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数学思想贯穿于高中阶段数学学习的每个章节，在其引领和指导下，对学生数学思维方法的提炼升华有着启迪重塑的重要作用。新课程标准下数学教学方式方法不断推陈出新，但数学思维方法的学习培养却体现在课堂授课的整个过程，本文着重从深化高中数学课堂教学中数学思维方法的实际应用，并探讨与之相关的系列问题。
数学思维方法的地位和作用
高中数学有其内在规律和归属特性。数学课堂教学的实质是在潜移默化强化学生数学思维方法点与面的塑造，使数学思维方法与实题运用相关联。具体到实践中，学生利用数学思想，如函数思想、数形结合思想、集合思想、分类思想、运动思想、变换思想等；再在数学思想指导下，掌握一定的数学思维方法，如观察、联想、分析、综合、分类、归纳、类比、直觉、发散、形象、创造、开放、转化等；在此基础上，学生可驾轻就熟地与数学实践、数学探索和数学研究相衔接，从中提升数学运用能力，如实操能力、逻辑辨析能力、对于已未知问题的快速反应和理解能力等，让学生融会贯通，使数学课堂教学效率达到一个新高度。
对学生数学思维方法的培养，既是数学教学的本质，也是培养和提高学生数学能力的重要途径，更是培养学生创新能力的关键所在。数学思维方法包含概念解析、内容理解、实践操作等诸多环节，一切中心是围绕学生形成对数学所蕴涵认知为前提，多次的实训、累积，当感知达到一定量比，就有与之匹配的质的升华。因此，教师在教学中要时时注重数学思维方法的培养，使数学思维贯穿每个学生的思维活动全过程。
注重学生观察能力的培养
事物的掌握和了解是通过观察而实现的，观察更是认识与感知事物前提和必要条件。在高中数学教学中注重学生观察能力的培养，就是教师对每一个公式、方程、图像的数学形式和结构、数量关系等，做针对性讲解，利用多种教学形式引领学生理解概念，并强调其间所含的内在规律，列举实题让学生实际操作，使学生展示课堂学习成效与问题，对所学、所用知识进行自我评估，锻炼其发现和解决问题的能力。例如：讲等差数列的通用表达式和求和公式时，可先让学生观察“1 2 3 4 5 …… 99 100”有什么特点，它们的公差是“1，1 100=101，2 99=101，3 98=101……”它的通用表达式是什么？和是多少？等差数列的通用公式和它的和又如何表示呢？引导学生自己总结公式，自己出题论证这一结果是否正确，这样可以使学生充分掌握公式的内涵，而不是教师总结，学生死记硬背，而实际运用无从下手。反之，当已知一个数列为等差数列时，以出题者的角度，让学生假设能构想多少种题型？教学中注重对学生进行审题训练，换位思考，启发学生探寻出题者的思路。
重塑综合解析和分析思辨能力
通过观察，首先使学生得到对事物的感性认识；分析就是要透过现象看本质，剖析各部分性质、结构及其关联；最后综合，从整体上把握其本质规律。分析和综合是两种思维活动的相反过程，在数学教学中，分析思辨思路是执果索因，从未知找需知，逐步接近已知；综合解析思路是由起因进行推导，得出结果，进而从已知项寻找出可知项，并逐渐觅向未知项。教学中，要倡导学生在巩固知识要点的基础上，辩证运用分析和综合两个方式，以分析为前提、为出发点、为综合的本因，而在综合指导下进行分析探索，分析所得再进行综合。两种过程，交替使用，互为依存，互相补充，互相渗透，推动着思维的发展和思想的形成。
例题：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2 b2 c2<2（ab bc ac）
（这里可以运用分析思辨法）
解答：证明原不等式成立，只需要证明a2 b2 c2-2ab 2bc 2ac<0。那么，就是a2 b2 c2-a（b c）-b（a c）-c（a b）<0，也就是证明a[a-（b c）] b[b-（a c）] c[c-（a b）]<0……①
∵a、b、c为△ABC的三条边
∴两边之和大于第三边，即a-（b c）<0，b-（a c）<0，c-（a b）<0
∴①式成立，a2 b2 c2<2（ab bc ac）
开拓联想思维能力
联想，是指由一个或一类事物而引发对其相关或可能相关联的另一个或一类事物的想象的思维过程。它包括类比联想、关系联想、逆向联想、定向联想、形似联想、发散联想等多种表现形式。
例题一：已知a、b∈R，且|a| |b|<1，证明：方程x2 ax b=0的两个实根的绝对值小于1。
首先启发学生观察，已知条件是什么，而要证明的又是什么，它们的联系是什么。由已知条件|a| |b|<1可以联想到|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|，由a和b是二次方程x2 ax b=0的系数，可以联想到能用韦达定理。
例题二：已知a、b、c为△ABC的内角A、B、C的对边，且a≠b，（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求证：sinA、sinB、sinC是等差数列。
此题要引导学生观察，由已知条件（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0联想到一元二次方程的判别式，可运用二次方程有等根的条件解此题。
∵（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0
由正弦定理：（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0，则方程（sinA-sinB）x2 （sinC-sinA）x （sinB-sinC）=0有相等实数根。
∵系数之和等于0
∴x=1是方程的根，由根于系数的关系，且a≠b，可得
∴2sinB=sinA sinC
∴sinA、sinB、sinC是等差数列
强化分类、比较和类比能力
分类是指根据事物本质存在的种类、属性、性质、特点等，将其分别归类。分类是将事物中已有的无规律状态，按照特点的不同进行区分，进而使事物趋向于有规律状态。如函数按研究的特点不同，有很多种分类：按幂的不同可分为一次函数、二次函数、三次函数等；按其奇偶性时，可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、即是奇函数同时又是偶函数。数列按照项数可分为有穷数列、无穷数列；按照单调性分为递减数列、递增数列和即非递增也非递减数列。
比较是基于两种或两种以上相同类型事物之间辨别异同的思维方法，是认知了解事物的重要客观路径。通过比较，我们可以找到事物之间的联系及各自特点，它们的共性是什么，又各自具有哪些个性，从而达到解决问题的目的。如在学习三角函数时，将正弦、余弦、正切、余切四种函数，分别从解析式、图象、值域、最小正同期、奇偶性、单调性以及单调区间、对称轴和对称中心进行比较，熟练掌握各个函数的特性及其规律，达到灵活运用。就类比而言，是指根据两种事物或对象在某些特质上相同或相似，导引出它们在其他特质上也有可能相同或相似的结论。类比是一种主观的推理，因此，其结论正确与否，必须经过大量严格的逻辑实践进行佐证。而高中数学应围绕概念、数形、结构等相关内容做类比。
例题：求sin21° sin22° sin23° …… sin289°的和。
研究此题，首先不能查阅函数表，那怎样才能用最简洁的办法求和呢？观察式子发现：从1°到89°与等差数列求和比较相似，都是正弦的平方。和等差、等比数列类比一下，错位相减法，倒序法，可以用吗？不妨借用一下错位相减法。由三角函数的诱导公式sin（90°-α）=cosα联想到sin21° sin22° sin23° …… sin289°=cos21° cos22° cos23° …… cos289°，而同角的正弦和余弦函数又存在sin2α cos2α=1的关系，错位相加，此题的和很容易就可求出。
数学思维方法承接转起有多种方式，在课堂实际教学中，教师应以强化数学基础知识为首要任务，以围绕学生数学思维的培养为主旨，运用教与学、问与答、考与评等多手段巩固提高学生数学思维水平。
（作者单位：山西省太原市清徐县徐沟中学）
数学思维方法的地位和作用
高中数学有其内在规律和归属特性。数学课堂教学的实质是在潜移默化强化学生数学思维方法点与面的塑造，使数学思维方法与实题运用相关联。具体到实践中，学生利用数学思想，如函数思想、数形结合思想、集合思想、分类思想、运动思想、变换思想等；再在数学思想指导下，掌握一定的数学思维方法，如观察、联想、分析、综合、分类、归纳、类比、直觉、发散、形象、创造、开放、转化等；在此基础上，学生可驾轻就熟地与数学实践、数学探索和数学研究相衔接，从中提升数学运用能力，如实操能力、逻辑辨析能力、对于已未知问题的快速反应和理解能力等，让学生融会贯通，使数学课堂教学效率达到一个新高度。
对学生数学思维方法的培养，既是数学教学的本质，也是培养和提高学生数学能力的重要途径，更是培养学生创新能力的关键所在。数学思维方法包含概念解析、内容理解、实践操作等诸多环节，一切中心是围绕学生形成对数学所蕴涵认知为前提，多次的实训、累积，当感知达到一定量比，就有与之匹配的质的升华。因此，教师在教学中要时时注重数学思维方法的培养，使数学思维贯穿每个学生的思维活动全过程。
注重学生观察能力的培养
事物的掌握和了解是通过观察而实现的，观察更是认识与感知事物前提和必要条件。在高中数学教学中注重学生观察能力的培养，就是教师对每一个公式、方程、图像的数学形式和结构、数量关系等，做针对性讲解，利用多种教学形式引领学生理解概念，并强调其间所含的内在规律，列举实题让学生实际操作，使学生展示课堂学习成效与问题，对所学、所用知识进行自我评估，锻炼其发现和解决问题的能力。例如：讲等差数列的通用表达式和求和公式时，可先让学生观察“1 2 3 4 5 …… 99 100”有什么特点，它们的公差是“1，1 100=101，2 99=101，3 98=101……”它的通用表达式是什么？和是多少？等差数列的通用公式和它的和又如何表示呢？引导学生自己总结公式，自己出题论证这一结果是否正确，这样可以使学生充分掌握公式的内涵，而不是教师总结，学生死记硬背，而实际运用无从下手。反之，当已知一个数列为等差数列时，以出题者的角度，让学生假设能构想多少种题型？教学中注重对学生进行审题训练，换位思考，启发学生探寻出题者的思路。
重塑综合解析和分析思辨能力
通过观察，首先使学生得到对事物的感性认识；分析就是要透过现象看本质，剖析各部分性质、结构及其关联；最后综合，从整体上把握其本质规律。分析和综合是两种思维活动的相反过程，在数学教学中，分析思辨思路是执果索因，从未知找需知，逐步接近已知；综合解析思路是由起因进行推导，得出结果，进而从已知项寻找出可知项，并逐渐觅向未知项。教学中，要倡导学生在巩固知识要点的基础上，辩证运用分析和综合两个方式，以分析为前提、为出发点、为综合的本因，而在综合指导下进行分析探索，分析所得再进行综合。两种过程，交替使用，互为依存，互相补充，互相渗透，推动着思维的发展和思想的形成。
例题：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2 b2 c2<2（ab bc ac）
（这里可以运用分析思辨法）
解答：证明原不等式成立，只需要证明a2 b2 c2-2ab 2bc 2ac<0。那么，就是a2 b2 c2-a（b c）-b（a c）-c（a b）<0，也就是证明a[a-（b c）] b[b-（a c）] c[c-（a b）]<0……①
∵a、b、c为△ABC的三条边
∴两边之和大于第三边，即a-（b c）<0，b-（a c）<0，c-（a b）<0
∴①式成立，a2 b2 c2<2（ab bc ac）
开拓联想思维能力
联想，是指由一个或一类事物而引发对其相关或可能相关联的另一个或一类事物的想象的思维过程。它包括类比联想、关系联想、逆向联想、定向联想、形似联想、发散联想等多种表现形式。
例题一：已知a、b∈R，且|a| |b|<1，证明：方程x2 ax b=0的两个实根的绝对值小于1。
首先启发学生观察，已知条件是什么，而要证明的又是什么，它们的联系是什么。由已知条件|a| |b|<1可以联想到|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|，由a和b是二次方程x2 ax b=0的系数，可以联想到能用韦达定理。
例题二：已知a、b、c为△ABC的内角A、B、C的对边，且a≠b，（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求证：sinA、sinB、sinC是等差数列。
此题要引导学生观察，由已知条件（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0联想到一元二次方程的判别式，可运用二次方程有等根的条件解此题。
∵（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0
由正弦定理：（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0，则方程（sinA-sinB）x2 （sinC-sinA）x （sinB-sinC）=0有相等实数根。
∵系数之和等于0
∴x=1是方程的根，由根于系数的关系，且a≠b，可得
∴2sinB=sinA sinC
∴sinA、sinB、sinC是等差数列
强化分类、比较和类比能力
分类是指根据事物本质存在的种类、属性、性质、特点等，将其分别归类。分类是将事物中已有的无规律状态，按照特点的不同进行区分，进而使事物趋向于有规律状态。如函数按研究的特点不同，有很多种分类：按幂的不同可分为一次函数、二次函数、三次函数等；按其奇偶性时，可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、即是奇函数同时又是偶函数。数列按照项数可分为有穷数列、无穷数列；按照单调性分为递减数列、递增数列和即非递增也非递减数列。
比较是基于两种或两种以上相同类型事物之间辨别异同的思维方法，是认知了解事物的重要客观路径。通过比较，我们可以找到事物之间的联系及各自特点，它们的共性是什么，又各自具有哪些个性，从而达到解决问题的目的。如在学习三角函数时，将正弦、余弦、正切、余切四种函数，分别从解析式、图象、值域、最小正同期、奇偶性、单调性以及单调区间、对称轴和对称中心进行比较，熟练掌握各个函数的特性及其规律，达到灵活运用。就类比而言，是指根据两种事物或对象在某些特质上相同或相似，导引出它们在其他特质上也有可能相同或相似的结论。类比是一种主观的推理，因此，其结论正确与否，必须经过大量严格的逻辑实践进行佐证。而高中数学应围绕概念、数形、结构等相关内容做类比。
例题：求sin21° sin22° sin23° …… sin289°的和。
研究此题，首先不能查阅函数表，那怎样才能用最简洁的办法求和呢？观察式子发现：从1°到89°与等差数列求和比较相似，都是正弦的平方。和等差、等比数列类比一下，错位相减法，倒序法，可以用吗？不妨借用一下错位相减法。由三角函数的诱导公式sin（90°-α）=cosα联想到sin21° sin22° sin23° …… sin289°=cos21° cos22° cos23° …… cos289°，而同角的正弦和余弦函数又存在sin2α cos2α=1的关系，错位相加，此题的和很容易就可求出。
数学思维方法承接转起有多种方式，在课堂实际教学中，教师应以强化数学基础知识为首要任务，以围绕学生数学思维的培养为主旨，运用教与学、问与答、考与评等多手段巩固提高学生数学思维水平。
（作者单位：山西省太原市清徐县徐沟中学）