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全国普通高中数学课程标准修订稿出现了“中学数学核心素养”一词，笔者对数学核心素养给出以下个人理解：核心素养是指在素养中最重要的、必须具备的、具有普适性的部分，而数学核心素养则是指学习数学必须具备（达到）的能力，一般包括数学抽象、（合情、逻辑）推理、运算、直观想象、数学建模、数据分析等能力。这些能力的培养不是一蹴而就的，需要在日常课堂教学中进行渗透。本文以北师大版教材八年级下册“里程碑上的数”为例谈一谈如何在课堂教学中渗透核心素养的培养。
“里程碑上的数”是北师大版八年级下册数学第五章第五节应用二元一次方程组应用的第三课时。前继有二元一次方程组的概念和解法，“鸡兔同笼”“增收节支”。一线教师在教学时普遍存在的困惑，主要体现在这样几个方面：1.二元一次方程组解应用题的一般步骤与方法已经讲了两个课时，这节课主要讲什么？2.里程碑上的数和方程的应用之间有什么关系？为什么用“里程碑上的数”作为课题名称？3.这节课难点和重点如何定位？
教材以里程碑上的数为情境引出数位的表达，怎么理解里程碑在教学中的作用？有些教师不明白教材的意图会直接舍弃这个素材。这节课的重点是数位的代数表达及用二元一次方程组求解数位上的数，落脚点自然在方程组的应用上，那么难点在哪？从学生学的角度出发，难点主要有三点：1.对“里程碑”的理解（学生缺乏生活体验）。2.数的代数表示。小学阶段学生已经学习了数位、数值、数字，七年级学了用字母表示数以后，如何用含字母的代数式表示一个数，是学生的易错点，也是难点。这节课“里程碑上的数”正好提供了让学生巩固、纠错、应用这一知识的时机，也达到让学生能力螺旋上升的目的。3.审题。解方程组应用题关键步骤是审清题意，这是培养学生阅读理解能力的重要载体，现在学生普遍对文字长、情景不熟悉的应用题有畏惧心理，需要在教师指导下提高阅读能力。
教材是静态的，而课堂是灵动的，教师只有在教学过程中渗透核心素养的培养，以让学生学会思维、提升能力、养成习惯、掌握方法为出发点，才能让一节课充满数学的味道、灵动的画面。为了把核心素养的培养贯穿在课堂教学过程中，不妨对教材进行如下处理：
渗透整体性学习策略，培养发现问题、提出问题的能力。整体性学习策略是一种高效的学习方法，包含对知识的获取—理解—拓展—纠错—应用—测试等环节，教师在深入理解这一学习策略的基础上，灵活运用并将其渗透到教学过程中，以学生学为出发点，明确本节课的学习目标，指出学习路径。
1.通过分析课题，建构学习框架
问：这节课的标题 “二元一次方程组的应用——里程碑上的数”中，什么词比较陌生？
答：“里程碑”。
问：里程碑上的数涉及到数的表示，这些和二元一次方程组的应用有什么关系呢？
（引发学生思考，建立知识链接）
教师沿着“概念的认知——模型的建立——模型的应用”这样一条主线展开，关键是教师应关注并承接住学生的思维点，进行有效引导和启发，并指出本节课的学习路径是“认识——表示——应用——总结”，重点在应用。
2.通过认识“里程碑”，培养获取知识的能力和习惯
引导同学们谈一谈自己对里程碑的认识（可借助工具查询），并用课件展示结果：
里程碑：设于道路旁边用以记载里数的碑。俗话称作“公里桩”，是标志公路及城市郊区道路里程的碑石，每一公里设一块，用以计算里程和标志地点位置。里程碑的颜色，国道为白底红字，省道为白底蓝字，县道为白底黑字，常设置在道路的右侧。
通过这个过程，老师不仅仅是传授知识，更是在教会学生获取知识的方法。
3.巧设情境，突破难点，培养学生推理、建模的能力
前文指出：用数的代数式表示是本节课的一个难点，但并不是新知识，如何让学生在应用过程中认识不足并通过纠错达到巩固提升的目的呢？我们来看看下面的设计：
师：同学们都是八年级的学生了，能告诉我你们的年龄吗（课堂调查学生的年龄大多是14岁）？老师的年龄正好是41岁，14和41都是两位数，我们来看看这两个数放在一起会怎样呢？
以师生的年龄为切入点，精心设计两张表格（如表1和表2）课前发给学生，并请两位同学到黑板上演板，其他同学在自己的表格上填好，然后分组发言，及时纠正学生的错误，与老师一起完成贴在黑板上的表格。
小学的运算对象是数，可以找到相应的实物背景，而初中运算对象是字母，学生按照运算规则、运算律运算后，往往并不知道这个过程的含义，不思考运算结果是否合理，结果是对还是错，也无法确定。所以教学中应从小学的学习经验出发，加强对代数式含义的理解。例如借助数字运算理解代数运算的含义，借助几何图形的操作理解代数运算公式比如平方差公式、完全平方公式等。这节课，学生用数字表达数位时一般不会出错，一旦出现字母时，有一部分学生就会出现上图中的错误，原因是小学阶段学习的经验仅停留在简单的模仿阶段，并没有养成思考推理的习惯，这时就会出现原有知识与新知识的碰撞，是学生进一步理解和掌握知识的契机，老师课前应充分预估到这种情况，给学生犯错的机会，通过同学之间的合作学习、探讨，让学生们能深入理解并建立知识模型，为后续应用打好基础。
这两张表格的设计体现了从数到字母，从一个字母到多个字母，从两位数到三位数再到四位数的表示，这其中预设了学生可能出现的各种错误的可能，也全部容纳了下一环节中要用到的各种数位的表达。学生完成表格过程需要经历辨别、推理、纠错、建构的思维过程，最终达到建立正确的数位表达模型的效果，为后续学习打下坚实的基础。
4.通过例题的变式，培养阅读理解、运算能力，养成仔细审题的习惯
把教材中的引例作为问题1，把教材中的例1进行变式作为问题2，引导学生探究。
即：问题1里程碑中的数；问题2年龄中的数（教材上例题改编）
问题2紧扣年龄问题，以轻松的父子对话形式呈现出来，亲切自然，与问题1相呼应，充分体现了类比思想，便于学生自主探究。
为什么要对教材中的例2进行变式处理呢？原教材例题在审题上有个难点“在较大的两位数的右边接着写较小的两位数……在较大的两位数的左边写上较小的两位数”，这句话表述很拗口且不容易理解清楚。其次，由于是例题，解方程的运算过程很容易被学生忽略，而恰恰在运算过程中才能暴露学生运算能力的不足，且用对话的形式能很好地解决原题中叙述拗口的问题，也能激发学生的认真读题兴趣；另外对题中的相关数据适当改变，68改成61；2178改成2871，粗心的学生没有仔细审题，便会得出和原例题一样的结果，这个纠错的过程能让学生在课堂学习过程中积累学习经验，提醒督促其养成仔细审、认真严谨的学习习惯，促进核心素养的形成。
5.课堂结束语，开阔学生视野，渗透情感教育
在这节课进入尾声时，对里程碑的寓意进行升华，首尾呼应，提升立意和品位，实时对学生进行情感教育。如：“里程碑”通常用来比喻历史发展中具有重大意义的事件：
理想与成功——人生路上的里程碑；
挫折与失败——人生路上的里程碑；
学习路上的里程碑见证了成长的足迹！
综上所述，核心素养的培养只有在日常教学的细节中渗透于无形。教师不着痕迹地精心设计、和善而坚定地引导，并给学生充分思考、交流、表达、纠错的机会，才能逐步养成良好的数学学习习惯，最终成为素养，终身受益。
本文系“江西省中学数学互联网+教学研修”课题研究成果。
（作者单位：江西省教育厅教研室）
责任编辑 程 璐
E-mail：2448096342@qq.com
“里程碑上的数”是北师大版八年级下册数学第五章第五节应用二元一次方程组应用的第三课时。前继有二元一次方程组的概念和解法，“鸡兔同笼”“增收节支”。一线教师在教学时普遍存在的困惑，主要体现在这样几个方面：1.二元一次方程组解应用题的一般步骤与方法已经讲了两个课时，这节课主要讲什么？2.里程碑上的数和方程的应用之间有什么关系？为什么用“里程碑上的数”作为课题名称？3.这节课难点和重点如何定位？
教材以里程碑上的数为情境引出数位的表达，怎么理解里程碑在教学中的作用？有些教师不明白教材的意图会直接舍弃这个素材。这节课的重点是数位的代数表达及用二元一次方程组求解数位上的数，落脚点自然在方程组的应用上，那么难点在哪？从学生学的角度出发，难点主要有三点：1.对“里程碑”的理解（学生缺乏生活体验）。2.数的代数表示。小学阶段学生已经学习了数位、数值、数字，七年级学了用字母表示数以后，如何用含字母的代数式表示一个数，是学生的易错点，也是难点。这节课“里程碑上的数”正好提供了让学生巩固、纠错、应用这一知识的时机，也达到让学生能力螺旋上升的目的。3.审题。解方程组应用题关键步骤是审清题意，这是培养学生阅读理解能力的重要载体，现在学生普遍对文字长、情景不熟悉的应用题有畏惧心理，需要在教师指导下提高阅读能力。
教材是静态的，而课堂是灵动的，教师只有在教学过程中渗透核心素养的培养，以让学生学会思维、提升能力、养成习惯、掌握方法为出发点，才能让一节课充满数学的味道、灵动的画面。为了把核心素养的培养贯穿在课堂教学过程中，不妨对教材进行如下处理：
渗透整体性学习策略，培养发现问题、提出问题的能力。整体性学习策略是一种高效的学习方法，包含对知识的获取—理解—拓展—纠错—应用—测试等环节，教师在深入理解这一学习策略的基础上，灵活运用并将其渗透到教学过程中，以学生学为出发点，明确本节课的学习目标，指出学习路径。
1.通过分析课题，建构学习框架
问：这节课的标题 “二元一次方程组的应用——里程碑上的数”中，什么词比较陌生？
答：“里程碑”。
问：里程碑上的数涉及到数的表示，这些和二元一次方程组的应用有什么关系呢？
（引发学生思考，建立知识链接）
教师沿着“概念的认知——模型的建立——模型的应用”这样一条主线展开，关键是教师应关注并承接住学生的思维点，进行有效引导和启发，并指出本节课的学习路径是“认识——表示——应用——总结”，重点在应用。
2.通过认识“里程碑”，培养获取知识的能力和习惯
引导同学们谈一谈自己对里程碑的认识（可借助工具查询），并用课件展示结果：
里程碑：设于道路旁边用以记载里数的碑。俗话称作“公里桩”，是标志公路及城市郊区道路里程的碑石，每一公里设一块，用以计算里程和标志地点位置。里程碑的颜色，国道为白底红字，省道为白底蓝字，县道为白底黑字，常设置在道路的右侧。
通过这个过程，老师不仅仅是传授知识，更是在教会学生获取知识的方法。
3.巧设情境，突破难点，培养学生推理、建模的能力
前文指出：用数的代数式表示是本节课的一个难点，但并不是新知识，如何让学生在应用过程中认识不足并通过纠错达到巩固提升的目的呢？我们来看看下面的设计：
师：同学们都是八年级的学生了，能告诉我你们的年龄吗（课堂调查学生的年龄大多是14岁）？老师的年龄正好是41岁，14和41都是两位数，我们来看看这两个数放在一起会怎样呢？
以师生的年龄为切入点，精心设计两张表格（如表1和表2）课前发给学生，并请两位同学到黑板上演板，其他同学在自己的表格上填好，然后分组发言，及时纠正学生的错误，与老师一起完成贴在黑板上的表格。
小学的运算对象是数，可以找到相应的实物背景，而初中运算对象是字母，学生按照运算规则、运算律运算后，往往并不知道这个过程的含义，不思考运算结果是否合理，结果是对还是错，也无法确定。所以教学中应从小学的学习经验出发，加强对代数式含义的理解。例如借助数字运算理解代数运算的含义，借助几何图形的操作理解代数运算公式比如平方差公式、完全平方公式等。这节课，学生用数字表达数位时一般不会出错，一旦出现字母时，有一部分学生就会出现上图中的错误，原因是小学阶段学习的经验仅停留在简单的模仿阶段，并没有养成思考推理的习惯，这时就会出现原有知识与新知识的碰撞，是学生进一步理解和掌握知识的契机，老师课前应充分预估到这种情况，给学生犯错的机会，通过同学之间的合作学习、探讨，让学生们能深入理解并建立知识模型，为后续应用打好基础。
这两张表格的设计体现了从数到字母，从一个字母到多个字母，从两位数到三位数再到四位数的表示，这其中预设了学生可能出现的各种错误的可能，也全部容纳了下一环节中要用到的各种数位的表达。学生完成表格过程需要经历辨别、推理、纠错、建构的思维过程，最终达到建立正确的数位表达模型的效果，为后续学习打下坚实的基础。
4.通过例题的变式，培养阅读理解、运算能力，养成仔细审题的习惯
把教材中的引例作为问题1，把教材中的例1进行变式作为问题2，引导学生探究。
即：问题1里程碑中的数；问题2年龄中的数（教材上例题改编）
问题2紧扣年龄问题，以轻松的父子对话形式呈现出来，亲切自然，与问题1相呼应，充分体现了类比思想，便于学生自主探究。
为什么要对教材中的例2进行变式处理呢？原教材例题在审题上有个难点“在较大的两位数的右边接着写较小的两位数……在较大的两位数的左边写上较小的两位数”，这句话表述很拗口且不容易理解清楚。其次，由于是例题，解方程的运算过程很容易被学生忽略，而恰恰在运算过程中才能暴露学生运算能力的不足，且用对话的形式能很好地解决原题中叙述拗口的问题，也能激发学生的认真读题兴趣；另外对题中的相关数据适当改变，68改成61；2178改成2871，粗心的学生没有仔细审题，便会得出和原例题一样的结果，这个纠错的过程能让学生在课堂学习过程中积累学习经验，提醒督促其养成仔细审、认真严谨的学习习惯，促进核心素养的形成。
5.课堂结束语，开阔学生视野，渗透情感教育
在这节课进入尾声时，对里程碑的寓意进行升华，首尾呼应，提升立意和品位，实时对学生进行情感教育。如：“里程碑”通常用来比喻历史发展中具有重大意义的事件：
理想与成功——人生路上的里程碑；
挫折与失败——人生路上的里程碑；
学习路上的里程碑见证了成长的足迹！
综上所述，核心素养的培养只有在日常教学的细节中渗透于无形。教师不着痕迹地精心设计、和善而坚定地引导，并给学生充分思考、交流、表达、纠错的机会，才能逐步养成良好的数学学习习惯，最终成为素养，终身受益。
本文系“江西省中学数学互联网+教学研修”课题研究成果。
（作者单位：江西省教育厅教研室）
责任编辑 程 璐
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