论文部分内容阅读
【摘要】课堂教学是数学教育落实的主要方式，如何在课堂教学中培养学生的能力和意识，提升学生的核心素养，是每位教师都应该着重研究的方向。文章借助基本不等式的教学过程展示了预设与生成是教学中的一对矛盾统一体，两者相辅相成，缺一不可。
【关键词】基本不等式；课堂教学；预设；生成
2018年，笔者有幸参加了山东省中学数学优质课评选活动，课题是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》中的“基本不等式 ”。本节课中，教材运用数形结合的方法对基本不等式进行了证明和解释。在备课、上课及课后反思中，笔者对课堂教学中的预设与生成有了深刻体会，不吐不快。下面把这节课的内容分析、教学设计、教后反思与教学心得记录下来，愿与同行研讨。
一、教学内容分析与教法说明
“基本不等式 ”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。它是在学完“不等式的性质”“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
本节课是第一课时，教学重点是应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程，而不是如何应用基本不等式解决具体问题。在教学中，笔者应用“情景-问题-研究”模式教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者，学生是数学建构活动的主人。教学设计不是用传统的“公式 例子 练习”模式设计，而是把公式的建立当作一种情境，设计问题串为学习搭建脚手架，引发学生去操作，活动，讨论，反思。
二、教学设计及设计意圖
（一）设计问题，创设情境
（多媒体展示）华罗庚先生的诗：
“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”
开场白：华罗庚先生有数学家的睿智、诗人的浪漫。同学们请说出华先生的这首诗表达的思想。
生：“数形结合百般好”。
师：今天我们一同来体会如何运用数形结合的方法来研究问题。
设计意图：使学生了解数学家、数学史、数学思想，尽快进入数学情景；为本节课问题的探究指明方法，做铺垫。给学生留下疑问：“我们要运用数形结合研究什么问题呢？如何运用数形结合来研究问题呢？”激发学生学习兴趣，使学生对将要出现的探究问题充满期待。
（多媒体展示）第24界国际数学家大会的会标。
师：第24界国际数学家大会于2002年在北京召开，这是大会的会标，其中的图案大家见过么？
生：见过，这是“赵爽弦图”，在初中曾用它证明过勾股定理。
师：我们还能在“赵爽弦图”中探究出什么信息呢？
（多媒体展示）
问1：同学们在原来的学习过程中见过这个图形吗？
问2：在此图中有哪些几何图形？
问3：若我们设图中直角三角形的直角边分别为 、 ，你能用 、 表示四个直角三角形的面积和吗？你能用 、 表示大正方形的面积吗？
问4：根据图形，比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系，写出不等式。
设计意图：寻求学生的最近发展区，以学生初中已经接触过的赵爽弦图作为导入素材，使学生有熟悉的感觉，乐于探究新的知识。以 、 表示直角三角形的两条直角边，为后面的学习扫清障碍。若以教材的安排，以 、 分别代替 、b，学生不太容易理解。四个问题的设置，便于学生层层深入地研究，使研究方向更明确。
（二）学生探究，尝试解决
师生互动：学生观察图形，思考问题，写出结果。教师巡视，了解学生情况，在适当时候建议学生小组内部相互交流。学生在小组内部对比结果，互相交流，达成共识，展示成果。
设计意图：培养学生独立动手、动脑能力和应用数学知识、方法、思想解决问题的能力，培养学生交流合作的能力，通过交流培养学生发现问题（不全面）的能力，培养学生全面思考问题的意识以及努力探究的精神。
师：请一位同学展示一下研究成果。
预设：有的学生可能会写出 ，也可能写出 。
师：四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等？相等时，图形产生了怎样的变化？ 、 有什么关系？
生：有可能相等，四个直角三角形的直角顶点会重合，此时 。
师：如此一来，我们可以得到如下结论：（多媒体展示并板书）结论（1）：对任意实数 ， ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。
以上结论是我们从几何图形中的面积关系获得的，同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程；教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当的时候挑选学生板演证明过程。
设计意图：培养学生独立思考、解决问题的能力，使学生体会不等式证明的常用方法，使学生感受到几何的直观性后，进一步感受代数证明的严谨。
预设：有的同学会把要证明的结论作为条件使用；有的同学只证明 ，而忽视了“当且仅当 时，等号成立”的证明；有的同学会以 为条件，证明“当且仅当 时，等号成立”；有的同学会使用作差法证明这个结论。
（三）师生交流，解释规律
师生互动：教师对学生板演的证明过程做出评价；注意方法的选择、步骤的规范；强调等号成立的条件。
师：同学们对结论中的“当且仅当”如何理解？
生：当 时，并且只有 时，等号成立。 师：同学们理解得很到位！
师：如果我们使用两个正数 、 分别代替 、 ，那么以上结论我们可以写成什么形式？
师生共同总结，教师板书：结论（2）：若 ， ，可得 ，通常记为 ，当且仅当 时，等号成立。
师：对这个结论，我们能否进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程。教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当时候选择学生板演证明过程。
预设：有的同学面对 不知如何使用完全平方公式；有的同学会预习教材，运用分析法解决问题，需指明分析法的书写规则。
师生互动：教师对学生板演的证明过程做出评价；注意方法的选择、步骤的规范；进一步强调等号成立的条件。
师：结论（1）我们是在赵爽弦图中发现的，那么我们能不能找到结论（2）的几何解释呢？同学们来看这个问题。
（多媒体展示）
是圆 的直径，点 是 上任意一点， ， 。过点 作垂直于 的弦 ，连接 、 。试以a、 表示 、 的长度并比较两者大小。
师生互动：学生观察图形，阅读问题内容，积极思考，写出结果，反思结果的几何意义。
教师提问并板书： ， ，由图可得： 。
设计意图：结论（1）由形到数，结论（2）由数到形，进一步使学生体会数形结合的思想。
师：什么时候等号成立？
生： 时，等号成立。
师：有什么几何解释呢？
生：圆内半弦不超过半径。
师：以上我们从代数证明和几何解释两方面对结论（2）进行了验证，验证了它的正确性。结论（2）中的不等式在现实生活与数学研究方面有着广泛的运用，我们通常称之为“基本不等式”。这就是我们本节课的课题。（板书课题）
设计意图：明确本节课的学习内容，为整个探究过程作出最终成果，使学生感受成功的喜悦。
师：对于一个公式，我们首先要观察结构，进行记忆。同学们观察基本不等式两侧，你想到了原来学过的哪些知识？
预设：有的同学会回答平均数；有的同学可能会回答等比中项、等差中项。
师： 是我们平时求平均数的方法，我们称之为算数平均数； 我们称为几何平均数。基本不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数。这是它的代数解释。
三、教学反思
通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能与学生有共同的探究体验。在教学过程中，注意到了由“给出知识”转变为“引起活动”，由“完成教学任务”转变为“促进学生发展”。
本节课比较满意的方面有：
（1）课堂气氛活跃，师生互动积极，教学相长，意犹未尽；
（2）教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动的探究，使学生具有大量的思维活动；
（3）主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦。
本节课还需改进之处有：
学生在探究问题时，没有注意把握时间，没有及时做出反馈和总结，为后面的教学留下隐患，使得最后没有处理例题、巩固提高的时间；还是由于时间关系，小结部分没有总结到位。
四、教学心得
预设与生成是教学中的一对矛盾统一体，两者相辅相成，缺一不可[1]。生成强调的是学生的活动和思维，它彰显的是学生的主体性；预设强调的是教师的设计和安排，它彰顯的是教师的主导性[2]。
教师备课时，首先要深入钻研教材，把握教材的精髓和难点，把教材内化为自己的东西，具有“走进去”的深度和“跳出来”的勇气，这是课堂中催生和捕捉有价值的生成的前提。课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性，减少低水平和可预知的生成，激发高水平和精彩的生成。生成是师生的“即兴创造”，是“无法预约的美丽”，它犹如天马行空，不期而至。为此，预设要有弹性和开放性，给生成腾出时间和空间。教师要确立生成的意识，要深入思考课堂教学的大方向、大环节和关键性内容，把握课堂教学的整体思路和目标指向，为学生的自主活动提供必要的时间[3]。强调生成的动态性，意味着上课不是执行教案而是教案再创造的过程；不是把心思放在教材、教参和教案上，而是放在观察学生，倾听学生，发现学生，并与学生积极互动上。它要求教师在课堂教学活动中不能拘泥于课前的预设，要根据实际情况，随时对设计做出有把握的调整、变更。因此，预设不是束缚学生思维的框框，不是预设学生学习的标准答案，而是使课堂因预设变得更有灵性和魅力，为了更精彩的生成。
苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生的不知不觉中做出相应的变动。”教师只有重视生成，发扬学生的课堂主权，引导生成，保证资源的有效价值和不断地反思生成，教学才能触动生命的灵性，课堂才能充满智慧的灵光。
【参考文献】
[1]刘春萍.充分预设精彩生成[J].课程教材教学研究，2011（03）：74-75.
[2]余文森.如何处理预设与生成的关系[J].课程·教材·教法，2017（05）：12-13.
[3]林素香.让“生成”为“预设”添色彩[J].读写算（教师版），2014（03）：111-112.
【关键词】基本不等式；课堂教学；预设；生成
2018年，笔者有幸参加了山东省中学数学优质课评选活动，课题是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》中的“基本不等式 ”。本节课中，教材运用数形结合的方法对基本不等式进行了证明和解释。在备课、上课及课后反思中，笔者对课堂教学中的预设与生成有了深刻体会，不吐不快。下面把这节课的内容分析、教学设计、教后反思与教学心得记录下来，愿与同行研讨。
一、教学内容分析与教法说明
“基本不等式 ”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。它是在学完“不等式的性质”“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
本节课是第一课时，教学重点是应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程，而不是如何应用基本不等式解决具体问题。在教学中，笔者应用“情景-问题-研究”模式教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者，学生是数学建构活动的主人。教学设计不是用传统的“公式 例子 练习”模式设计，而是把公式的建立当作一种情境，设计问题串为学习搭建脚手架，引发学生去操作，活动，讨论，反思。
二、教学设计及设计意圖
（一）设计问题，创设情境
（多媒体展示）华罗庚先生的诗：
“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”
开场白：华罗庚先生有数学家的睿智、诗人的浪漫。同学们请说出华先生的这首诗表达的思想。
生：“数形结合百般好”。
师：今天我们一同来体会如何运用数形结合的方法来研究问题。
设计意图：使学生了解数学家、数学史、数学思想，尽快进入数学情景；为本节课问题的探究指明方法，做铺垫。给学生留下疑问：“我们要运用数形结合研究什么问题呢？如何运用数形结合来研究问题呢？”激发学生学习兴趣，使学生对将要出现的探究问题充满期待。
（多媒体展示）第24界国际数学家大会的会标。
师：第24界国际数学家大会于2002年在北京召开，这是大会的会标，其中的图案大家见过么？
生：见过，这是“赵爽弦图”，在初中曾用它证明过勾股定理。
师：我们还能在“赵爽弦图”中探究出什么信息呢？
（多媒体展示）
问1：同学们在原来的学习过程中见过这个图形吗？
问2：在此图中有哪些几何图形？
问3：若我们设图中直角三角形的直角边分别为 、 ，你能用 、 表示四个直角三角形的面积和吗？你能用 、 表示大正方形的面积吗？
问4：根据图形，比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系，写出不等式。
设计意图：寻求学生的最近发展区，以学生初中已经接触过的赵爽弦图作为导入素材，使学生有熟悉的感觉，乐于探究新的知识。以 、 表示直角三角形的两条直角边，为后面的学习扫清障碍。若以教材的安排，以 、 分别代替 、b，学生不太容易理解。四个问题的设置，便于学生层层深入地研究，使研究方向更明确。
（二）学生探究，尝试解决
师生互动：学生观察图形，思考问题，写出结果。教师巡视，了解学生情况，在适当时候建议学生小组内部相互交流。学生在小组内部对比结果，互相交流，达成共识，展示成果。
设计意图：培养学生独立动手、动脑能力和应用数学知识、方法、思想解决问题的能力，培养学生交流合作的能力，通过交流培养学生发现问题（不全面）的能力，培养学生全面思考问题的意识以及努力探究的精神。
师：请一位同学展示一下研究成果。
预设：有的学生可能会写出 ，也可能写出 。
师：四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等？相等时，图形产生了怎样的变化？ 、 有什么关系？
生：有可能相等，四个直角三角形的直角顶点会重合，此时 。
师：如此一来，我们可以得到如下结论：（多媒体展示并板书）结论（1）：对任意实数 ， ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。
以上结论是我们从几何图形中的面积关系获得的，同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程；教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当的时候挑选学生板演证明过程。
设计意图：培养学生独立思考、解决问题的能力，使学生体会不等式证明的常用方法，使学生感受到几何的直观性后，进一步感受代数证明的严谨。
预设：有的同学会把要证明的结论作为条件使用；有的同学只证明 ，而忽视了“当且仅当 时，等号成立”的证明；有的同学会以 为条件，证明“当且仅当 时，等号成立”；有的同学会使用作差法证明这个结论。
（三）师生交流，解释规律
师生互动：教师对学生板演的证明过程做出评价；注意方法的选择、步骤的规范；强调等号成立的条件。
师：同学们对结论中的“当且仅当”如何理解？
生：当 时，并且只有 时，等号成立。 师：同学们理解得很到位！
师：如果我们使用两个正数 、 分别代替 、 ，那么以上结论我们可以写成什么形式？
师生共同总结，教师板书：结论（2）：若 ， ，可得 ，通常记为 ，当且仅当 时，等号成立。
师：对这个结论，我们能否进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程。教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当时候选择学生板演证明过程。
预设：有的同学面对 不知如何使用完全平方公式；有的同学会预习教材，运用分析法解决问题，需指明分析法的书写规则。
师生互动：教师对学生板演的证明过程做出评价；注意方法的选择、步骤的规范；进一步强调等号成立的条件。
师：结论（1）我们是在赵爽弦图中发现的，那么我们能不能找到结论（2）的几何解释呢？同学们来看这个问题。
（多媒体展示）
是圆 的直径，点 是 上任意一点， ， 。过点 作垂直于 的弦 ，连接 、 。试以a、 表示 、 的长度并比较两者大小。
师生互动：学生观察图形，阅读问题内容，积极思考，写出结果，反思结果的几何意义。
教师提问并板书： ， ，由图可得： 。
设计意图：结论（1）由形到数，结论（2）由数到形，进一步使学生体会数形结合的思想。
师：什么时候等号成立？
生： 时，等号成立。
师：有什么几何解释呢？
生：圆内半弦不超过半径。
师：以上我们从代数证明和几何解释两方面对结论（2）进行了验证，验证了它的正确性。结论（2）中的不等式在现实生活与数学研究方面有着广泛的运用，我们通常称之为“基本不等式”。这就是我们本节课的课题。（板书课题）
设计意图：明确本节课的学习内容，为整个探究过程作出最终成果，使学生感受成功的喜悦。
师：对于一个公式，我们首先要观察结构，进行记忆。同学们观察基本不等式两侧，你想到了原来学过的哪些知识？
预设：有的同学会回答平均数；有的同学可能会回答等比中项、等差中项。
师： 是我们平时求平均数的方法，我们称之为算数平均数； 我们称为几何平均数。基本不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数。这是它的代数解释。
三、教学反思
通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能与学生有共同的探究体验。在教学过程中，注意到了由“给出知识”转变为“引起活动”，由“完成教学任务”转变为“促进学生发展”。
本节课比较满意的方面有：
（1）课堂气氛活跃，师生互动积极，教学相长，意犹未尽；
（2）教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动的探究，使学生具有大量的思维活动；
（3）主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦。
本节课还需改进之处有：
学生在探究问题时，没有注意把握时间，没有及时做出反馈和总结，为后面的教学留下隐患，使得最后没有处理例题、巩固提高的时间；还是由于时间关系，小结部分没有总结到位。
四、教学心得
预设与生成是教学中的一对矛盾统一体，两者相辅相成，缺一不可[1]。生成强调的是学生的活动和思维，它彰显的是学生的主体性；预设强调的是教师的设计和安排，它彰顯的是教师的主导性[2]。
教师备课时，首先要深入钻研教材，把握教材的精髓和难点，把教材内化为自己的东西，具有“走进去”的深度和“跳出来”的勇气，这是课堂中催生和捕捉有价值的生成的前提。课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性，减少低水平和可预知的生成，激发高水平和精彩的生成。生成是师生的“即兴创造”，是“无法预约的美丽”，它犹如天马行空，不期而至。为此，预设要有弹性和开放性，给生成腾出时间和空间。教师要确立生成的意识，要深入思考课堂教学的大方向、大环节和关键性内容，把握课堂教学的整体思路和目标指向，为学生的自主活动提供必要的时间[3]。强调生成的动态性，意味着上课不是执行教案而是教案再创造的过程；不是把心思放在教材、教参和教案上，而是放在观察学生，倾听学生，发现学生，并与学生积极互动上。它要求教师在课堂教学活动中不能拘泥于课前的预设，要根据实际情况，随时对设计做出有把握的调整、变更。因此，预设不是束缚学生思维的框框，不是预设学生学习的标准答案，而是使课堂因预设变得更有灵性和魅力，为了更精彩的生成。
苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生的不知不觉中做出相应的变动。”教师只有重视生成，发扬学生的课堂主权，引导生成，保证资源的有效价值和不断地反思生成，教学才能触动生命的灵性，课堂才能充满智慧的灵光。
【参考文献】
[1]刘春萍.充分预设精彩生成[J].课程教材教学研究，2011（03）：74-75.
[2]余文森.如何处理预设与生成的关系[J].课程·教材·教法，2017（05）：12-13.
[3]林素香.让“生成”为“预设”添色彩[J].读写算（教师版），2014（03）：111-112.