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摘 要：数学概念是数学学习的基础，是培养学生数学能力的发源地。数学史记录了数学概念的演变过程，蕴含了数学概念内容、思想和方法的发展过程。将数学史融入概念教学中，可以帮助教师拓宽视野，把握学情，改进教学方法，进而激发学生数学学习兴趣，提升学生数学学习能力。
关键词：数学史;高中;概念教学
一、问题提出
（一）一道练习题引发的思考
【2016—2017学年浙江省金华十校联考高二上学期期末考试】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
本题正确答案是D，在一次高三周测中，班级30名学生，答对该题的仅有10人。本题考查的是用平面截圆锥的截口曲线问题，此类问题是立体几何动态问题中的热点也是难点，而教材上没有对这类问题的要求，由此引发笔者的思考：如何分析该问题学生易于理解？能否将该内容与教材内容有效地融合？
（二）一堂公开课带来的启发
笔者在一次活动中，听了一堂《椭圆》的公开课，授课教师突破传统教学设计，采用发生教学法，借鉴椭圆知识发生和发展的历史，以球在太阳光下的影子为例引出椭圆，并在教师的启发和引导下让学生完成旦德林双球实验（即用一个与两个圆柱（圆锥）的内切球都相切的平面截圆柱（或圆锥）），让学生自主地发现“椭圆上点到两定点的距离之和为常数（大于两定点间的距离）”这一性质。进而，该教师设计继续用圆锥内的旦德林双球实验，研究双曲线和抛物线。通过三堂课的学习，与传统教学设计相比，学生经历了截口曲线的产生与圆锥曲线性质发现的过程，因此对平面截圆锥的截口曲线问题理解更深入，对椭圆、双曲线、抛物线的性质掌握更到位。
这堂公开课给笔者带来了启发：1.上述练习题学生不会做的原因，是对椭圆、双曲线、抛物线的概念理解不到位;2.教师在传统概念教学中，“轻概念的形成过程，重概念的应用过程”，导致学生对概念理解不透;3.结合数学史的概念教学，追溯概念发生发展的过程，采用发生教学法，让学生经历概念的形成过程，能够更好地掌握概念。因此，笔者对基于数学史的概念教学策略展开了一些思考。
二、策略探究
（一）新视角·新起点·新方法——基于认知的数学概念教学策略
1.数学史为概念教学展现“新视角”
教师在概念教学中，可以充分查阅数学史知识，找到与概念相关的数学家的故事，或者在数学史中与所学概念相类似的问题，在教学过程中，用数学家的故事引入概念，或通过解决数学史中的问题得出概念，可以减少学生对数学家的刻板印象，增加数学课堂的趣味性，拉近学生与数学的距离，给予数学更人文的一面。因此，数学史为概念教学展现“新视角”。
如：在《概率》教学时，可引用伽利略的故事：伽利略17岁那年，考进了比萨大学医学专业。有一次上课，比罗教授讲胚胎学，他讲道：“母亲生男孩还是生女孩，是由父亲的强弱决定的。父亲身体强壮，母亲就生男孩;父亲身体衰弱，母亲就生女孩。”比罗教授话音刚落，伽利略就举手说道：“老师，我有疑问。我的邻居，男的身体非常强壮，可他的妻子一连生了5个女儿。这与老师讲得正好相反，这该怎么解释？”看完故事，让学生思考“这该怎么解释”，从而引进概率的概念。
2.数学史为概念教学搭建“新起点”
经常会听到数学老师抱怨：“这么简单的问题我都讲了无数遍了，还是不会做！”教师所说的“简单”是以自己的认知水平为基准，而不是以学生的认知水平为出发点，因此造成了学生对知识的理解障碍。教师应当根据学生现有的认知结构的水平和特点，把掌握数学概念，以及所蕴含的数学思想、方法作为教学的最主要目标。教师在备课前，先查阅相关的数学史知识，把握数学家在研究概念时的认知水平，教师在做教学设计时，以数学家发现概念的问题为切入点引入课题，并结合数学家们遇到的问题设计符合学生认知的提问，引导学生逐步解决问题，得出概念，进而提升学生的思维能力。因此，研究概念的历史来源可以帮助教师掌握学生的认知水平，即数学史为概念教学搭建“新起点”。
如：在《数系的扩充与复数的引入》一节中，书本上给出思考题“x2+1=0在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？”，但是在学生的认知中，初中教科书已经明确了这个方程没有实根了，为什么会提出这样的问题呢？虽然在教师的认知中，这个例子很简洁很契合虚数的引入，但是这与学生的认知形成了知识结构上的矛盾，会让学生产生“难道初中学习的内容都是错的”这种错觉。在历史上，虚数的引入并不是一帆风顺的，从9世纪开始，数学家们认为负数开平方是不可能的，一直到16世纪至17世纪，数学家们对卡丹问题及三次方程实根之间的矛盾感到困惑，才逐步展开深入的研究并最终将问题解决。因此，通过虚数的发展历史教师可以预见到直接让学生解决方程x2+1=0根的问题，学生在认知上是很难接受的。因此，教师的教学设计可以让学生重新体验从自然数集到整数集到有理数集到实数集的扩充过程，进而理解引入复数的必要性。
3.数学史为概念教学定位“新方法”
学生学习概念的过程是概念的“再發现”过程。学生的学习可以借鉴概念的“发现”过程，创设问题情境，设置教学环节，在教师的引导下经历概念的“再发现”过程，也即用“演绎法”展开学习，让学生经历数学家获得概念的思维活动过程，自主地生成概念。不仅能帮助学生更好地理解概念，还能培养学生的数学思维能力，抽象概念能力，从而提升学生的数学核心素养。因此，数学史为概念教学提供“新方法”。 如：在《对数与对数运算》第一课时的教学中，教师可以结合对数的发现发展的过程展开教学，让学生经历对数概念的形成过程。基于数学史的《对数与对数运算》第一课时教学设计思路如下：
在对数概念的引入环节中，创设以下的问题情境：
观察下列表格，回答以下问题：
（1）上表中的数有什么特征？
（2）如何利用上表求下列各式的值：16×128;256×4096;1048576÷1024。
（3）求下列式子的值：1）897×1048578;2）299792.468×31536000。
通过问题（1）（2）可以发现，上述表中的数据可以帮助我们快速地求解大数乘、除问题，将乘除变成加减，降低运算难度;由问题（3）发现上述表不能解决所有的大数乘除运算，因为表中的数据间隔太大，大多数的数很难找到对应的精确的幂指数，因此我们要改进数表。
苏格兰数学家约翰.纳皮尔发明了上述数表，出版了《奇妙的对数定律说明书》，从而有了对数.
通过上述结合数学史的问题情境设置，让学生经历对数概念发生发展的过程，可以让学生理解对数中的“对”即“对应”“相对”的意思，对数就是求指数的运算，对数的发明是为了解决16、17世纪约翰·纳皮尔在研究天文学问题中遇到的计算问题。
（二）新魅力·新动力——基于激励的数学概念教学策略
1.数学史为概念学习绽放“新魅力”
由于近几年浙江高考制度的改革，高考数学也不分文理，对于偏文的学生而言，他们本身的数学思维能力抽象能力都偏薄弱，试卷的整体难度相比较文理分科时的试卷难度又有所增加，导致偏文学生听不懂、学不会，渐渐地，更觉得数学枯燥，数学难学等。因此，教师可以用数学史来丰富课堂，让抽象的数学课堂“活”起来，给数学课堂增加文化色彩;数学教师能像历史教师那样上知天文下知地理，讲数学概念能说出历史由来，在数学课堂上能自如地添加数学家的故事，他们便会对数学老师产生崇拜感，从而产生学习数学的欲望。因此，结合数学史的数学课堂，可以激发学生的学习兴趣，从而使数学学习绽放“新魅力”。
2.数学史为概念学习激发“新动力”
在概念教学中，可以结合数学史对学生进行“示错”教学，即在概念教学中，给学生展示数学家在数学史进程中给出的错误结论，以及数学家勇于提出问题、锲而不舍地解决问题的过程，使学生认识到数学家发现数学概念的过程是曲折的，数学家也会像他们一样犯错，而且让学生认识到一个概念的产生不是一蹴而就的，可能会经历几个世纪，才有数学家将问题解决，从而增强学生数学学习的信心，培养学生勇于提问、坚持真理、追求创新的品质。因此，数学史可以为概念学习激发“新动力”。
如，在学习了教科书上棱柱的概念之后，给出被称为“几何之父”的欧几里得的著作《几何原本》中对棱柱的定义：“一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个平面是相对的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四边形。”显然，欧几里得对棱柱的定义与教科书上给的定义是不同的，教师可以让学生探究，举出例子来推翻欧几里得的棱柱定义。当学生举出例子之后，再告诉学生，欧几里得的定义是在公元前3世纪给出的，而到1876年才有数学家给出了欧几里得不同的定义，一直到1916年才举出推翻欧几里得的棱柱定义的反例。当学生经历了整个过程之后，不仅能更深刻地理解棱柱的概念，还能获取成就感，增强学习数学的信心。
三、反思与结语
在实际的教学过程中，要使数学史在概念教学中发挥积极作用还存在以下问题：一是教学进度的压力，一堂课仅有40分钟，如果花过多的时间在概念的引入上，概念的应用就没有时间，完不成教学计划;二是数学史资料的匮乏，教師所知道的例子往往仅限于课本，网上的资源不完整，很难有效地与课堂结合;三是教师对于数学史的理解存在误区，说到数学史教师往往会和数学家的故事联系起来，数学家的故事只是数学史的一部分，数学史中更本质的内容是概念形成过程中蕴含的数学思想和方法。
数学史是理解数学的一种途径，结合数学史，可以为教师展开概念教学提供“新视角”、“新起点”、“新方向”，可以为学生学习概念创设“新魅力”、“新动力”。在知识方面，让学生经历概念“再发现”的过程，经历概念发生发展的过程，可以帮助学生理解概念;在能力方面，教师有效地把握学生的认知水平，设置恰当的起点（即教学的切入点），安排符合学生认知结构的知识发展过程，使得学生在问题解决过程中思维能力得到提升;在情感方面，通过数学家的故事，数学的文化色彩，激发学生学习数学的兴趣和信心。
参考文献
[1]章建跃.数学教育随想录[M].浙江教育出版社，2017：151-152.
[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].科学教育出版社，2017：19-22，451-452.
关键词：数学史;高中;概念教学
一、问题提出
（一）一道练习题引发的思考
【2016—2017学年浙江省金华十校联考高二上学期期末考试】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
本题正确答案是D，在一次高三周测中，班级30名学生，答对该题的仅有10人。本题考查的是用平面截圆锥的截口曲线问题，此类问题是立体几何动态问题中的热点也是难点，而教材上没有对这类问题的要求，由此引发笔者的思考：如何分析该问题学生易于理解？能否将该内容与教材内容有效地融合？
（二）一堂公开课带来的启发
笔者在一次活动中，听了一堂《椭圆》的公开课，授课教师突破传统教学设计，采用发生教学法，借鉴椭圆知识发生和发展的历史，以球在太阳光下的影子为例引出椭圆，并在教师的启发和引导下让学生完成旦德林双球实验（即用一个与两个圆柱（圆锥）的内切球都相切的平面截圆柱（或圆锥）），让学生自主地发现“椭圆上点到两定点的距离之和为常数（大于两定点间的距离）”这一性质。进而，该教师设计继续用圆锥内的旦德林双球实验，研究双曲线和抛物线。通过三堂课的学习，与传统教学设计相比，学生经历了截口曲线的产生与圆锥曲线性质发现的过程，因此对平面截圆锥的截口曲线问题理解更深入，对椭圆、双曲线、抛物线的性质掌握更到位。
这堂公开课给笔者带来了启发：1.上述练习题学生不会做的原因，是对椭圆、双曲线、抛物线的概念理解不到位;2.教师在传统概念教学中，“轻概念的形成过程，重概念的应用过程”，导致学生对概念理解不透;3.结合数学史的概念教学，追溯概念发生发展的过程，采用发生教学法，让学生经历概念的形成过程，能够更好地掌握概念。因此，笔者对基于数学史的概念教学策略展开了一些思考。
二、策略探究
（一）新视角·新起点·新方法——基于认知的数学概念教学策略
1.数学史为概念教学展现“新视角”
教师在概念教学中，可以充分查阅数学史知识，找到与概念相关的数学家的故事，或者在数学史中与所学概念相类似的问题，在教学过程中，用数学家的故事引入概念，或通过解决数学史中的问题得出概念，可以减少学生对数学家的刻板印象，增加数学课堂的趣味性，拉近学生与数学的距离，给予数学更人文的一面。因此，数学史为概念教学展现“新视角”。
如：在《概率》教学时，可引用伽利略的故事：伽利略17岁那年，考进了比萨大学医学专业。有一次上课，比罗教授讲胚胎学，他讲道：“母亲生男孩还是生女孩，是由父亲的强弱决定的。父亲身体强壮，母亲就生男孩;父亲身体衰弱，母亲就生女孩。”比罗教授话音刚落，伽利略就举手说道：“老师，我有疑问。我的邻居，男的身体非常强壮，可他的妻子一连生了5个女儿。这与老师讲得正好相反，这该怎么解释？”看完故事，让学生思考“这该怎么解释”，从而引进概率的概念。
2.数学史为概念教学搭建“新起点”
经常会听到数学老师抱怨：“这么简单的问题我都讲了无数遍了，还是不会做！”教师所说的“简单”是以自己的认知水平为基准，而不是以学生的认知水平为出发点，因此造成了学生对知识的理解障碍。教师应当根据学生现有的认知结构的水平和特点，把掌握数学概念，以及所蕴含的数学思想、方法作为教学的最主要目标。教师在备课前，先查阅相关的数学史知识，把握数学家在研究概念时的认知水平，教师在做教学设计时，以数学家发现概念的问题为切入点引入课题，并结合数学家们遇到的问题设计符合学生认知的提问，引导学生逐步解决问题，得出概念，进而提升学生的思维能力。因此，研究概念的历史来源可以帮助教师掌握学生的认知水平，即数学史为概念教学搭建“新起点”。
如：在《数系的扩充与复数的引入》一节中，书本上给出思考题“x2+1=0在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？”，但是在学生的认知中，初中教科书已经明确了这个方程没有实根了，为什么会提出这样的问题呢？虽然在教师的认知中，这个例子很简洁很契合虚数的引入，但是这与学生的认知形成了知识结构上的矛盾，会让学生产生“难道初中学习的内容都是错的”这种错觉。在历史上，虚数的引入并不是一帆风顺的，从9世纪开始，数学家们认为负数开平方是不可能的，一直到16世纪至17世纪，数学家们对卡丹问题及三次方程实根之间的矛盾感到困惑，才逐步展开深入的研究并最终将问题解决。因此，通过虚数的发展历史教师可以预见到直接让学生解决方程x2+1=0根的问题，学生在认知上是很难接受的。因此，教师的教学设计可以让学生重新体验从自然数集到整数集到有理数集到实数集的扩充过程，进而理解引入复数的必要性。
3.数学史为概念教学定位“新方法”
学生学习概念的过程是概念的“再發现”过程。学生的学习可以借鉴概念的“发现”过程，创设问题情境，设置教学环节，在教师的引导下经历概念的“再发现”过程，也即用“演绎法”展开学习，让学生经历数学家获得概念的思维活动过程，自主地生成概念。不仅能帮助学生更好地理解概念，还能培养学生的数学思维能力，抽象概念能力，从而提升学生的数学核心素养。因此，数学史为概念教学提供“新方法”。 如：在《对数与对数运算》第一课时的教学中，教师可以结合对数的发现发展的过程展开教学，让学生经历对数概念的形成过程。基于数学史的《对数与对数运算》第一课时教学设计思路如下：
在对数概念的引入环节中，创设以下的问题情境：
观察下列表格，回答以下问题：
（1）上表中的数有什么特征？
（2）如何利用上表求下列各式的值：16×128;256×4096;1048576÷1024。
（3）求下列式子的值：1）897×1048578;2）299792.468×31536000。
通过问题（1）（2）可以发现，上述表中的数据可以帮助我们快速地求解大数乘、除问题，将乘除变成加减，降低运算难度;由问题（3）发现上述表不能解决所有的大数乘除运算，因为表中的数据间隔太大，大多数的数很难找到对应的精确的幂指数，因此我们要改进数表。
苏格兰数学家约翰.纳皮尔发明了上述数表，出版了《奇妙的对数定律说明书》，从而有了对数.
通过上述结合数学史的问题情境设置，让学生经历对数概念发生发展的过程，可以让学生理解对数中的“对”即“对应”“相对”的意思，对数就是求指数的运算，对数的发明是为了解决16、17世纪约翰·纳皮尔在研究天文学问题中遇到的计算问题。
（二）新魅力·新动力——基于激励的数学概念教学策略
1.数学史为概念学习绽放“新魅力”
由于近几年浙江高考制度的改革，高考数学也不分文理，对于偏文的学生而言，他们本身的数学思维能力抽象能力都偏薄弱，试卷的整体难度相比较文理分科时的试卷难度又有所增加，导致偏文学生听不懂、学不会，渐渐地，更觉得数学枯燥，数学难学等。因此，教师可以用数学史来丰富课堂，让抽象的数学课堂“活”起来，给数学课堂增加文化色彩;数学教师能像历史教师那样上知天文下知地理，讲数学概念能说出历史由来，在数学课堂上能自如地添加数学家的故事，他们便会对数学老师产生崇拜感，从而产生学习数学的欲望。因此，结合数学史的数学课堂，可以激发学生的学习兴趣，从而使数学学习绽放“新魅力”。
2.数学史为概念学习激发“新动力”
在概念教学中，可以结合数学史对学生进行“示错”教学，即在概念教学中，给学生展示数学家在数学史进程中给出的错误结论，以及数学家勇于提出问题、锲而不舍地解决问题的过程，使学生认识到数学家发现数学概念的过程是曲折的，数学家也会像他们一样犯错，而且让学生认识到一个概念的产生不是一蹴而就的，可能会经历几个世纪，才有数学家将问题解决，从而增强学生数学学习的信心，培养学生勇于提问、坚持真理、追求创新的品质。因此，数学史可以为概念学习激发“新动力”。
如，在学习了教科书上棱柱的概念之后，给出被称为“几何之父”的欧几里得的著作《几何原本》中对棱柱的定义：“一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个平面是相对的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四边形。”显然，欧几里得对棱柱的定义与教科书上给的定义是不同的，教师可以让学生探究，举出例子来推翻欧几里得的棱柱定义。当学生举出例子之后，再告诉学生，欧几里得的定义是在公元前3世纪给出的，而到1876年才有数学家给出了欧几里得不同的定义，一直到1916年才举出推翻欧几里得的棱柱定义的反例。当学生经历了整个过程之后，不仅能更深刻地理解棱柱的概念，还能获取成就感，增强学习数学的信心。
三、反思与结语
在实际的教学过程中，要使数学史在概念教学中发挥积极作用还存在以下问题：一是教学进度的压力，一堂课仅有40分钟，如果花过多的时间在概念的引入上，概念的应用就没有时间，完不成教学计划;二是数学史资料的匮乏，教師所知道的例子往往仅限于课本，网上的资源不完整，很难有效地与课堂结合;三是教师对于数学史的理解存在误区，说到数学史教师往往会和数学家的故事联系起来，数学家的故事只是数学史的一部分，数学史中更本质的内容是概念形成过程中蕴含的数学思想和方法。
数学史是理解数学的一种途径，结合数学史，可以为教师展开概念教学提供“新视角”、“新起点”、“新方向”，可以为学生学习概念创设“新魅力”、“新动力”。在知识方面，让学生经历概念“再发现”的过程，经历概念发生发展的过程，可以帮助学生理解概念;在能力方面，教师有效地把握学生的认知水平，设置恰当的起点（即教学的切入点），安排符合学生认知结构的知识发展过程，使得学生在问题解决过程中思维能力得到提升;在情感方面，通过数学家的故事，数学的文化色彩，激发学生学习数学的兴趣和信心。
参考文献
[1]章建跃.数学教育随想录[M].浙江教育出版社，2017：151-152.
[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].科学教育出版社，2017：19-22，451-452.