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在形形色色的应用题题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理地转化处理，建立数学模型.建立此类数学模型主要有如下三种方法：
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型；
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型.
解答这些函数模型的具体步骤是：①设：合理、恰当地设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际中，给出最终的答案.下面从五个方面谈谈如何用数学模型解决实际问题.
1. 正比例、反比例和一次函数模型
例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元．因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水厂处理，每处理1立方米需付14元的排污费．
问：（1）设工厂每月生产[x]件产品，每月利润为[y]元，分别求出依方案一和方案二处理污水时，[y]和[x]的关系式；（利润=总收入-总支出）
（2）当工厂每月生产6000件产品时，采用哪种污水处理方案可以节约支出，使工厂得到更多的利润？
分析（1）每件产品出厂价为50，共[x]件，则总收入为[50x]，成本费为[25x]，产生的污水总量为[0.5x]，按方案一处理污水应花费：[0.5x×2+30000]，按方案二处理应花费[0.5x×14]．根据利润=总收入-总支出即可得到[y]与[x]的关系．
（2）根据（1）中得到的[x]与[y]的关系，将[x]=6000代入，比较[y]的大小即可知采用哪种方案工厂利润最多．
解（1）由分析得：采用第一种方案时总利润为[y=50x-25x-0.5x×2-30000=24x-30000]；采用第二种方案时总利润为[y=50x-25x-0.5x×14=18x].
（2）[x]=6000，当采用第一种方案时工厂利润为：[y1]=24×6000-30000=114000；当采用第二种方案时工厂利润为[y2]=18×6000=108000；[y1]>[y2]，所以工厂采用第一种方案时利润更多．
点评根据题干信息找出题中存在的等式关系，然后依照等式关系列出方程．本题存在的等式关系为：利润=总收入-总支出．然后分别找出总收入和总支出．
2. 二次函数增长模型
例2某租赁公司拥有汽车[100]辆．当每辆车的月租金为[3000]元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加[50]元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费[150]元，未租出的车每辆每月需要维护费[50]元．
（1）当每辆车的月租金定为[3600]时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解（1）当每辆车的月租金定为[3600]时，未租出的车辆数为[3600-300050=12]，
∴租出了[88]辆车．
（2）设每辆车的月租金为[x][(x>3000)]元，
则租赁公司月收益为
[y=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50]
整理后得，[y=-x250+162x-21000]
[=-150x-40502+30750].
∴当[x=4050]时，[y]的最大值为[30750]，即当每辆车的月租金定为[4050]元时，租赁公司的月收益最大为[30750]元．
点评月收益[=]每辆车的租金[×]租出车辆数[-]车辆维护费．最值问题一定要考查取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节.
3. 分段函数模型
例3据气象中心观察和预测：发生于[M]地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度[v]（km/h）与时间[t]（h）的函数图象如图所示，过线段[OC]上一点[T]（[t]，0）作横轴的垂线[l]，梯形[OABC]在直线[l]左侧部分的面积即为[t]（h）内沙尘暴所经过的路程[s]（km）.
（1）当[t]=4时，求[s]的值；
（2）将[s]随[t]变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若[N]城位于[M]地正南方向，且距[M]地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到[N]城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到[N]城？如果不会，请说明理由.
解 （1）由图象可知，当[t]=4时，[v=3×4=12],
∴[s]=[12]×4×12=24.
（2）①当0≤[t]≤10时，[s]=[12]·[t]·3[t]=[32][t2]；
②当10＜[t]≤20时，
[s]=[12]×10×30+30（[t][-]10）=30[t]-150；
③当20＜[t]≤35时，
[s]=[12]×10×30+10×30+([t]-20)×30-[12]×([t][-]20)×2([t][-]20)
=[-t2]+70[t][-]550.
综上可知[s]=[32t2, t∈0,10,30t-150, t∈10,20,-t2+70t-550, t∈20,35 .]
(3)∵[t]∈［0，10］时，[smax]=[32]×[102]=150＜650.
[t]∈（10，20］时，[smax]=30×20[-]150=450＜650.
∴当[t]∈（20，35］时，令[-t2]+70[t][-]550=650.
解得[t1]=30, [t2]=40,∵20＜[t]≤35,
∴[t]=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到[N]城.
点拨（1）现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数就是刻画现实问题的重要模型.
（2）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.
4. 指数函数模型
例4家用冰箱使用的氟化物的释放能破坏大气上层臭氧层.臭氧层含量[Q]呈指数型函数变化，满足关系式[Q=Q0e-t400,]其中[Q0]是臭氧的初始量.随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？多少年后将会有一半的臭氧消失？
分析判断臭氧的含量是增加还是减少，只需判断指数型函数的单调性即可.第（2）问是求指数的未知数，应考虑取对数的方法.
解（1）[∵Q0]>0,[-t400]<0,[e>1,]
[∴Q=Q0e-t400]为减函数.
[∴]随时间的增加，臭氧的含量是减少.
（2）设[x]年以后将会有一半的臭氧消失，则[Q0=e-x400=12Q0]，即[e-x400=12]，两边取自然对数，[-x400=ln12]，解得[x=400ln2≈278.]
[∴]287年以后将会有一半的臭氧消失.
点拨本题第一问涉及函数的单调性问题，第二问涉及指数方程求解两边取对数的方法.
5. 多种函数模型参与或多种模型差异比较
例5我国1999~2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
（1）画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.
解析（1）画出函数图形.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型.
如图所示：设所求的线性函数为[y=kx+b].
把直线通过的两点[(0,8.2067)]和[(3,10.2398)]代入上式，解方程组得，[k=0.6777,b=8.2067].
因此，所求的函数关系式为[y=f(x)=0.6777x+8.2067].
（2）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为：
[f(1)=0.6777×1+8.2067=8.8844，f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621.]
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.
（3）假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，则2003年（即[x=4]时）的国内生产总值为：[y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175].
所以2003年国内生产总值约为10.9175万亿元.
点拨本题是建立一个真实的函数模型解决实际问题的例子. 提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入检验，这是一个完整的过程. 作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的基础，确定函数模型后，经常需要检验，如误差较大，就要修正得到的函数模型.
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型；
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型.
解答这些函数模型的具体步骤是：①设：合理、恰当地设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际中，给出最终的答案.下面从五个方面谈谈如何用数学模型解决实际问题.
1. 正比例、反比例和一次函数模型
例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元．因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水厂处理，每处理1立方米需付14元的排污费．
问：（1）设工厂每月生产[x]件产品，每月利润为[y]元，分别求出依方案一和方案二处理污水时，[y]和[x]的关系式；（利润=总收入-总支出）
（2）当工厂每月生产6000件产品时，采用哪种污水处理方案可以节约支出，使工厂得到更多的利润？
分析（1）每件产品出厂价为50，共[x]件，则总收入为[50x]，成本费为[25x]，产生的污水总量为[0.5x]，按方案一处理污水应花费：[0.5x×2+30000]，按方案二处理应花费[0.5x×14]．根据利润=总收入-总支出即可得到[y]与[x]的关系．
（2）根据（1）中得到的[x]与[y]的关系，将[x]=6000代入，比较[y]的大小即可知采用哪种方案工厂利润最多．
解（1）由分析得：采用第一种方案时总利润为[y=50x-25x-0.5x×2-30000=24x-30000]；采用第二种方案时总利润为[y=50x-25x-0.5x×14=18x].
（2）[x]=6000，当采用第一种方案时工厂利润为：[y1]=24×6000-30000=114000；当采用第二种方案时工厂利润为[y2]=18×6000=108000；[y1]>[y2]，所以工厂采用第一种方案时利润更多．
点评根据题干信息找出题中存在的等式关系，然后依照等式关系列出方程．本题存在的等式关系为：利润=总收入-总支出．然后分别找出总收入和总支出．
2. 二次函数增长模型
例2某租赁公司拥有汽车[100]辆．当每辆车的月租金为[3000]元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加[50]元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费[150]元，未租出的车每辆每月需要维护费[50]元．
（1）当每辆车的月租金定为[3600]时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解（1）当每辆车的月租金定为[3600]时，未租出的车辆数为[3600-300050=12]，
∴租出了[88]辆车．
（2）设每辆车的月租金为[x][(x>3000)]元，
则租赁公司月收益为
[y=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50]
整理后得，[y=-x250+162x-21000]
[=-150x-40502+30750].
∴当[x=4050]时，[y]的最大值为[30750]，即当每辆车的月租金定为[4050]元时，租赁公司的月收益最大为[30750]元．
点评月收益[=]每辆车的租金[×]租出车辆数[-]车辆维护费．最值问题一定要考查取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节.
3. 分段函数模型
例3据气象中心观察和预测：发生于[M]地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度[v]（km/h）与时间[t]（h）的函数图象如图所示，过线段[OC]上一点[T]（[t]，0）作横轴的垂线[l]，梯形[OABC]在直线[l]左侧部分的面积即为[t]（h）内沙尘暴所经过的路程[s]（km）.
（1）当[t]=4时，求[s]的值；
（2）将[s]随[t]变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若[N]城位于[M]地正南方向，且距[M]地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到[N]城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到[N]城？如果不会，请说明理由.
解 （1）由图象可知，当[t]=4时，[v=3×4=12],
∴[s]=[12]×4×12=24.
（2）①当0≤[t]≤10时，[s]=[12]·[t]·3[t]=[32][t2]；
②当10＜[t]≤20时，
[s]=[12]×10×30+30（[t][-]10）=30[t]-150；
③当20＜[t]≤35时，
[s]=[12]×10×30+10×30+([t]-20)×30-[12]×([t][-]20)×2([t][-]20)
=[-t2]+70[t][-]550.
综上可知[s]=[32t2, t∈0,10,30t-150, t∈10,20,-t2+70t-550, t∈20,35 .]
(3)∵[t]∈［0，10］时，[smax]=[32]×[102]=150＜650.
[t]∈（10，20］时，[smax]=30×20[-]150=450＜650.
∴当[t]∈（20，35］时，令[-t2]+70[t][-]550=650.
解得[t1]=30, [t2]=40,∵20＜[t]≤35,
∴[t]=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到[N]城.
点拨（1）现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数就是刻画现实问题的重要模型.
（2）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.
4. 指数函数模型
例4家用冰箱使用的氟化物的释放能破坏大气上层臭氧层.臭氧层含量[Q]呈指数型函数变化，满足关系式[Q=Q0e-t400,]其中[Q0]是臭氧的初始量.随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？多少年后将会有一半的臭氧消失？
分析判断臭氧的含量是增加还是减少，只需判断指数型函数的单调性即可.第（2）问是求指数的未知数，应考虑取对数的方法.
解（1）[∵Q0]>0,[-t400]<0,[e>1,]
[∴Q=Q0e-t400]为减函数.
[∴]随时间的增加，臭氧的含量是减少.
（2）设[x]年以后将会有一半的臭氧消失，则[Q0=e-x400=12Q0]，即[e-x400=12]，两边取自然对数，[-x400=ln12]，解得[x=400ln2≈278.]
[∴]287年以后将会有一半的臭氧消失.
点拨本题第一问涉及函数的单调性问题，第二问涉及指数方程求解两边取对数的方法.
5. 多种函数模型参与或多种模型差异比较
例5我国1999~2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
（1）画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.
解析（1）画出函数图形.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型.
如图所示：设所求的线性函数为[y=kx+b].
把直线通过的两点[(0,8.2067)]和[(3,10.2398)]代入上式，解方程组得，[k=0.6777,b=8.2067].
因此，所求的函数关系式为[y=f(x)=0.6777x+8.2067].
（2）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为：
[f(1)=0.6777×1+8.2067=8.8844，f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621.]
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.
（3）假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，则2003年（即[x=4]时）的国内生产总值为：[y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175].
所以2003年国内生产总值约为10.9175万亿元.
点拨本题是建立一个真实的函数模型解决实际问题的例子. 提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入检验，这是一个完整的过程. 作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的基础，确定函数模型后，经常需要检验，如误差较大，就要修正得到的函数模型.