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[摘 要]数学建模指向模型思想和建模能力培养的全过程，通过“基于实际问题—建立数学模型—求解数学模型—应用数学模型”，帮助学生逐步形成和提升建模能力，核心价值在于通过解决一道题从而解决一类题。结合课例展开建模教学的策略论述，唤醒教师的数学建模教学意识，培养学生的数学建模能力。
[关键词]数学建模;数学模型;教材
模型思想和数学建模能力作为一种重要的数学思想和数学学习能力，对学生数学思维的培养有重要的作用。它们是理论与实践的相互表达，在小学阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建模能力的培养有助于改善学生的学习方式，使学生主动学习、学会学习。
一、建模教学的现状分析
数学模型是数学语言的一种直观表达，具有广泛性。为了解本区域教师对“数学建模”的教学情况，笔者进行了如下调查，并形成一些基本认识。
（一）调查研究，了解建模状态
共有118位教师填写问卷。从问题（1）的结果来看，了解数学建模的教师占76.3%，略知的占22.4%，不了解的占1.3%，这说明大部分教师对数学建模并不陌生。但是经常从数学建模角度进行课堂诠释的教师只占12.5%，偶尔的占35.8%，51.7%的教师从未如此处理。同样，（3）（4）两个问题的调查结果也显现出部分教师对建模文章的冷淡，经常关注和写过相关文章的教师分别只占29.3%和8.4%。这是什么原因呢？既然大家对建模都了解，那为什么进行这方面思考的却很少呢？从大家列举的从建模角度诠释的课堂教学内容来看，大家抓住了课程标准中“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”这句话，列举的都是能够总结出公式的相关问题，如加减乘除的运算，周长、面积的计算等，内容较为丰富。通过这份问卷可以看到，教师对建模的价值有一定的了解，但却不重视在课堂上真正凸显建模的意义和从建模的视角进行反思。
2.个案研究分析
笔者对78位教师关于”三角形的三边关系”的教学视频进行分析，发现在评价中提到“建模”的只有2位。数学建模在这节课中的地位非常突出，但教师教学中不谈及，笔者认为主要原因在于模型思想还未植根于教师的教育教学理念中。
结合以上调查研究，同样发现目前建模教学存在如下问题：
（1）认为建模指向结果的运用
在建模能力培养的过程中，教师对数学建模的意义理解的不充分，从而过于注重模型的运用，形成填鸭式训练。这种情况多见于计算类、公式运用类教学，教师直接告知学生可以套用模型来解决一类问题。这样在短时间内能够达成掌握的效果，但学生对于模型的理解就会有所欠缺，导致学生对这部分学习过于机械化，感受了数学的精密美，却丢失了自我探索的乐趣。数学课堂应该夯实过程，帮助学生经历再创造，促进核心素养的落实、深度学习的发生。
（2）模型结构的逻辑理解不到位
数学是逻辑性较强的学科，很多知识的模型随着学生能力的提升会不断地完善和丰富，教师在教学时应该关注知识的逻辑体系，适时渗透，帮助学生对模型的形成有更为丰富的认识。如在教学四年级“用数对确定位置”时，教师就应该考虑到低年级的利用行、列确定位置和将来的在三维空间中确定位置，帮助学生初步经历“线—面—体”的模型建构过程。
（二）文献研究，了解研究动态
张景中教授被认为是我国最早研究数学建模的学者。笔者于2019年10月5日在中国知网以“数学建模”“小学数学建模”为主题和关键词，对期刊类文章和硕博论文按照发表年度和研究层次展开检索。从检索结果中发现，不论是围绕“数学建模”还是“小学数学建模”的研究数量，总体都呈上升趋势，尤其是自2012年以来，有关“小学数学建模”的研究数量上升幅度较前几年有明显的变化。由此可以看出2011年数学课程标准增加的“模型思想”引起了许多教育研究者极大的兴趣，大家纷纷投入其中开展相关研究，这同时也反映出“数学建模”在当今教育领域占据着举足轻重的地位。同时，随着数学核心素养的提出，建模又成为高中阶段学生的六大核心素养之一，可见培养建模能力的重要性。
目前国内对小学数学建模的研究主要集中在以下几个方面：小学数学建模教学的意义和价值;小学数学建模教学的目标;小学数学建模教学的策略与途径;小学数学建模教学的过程。基于对以上学者研究的整理和学习，数学建模能力的培养不仅有助于学生核心素养的落实、学生学习走向深度，而且是数学学科走向数学科学的必经过程。
二、建模教学的实施策略
基于以上研究，笔者通过对教材的解读、对内容的理解、对课堂的诠释，形成如下数学建模教学策略。
（一）立足教材，把握知识生长逻辑
对于教学内容的研读，必须从两个维度出发进行思考，一个是内容体系，立足知识本位，索前与探后，了解教学内容在整个知识体系中的逻辑地位;另一个是基于教材进行思考，对例题深度把握，确定诠释方法。對于小学中能突出培养模型思想和建模能力的内容，教师需要立足这两点进行思考，才可能把握好模型知识的生长逻辑，有准备地步入课堂。
如苏教版三年级下册“长方形和正方形的面积”教学，学生通过度量操作逐步抽象建立面积计算模型，并在运用中深化和掌握。在备课这部分内容时，教师可以从以下几方面进行研读。
从内容体系来看，学生在之前已经学习过长度单位，并掌握度量线段长度的方法。线段长度的度量就是从一个维度进行单位的累加，这与面积的计算的本质是一致的。面积计算是从两个维度累加单位，以此类推，学生六年级学习长方体和正方体的体积时，就是从三个维度进行单位累加。了解这部分内容所处的位置，教师就会从唤醒经验的角度帮助学生主动进行探究，站在知识的上位进行教学，助推学生模型思想的形成。 从教材安排来看，本课时教材共安排了3道例题，这3道例题是让学生从具体操作到逐步抽象概括的过程。教师在研读时要清楚了解每道例题的价值。学生通过摆1平方厘米的小正方形，初步感受长方形的面积与小正方形的个数有关;再通过小正方形的数量来进行验证;最后通过在心中摆小正方形，在三个维度的深化中形成长方形的面积公式，即建立模型。正方形面积的推导既是长方形面积计算模型的应用，又是深度理解模型的过程。看似简单的面积计算公式，要让学生真正的理解和掌握，教师不可定于“教”，而应助于“学”。
数学建模能将学生的思维过程用直观的语言进行归纳总结，外化于行。同时学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他们的数学思维能力、数学观念及意识。教师在理解建模思想培养的典型素材时，必须站在更高的高度来理解，才能引导学生向深度学习迈进。
（二）基于学生，关注建模的全过程，有结构地组织教学
为体现数学模型的价值，我们应该把从生活中抽象出的数学问题，通过数学课堂的建构和求解再运用到生活中去，让学生经历完整的建模过程。
1.立足问题，指明教学方向
没有问题指向就没有课堂的教学研究，学生的数学学习是在不断解决问题中掌握知识、形成技能，升华思想、丰富经验。好的问题能够激发学生的探索欲望，促进学生学习的深入。
例如五年级下册的“圆的面积”，教学的核心就是“怎样计算圆的面积”。因为这个核心问题，才有下面的问题探究，从而让学生在一系列的探究和推理中形成圆面积的计算模型。
低年级的数学问题趋向于情境化，利用形象的图片让学生发现数学问题，抽象出数学模型，激发学生学习的欲望。到了中高年级趋向于具体的生活问题和科学的解决诉求，问题与学生的心智发展切合，因而很好地为建立数学模型做铺垫。教师要善于捕捉情境中的数学信息，同时尽可能抓住生活中可利用的素材生成问题进行教学，这样不仅可以拉近数学与生活之间的联系，而且可以为应用数学模型、体现数学价值做支撑。
2.抽象概况，搭建模型结构
从具体问题抽象出数学模型，是数学建模的重要环节。当剥去无关因素，只留下问题本质时，数学课堂的研究之旅即为开启。在帮助学生建立数学模型的过程中，教师应该循序渐进，使学生逐步了解模型的整体结构。
如六年级下册“圆锥的体积”的教学。
学生通过实验对圆锥的体积进行研究，分享时呈现两类资源。
[资源1]学生使用的实验材料是水、等底等高的圆柱和圆锥形容器，实验的过程是在圆锥形容器里装满水，然后倒入圆柱形容器中，一共倒了3次，结论是圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍。
[资源2]学生选择的实验材料是水、等底等高的圆柱和圆锥形容器，实验的过程是在圆柱形容器中装满水，然后倒入圆锥形容器中，同样倒了3次，结论是圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
学生介绍自己的实验操作过程，在清晰的表达中获得圆锥体积的计算模型。
对于同一知识，学生所形成的模型结构并不是单一的，作为教师，要善于引导学生从不同的角度建构屬于自己的数学理解。通过问题情境和学习素材，放手让学生联系自己已有的学习经验，尝试建立不同的数学模型，在讨论和对比中不断优化模型，让方法多样化和方法优化成为学生模型建构的智慧桥梁。
3.提炼固化，探索模型之解
对于学生建立的数学模型，教师要让学生以严谨的态度去进行求证，确定结果及结果的意义。教师要为学生提供探究的空间，让学生经历模型求解的过程。
例如苏教版教材六年级下册“圆柱的体积”的教学，学生通过长方体和正方体的体积计算已经形成对等底等高的圆柱的体积计算公式的猜想。接着通过转化，在演绎推理中建立圆柱和转化后的长方体的对应关系，从而证得圆柱的体积计算公式。
这样的求解求证过程，是对知识的提炼和巩固，更是对原有知识经验的唤醒和升华。学生在圆的面积计算中已经获得求解这类模型的经验，再次运用，不仅是经历，更是唤醒，除了在建模能力上获得提升外，经验也得以丰富。在教学中，很多探究规律的问题，重点就是模型的验证，学生在建立模型后通过推理、实验、举例等方法求解模型，可以达成对知识的理解和掌握。
4.应用理解，提升建模能力
在教学中，教师可以从知晓、解释和应用三个方面去促进学生对知识的理解，让学生明白建立数学模型可以达成对数学知识的解释，而模型的应用则是对数学知识的一种认可和延伸。在这一过程中，学生不仅达成对知识的巩固和消化，更认识到数学建模的意义和价值所在。
例如在教学苏教版四年级下册“画示意图解决问题”时，当学生通过图形建立了“长增加求原来面积”问题的模型时，教师就可以启发学生思考“还可以怎样改变图形使得面积也发生变化”。这时候学生通过长增加想到宽增加，再到长和宽都增加使得面积增加，而面积增加对应的则为面积减少，长和宽不仅可以同时增加和减少，甚至还能一个增加一个减少……在这样的变化中，学生不断调整认知，挑战自我思维，数学能力得到了充分的提升。
数学问题千变万化，但数学模型却始终如一，以不变应万变，这就是数学的魅力所在。总之，基于模型思想的研究是数学教育的一种应然追求，帮助学生提升建模能力，体会数学的生活性、应用性、科学性和工具性，站在核心素养培育的高度，以深度表达促进深度学习，为客观世界与数学科学之间搭建智慧的桥梁，创造数学理性之美。
（责编 吴美玲）
[关键词]数学建模;数学模型;教材
模型思想和数学建模能力作为一种重要的数学思想和数学学习能力，对学生数学思维的培养有重要的作用。它们是理论与实践的相互表达，在小学阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建模能力的培养有助于改善学生的学习方式，使学生主动学习、学会学习。
一、建模教学的现状分析
数学模型是数学语言的一种直观表达，具有广泛性。为了解本区域教师对“数学建模”的教学情况，笔者进行了如下调查，并形成一些基本认识。
（一）调查研究，了解建模状态
共有118位教师填写问卷。从问题（1）的结果来看，了解数学建模的教师占76.3%，略知的占22.4%，不了解的占1.3%，这说明大部分教师对数学建模并不陌生。但是经常从数学建模角度进行课堂诠释的教师只占12.5%，偶尔的占35.8%，51.7%的教师从未如此处理。同样，（3）（4）两个问题的调查结果也显现出部分教师对建模文章的冷淡，经常关注和写过相关文章的教师分别只占29.3%和8.4%。这是什么原因呢？既然大家对建模都了解，那为什么进行这方面思考的却很少呢？从大家列举的从建模角度诠释的课堂教学内容来看，大家抓住了课程标准中“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”这句话，列举的都是能够总结出公式的相关问题，如加减乘除的运算，周长、面积的计算等，内容较为丰富。通过这份问卷可以看到，教师对建模的价值有一定的了解，但却不重视在课堂上真正凸显建模的意义和从建模的视角进行反思。
2.个案研究分析
笔者对78位教师关于”三角形的三边关系”的教学视频进行分析，发现在评价中提到“建模”的只有2位。数学建模在这节课中的地位非常突出，但教师教学中不谈及，笔者认为主要原因在于模型思想还未植根于教师的教育教学理念中。
结合以上调查研究，同样发现目前建模教学存在如下问题：
（1）认为建模指向结果的运用
在建模能力培养的过程中，教师对数学建模的意义理解的不充分，从而过于注重模型的运用，形成填鸭式训练。这种情况多见于计算类、公式运用类教学，教师直接告知学生可以套用模型来解决一类问题。这样在短时间内能够达成掌握的效果，但学生对于模型的理解就会有所欠缺，导致学生对这部分学习过于机械化，感受了数学的精密美，却丢失了自我探索的乐趣。数学课堂应该夯实过程，帮助学生经历再创造，促进核心素养的落实、深度学习的发生。
（2）模型结构的逻辑理解不到位
数学是逻辑性较强的学科，很多知识的模型随着学生能力的提升会不断地完善和丰富，教师在教学时应该关注知识的逻辑体系，适时渗透，帮助学生对模型的形成有更为丰富的认识。如在教学四年级“用数对确定位置”时，教师就应该考虑到低年级的利用行、列确定位置和将来的在三维空间中确定位置，帮助学生初步经历“线—面—体”的模型建构过程。
（二）文献研究，了解研究动态
张景中教授被认为是我国最早研究数学建模的学者。笔者于2019年10月5日在中国知网以“数学建模”“小学数学建模”为主题和关键词，对期刊类文章和硕博论文按照发表年度和研究层次展开检索。从检索结果中发现，不论是围绕“数学建模”还是“小学数学建模”的研究数量，总体都呈上升趋势，尤其是自2012年以来，有关“小学数学建模”的研究数量上升幅度较前几年有明显的变化。由此可以看出2011年数学课程标准增加的“模型思想”引起了许多教育研究者极大的兴趣，大家纷纷投入其中开展相关研究，这同时也反映出“数学建模”在当今教育领域占据着举足轻重的地位。同时，随着数学核心素养的提出，建模又成为高中阶段学生的六大核心素养之一，可见培养建模能力的重要性。
目前国内对小学数学建模的研究主要集中在以下几个方面：小学数学建模教学的意义和价值;小学数学建模教学的目标;小学数学建模教学的策略与途径;小学数学建模教学的过程。基于对以上学者研究的整理和学习，数学建模能力的培养不仅有助于学生核心素养的落实、学生学习走向深度，而且是数学学科走向数学科学的必经过程。
二、建模教学的实施策略
基于以上研究，笔者通过对教材的解读、对内容的理解、对课堂的诠释，形成如下数学建模教学策略。
（一）立足教材，把握知识生长逻辑
对于教学内容的研读，必须从两个维度出发进行思考，一个是内容体系，立足知识本位，索前与探后，了解教学内容在整个知识体系中的逻辑地位;另一个是基于教材进行思考，对例题深度把握，确定诠释方法。對于小学中能突出培养模型思想和建模能力的内容，教师需要立足这两点进行思考，才可能把握好模型知识的生长逻辑，有准备地步入课堂。
如苏教版三年级下册“长方形和正方形的面积”教学，学生通过度量操作逐步抽象建立面积计算模型，并在运用中深化和掌握。在备课这部分内容时，教师可以从以下几方面进行研读。
从内容体系来看，学生在之前已经学习过长度单位，并掌握度量线段长度的方法。线段长度的度量就是从一个维度进行单位的累加，这与面积的计算的本质是一致的。面积计算是从两个维度累加单位，以此类推，学生六年级学习长方体和正方体的体积时，就是从三个维度进行单位累加。了解这部分内容所处的位置，教师就会从唤醒经验的角度帮助学生主动进行探究，站在知识的上位进行教学，助推学生模型思想的形成。 从教材安排来看，本课时教材共安排了3道例题，这3道例题是让学生从具体操作到逐步抽象概括的过程。教师在研读时要清楚了解每道例题的价值。学生通过摆1平方厘米的小正方形，初步感受长方形的面积与小正方形的个数有关;再通过小正方形的数量来进行验证;最后通过在心中摆小正方形，在三个维度的深化中形成长方形的面积公式，即建立模型。正方形面积的推导既是长方形面积计算模型的应用，又是深度理解模型的过程。看似简单的面积计算公式，要让学生真正的理解和掌握，教师不可定于“教”，而应助于“学”。
数学建模能将学生的思维过程用直观的语言进行归纳总结，外化于行。同时学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他们的数学思维能力、数学观念及意识。教师在理解建模思想培养的典型素材时，必须站在更高的高度来理解，才能引导学生向深度学习迈进。
（二）基于学生，关注建模的全过程，有结构地组织教学
为体现数学模型的价值，我们应该把从生活中抽象出的数学问题，通过数学课堂的建构和求解再运用到生活中去，让学生经历完整的建模过程。
1.立足问题，指明教学方向
没有问题指向就没有课堂的教学研究，学生的数学学习是在不断解决问题中掌握知识、形成技能，升华思想、丰富经验。好的问题能够激发学生的探索欲望，促进学生学习的深入。
例如五年级下册的“圆的面积”，教学的核心就是“怎样计算圆的面积”。因为这个核心问题，才有下面的问题探究，从而让学生在一系列的探究和推理中形成圆面积的计算模型。
低年级的数学问题趋向于情境化，利用形象的图片让学生发现数学问题，抽象出数学模型，激发学生学习的欲望。到了中高年级趋向于具体的生活问题和科学的解决诉求，问题与学生的心智发展切合，因而很好地为建立数学模型做铺垫。教师要善于捕捉情境中的数学信息，同时尽可能抓住生活中可利用的素材生成问题进行教学，这样不仅可以拉近数学与生活之间的联系，而且可以为应用数学模型、体现数学价值做支撑。
2.抽象概况，搭建模型结构
从具体问题抽象出数学模型，是数学建模的重要环节。当剥去无关因素，只留下问题本质时，数学课堂的研究之旅即为开启。在帮助学生建立数学模型的过程中，教师应该循序渐进，使学生逐步了解模型的整体结构。
如六年级下册“圆锥的体积”的教学。
学生通过实验对圆锥的体积进行研究，分享时呈现两类资源。
[资源1]学生使用的实验材料是水、等底等高的圆柱和圆锥形容器，实验的过程是在圆锥形容器里装满水，然后倒入圆柱形容器中，一共倒了3次，结论是圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍。
[资源2]学生选择的实验材料是水、等底等高的圆柱和圆锥形容器，实验的过程是在圆柱形容器中装满水，然后倒入圆锥形容器中，同样倒了3次，结论是圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
学生介绍自己的实验操作过程，在清晰的表达中获得圆锥体积的计算模型。
对于同一知识，学生所形成的模型结构并不是单一的，作为教师，要善于引导学生从不同的角度建构屬于自己的数学理解。通过问题情境和学习素材，放手让学生联系自己已有的学习经验，尝试建立不同的数学模型，在讨论和对比中不断优化模型，让方法多样化和方法优化成为学生模型建构的智慧桥梁。
3.提炼固化，探索模型之解
对于学生建立的数学模型，教师要让学生以严谨的态度去进行求证，确定结果及结果的意义。教师要为学生提供探究的空间，让学生经历模型求解的过程。
例如苏教版教材六年级下册“圆柱的体积”的教学，学生通过长方体和正方体的体积计算已经形成对等底等高的圆柱的体积计算公式的猜想。接着通过转化，在演绎推理中建立圆柱和转化后的长方体的对应关系，从而证得圆柱的体积计算公式。
这样的求解求证过程，是对知识的提炼和巩固，更是对原有知识经验的唤醒和升华。学生在圆的面积计算中已经获得求解这类模型的经验，再次运用，不仅是经历，更是唤醒，除了在建模能力上获得提升外，经验也得以丰富。在教学中，很多探究规律的问题，重点就是模型的验证，学生在建立模型后通过推理、实验、举例等方法求解模型，可以达成对知识的理解和掌握。
4.应用理解，提升建模能力
在教学中，教师可以从知晓、解释和应用三个方面去促进学生对知识的理解，让学生明白建立数学模型可以达成对数学知识的解释，而模型的应用则是对数学知识的一种认可和延伸。在这一过程中，学生不仅达成对知识的巩固和消化，更认识到数学建模的意义和价值所在。
例如在教学苏教版四年级下册“画示意图解决问题”时，当学生通过图形建立了“长增加求原来面积”问题的模型时，教师就可以启发学生思考“还可以怎样改变图形使得面积也发生变化”。这时候学生通过长增加想到宽增加，再到长和宽都增加使得面积增加，而面积增加对应的则为面积减少，长和宽不仅可以同时增加和减少，甚至还能一个增加一个减少……在这样的变化中，学生不断调整认知，挑战自我思维，数学能力得到了充分的提升。
数学问题千变万化，但数学模型却始终如一，以不变应万变，这就是数学的魅力所在。总之，基于模型思想的研究是数学教育的一种应然追求，帮助学生提升建模能力，体会数学的生活性、应用性、科学性和工具性，站在核心素养培育的高度，以深度表达促进深度学习，为客观世界与数学科学之间搭建智慧的桥梁，创造数学理性之美。
（责编 吴美玲）