，只有适当的主动点及其良好的运动方式才能为后面的生成轨迹打好基础，因此，应多思考什么样的点适合做主动点及这个点应以一个什么样的方式来运动。主动点的运动轨迹常在圆（弧）、直线（线段）或确定图象上，同时应尽量确保整个主动点的运动是连续不断的，这样从动点生成的轨迹才会是连续的一个整体。其三，设计算法时尽量淡化所做轨迹的个别化特征，寻找这一类轨迹生成的通法，比如作一个具体二次函数的图象，就可以考虑以三个参数来分别代替三个系数，初次构图时会费些时间，但这样做是高效的，生成图象后，只需调整相应参数即可得到相应图象，甚至可以将其做成一个新工具，方便以后直接调用。参数的运用是初学几何画板时的一个难点，没有参数的轨迹只是静态的图象，是无法实时变化的，也就不利于课堂教学的演示。其四，参数的设置尽量不用菜单“图表/新建参数”来产生，而应以一种几何的方式给出，最好能赋予参数一个明确的实际意义，这样便于演示轨迹变化时的参数调整，也便于学生理解参数的意义以及参数变化与图象变化的关联。
三、案例说明
本文选择的构图案例是“圆锥曲线的统一生成方法及其演示”。圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线三类。三者独立而又共具特征。教材中“圆锥曲线的统一定义”揭示了三者的联系与区别，但三者到底是如何演变的，学生由于缺乏感性认识，仅依靠三张静态图象在接受上存在明显的困难。因此本案例有较高的教学价值。
先看圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点和到一条定直线（定点在直；线外）的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中，定点是焦点，定直线是准线，常数是离心率，当常数小于1时，轨迹是椭圆；当常数等于1时，轨迹是抛物线；当常数大于1时，轨迹是双曲线。
如果仅仅需要分别做出三种轨迹并加以比较，对许多有过制作轨迹经验的教师而言不是难事。困难的地方在于难以将三个图象有机地整合在一起，并通过一个参数的控制来演示统一定义中所说的变化，所以需要选择合适的算法来构图。
然而，从统一定义看来，没有明确的点可做主动点，无论是从定点出发还是从定直线出发，都不容易做出从动点。但经过研究可以发现一个圆锥曲线的统一性质。
圆锥曲线如图1，记焦点F，顶点A，准线l，过点A作对称轴FA的垂线，设点P为曲线上任意一点，∠PFA的平分线与l交于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE，则P、E、Q三点共线。
统一性质与统一定义相比较，一个明显的优点是任意两点间的关系确定，可以由一个几何的方式来做出图中的任意一个点。因此，就以这个统一性质作为整个构图算法的理论基础。
从上述理论可以看出，如何做出点P是关键，直线PF的主动旋转可以引导点P在图象上运动，这就能提供一个主动的运动方式。在直线PF上任取一点作为主动点，依照理论可以做出点P，从而可以生成轨迹。
四、构图过程
构图要处理好的两个关键点：一是选取适当的主动点；二是定义中常数的设置方式。
圆锥曲线的统一做法（图2）。
（1）打开新画板，选择菜单“图表/定义坐标系”做出坐标系，选择工具栏中的“点”工具，在坐标系的横轴上任取两点，用“文本”工具分别标记为F和D。
（2）选中点D及横轴，菜单“构造/垂线”做出垂线，标记为l。
（3）选中点D和点F，菜单“构造/线段”做出线段FD。
（4）用“点”工具在FD上任取一点，标记为A，这是设置统一定义中常数的关键步骤，AF与AD的比值即为常数，通过改变点A的位置来控制常数变化，进而演示曲线的变化。
（5）选中点A及线段FD，菜单“构造/垂线”作出垂线，标记为m。
（6）用“圆”工具以点F为圆心做任意大小的圆，用“点”工具在圆周上任取一点，标记为B，选中点B和点F，菜单“构造/直线”做出直线BF，这是设置主动点B的关键步骤，实际上，点B可以是平面上任意一点，但这样提供的运动方式是不确定的，做圆并使点B在圆周上运动，就为点B提供了确定的运动方式，便于后面生成轨迹的操作。
（7）依次选中点B、点F和点D，菜单“构造/角平分线”做出的平分线，选中平分线、直线l及直线m，菜单“构造/交点”生成两个交点，依次标记为Q、C。
（8）选中点A，点击菜单“变换/标记中心”，选中点C，菜单“变换/缩放”，设置缩放比为2：1，使点C变换到新位置，标记为E，即AC=CE。
（9）选中点Q、点E，菜单“构造/直线”做出直线QE，进而做出直线QE与直线BF的交点，标记为P。
（10）依次选中点B（主动点）、点P（从动点），菜单“构造/轨迹”生成点P的轨迹，此轨迹即为圆锥曲线，其中F为焦点，A为顶点，l为准线，AF/AD为离心率。
五、演示方式
圆锥曲线生成后，通过改变点A的位置来改变离心率。当AF/AD<1时，轨迹为椭圆。当AF/AD=1时，轨迹为抛物线。当AF/AD>1时，轨迹为双曲线。同时，改变点F和直线的距离能变化曲线的大小。
演示方式一：使用按钮隐藏轨迹，计算并显示AF/AD的值（即离心率），将点A从F向D移动，选取五个不同位置，分别追踪点P，运动点B即可产生相应轨迹，演示效果如图3。
演示方式二：显示轨迹，从F向D拖动点A，可以演示轨迹从椭圆、抛物线至双曲线的连续变化过程。
(作者单位：江苏大丰高级中学)