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1 问题的提出
数学素养是指通过数学的学习，能够辨别和理解数学作为有用的工具在现实世界中的作用；在实际生活中，能以数学知识为依据做出明确的判断；并能用不同的方式使用数学和参与数学活动以满足个体作为一个有建设性的、关注生活的、能够对社会现象进行反思的公民的需要(PISA2003)，新加坡在以评价学生数学素养为中心目的的PISA测试中取得的优异成绩，促使笔者思考这样一个问题：新加坡是怎样通过有效的措施和手段，通过数学教学提高学生的数学素养的，本文从数学素养这个着眼点出发，对2006年新加坡中学数学大纲中有关学生数学素养的基本要求及实施策略进行了相应的分析思考，并对其相关要求和措施中的特色部分进行了着重分析，以期对我国的课堂教学有所启示。
2 新加坡对学生数学素养的基本要求
2006年新加坡中学数学大纲明确规定，新加坡中小学数学教育的基本目标是使学生能够：
①获得日常生活需要的和进一步学习数学和其他相关学科所必需的数学概念和技能；
②发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能；
③发展数学思维和问题解决的能力，并能将这些能力运用与形成和解决问题；
④认识和利用不同数学思想之间、数学和其他学科之间的联系；
⑤发展对数学的积极态度；
⑥在学习和应用数学的过程中有效使用各种数学工具(包括信息技术工具)；
⑦制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果；
⑧发展逻辑推理能力、数学表达能力以及合作学习和独立学习能力。
新加坡对学生数学素养的八条基本要求中，第4、第6和第7条以及第8条提及的发展合作学习和独立学习能力是首次写进数学教学大纲，纵观这八条基本要求，其突出的特点是以问题解决为中心，注重数学知识的应用，下面对其中的几点做具体的分析阐述，
第③条要求学生“发展数学思维和问题解决的能力，并能将这些能力运用与形成和解决问题”，突出强调学生要会形成问题和解决问题，而问题解决需要的数学思维能力是学生要具备的基本数学素养，“问题”是一切数学活动的中心，无论是数学教学还是数学学习，都离不开数学问题的解决，新加坡明确把问题解决作为学生应具备的数学素养，抓住了数学学习的关键点，把问题解决作为学生数学素养的核心内容，就能在教学中做到有的放矢，突出重点，通过不同层次的问题解决培养学生学习所需的数学素养。
第⑥条要求学生能“在学习和应用数学的过程中有效使用各种数学工具(包括信息技术工具)”，这是学生为适应现代信息社会的要求所必须具备的基本信息素养，随着现代社会信息技术的发展及电脑的普及和应用，数学的学习和应用的过程也不可避免地受到网络和其他现代技术的影响，学生是否能够充分利用各种数学工具进行有效的数学学习，应当成为新的社会发展环境下学生所要具备的一种数学素养，现代的数学学习不像过去那样仅仅有纸和笔就足够了，各种数学软件不断被发明出来，很多问题解决需要的数据收集和分析都离不开各种数学工具的帮助，新加坡着力建设信息化社会，对数学学习也提出了信息素养的要求，体现了社会发展的基本要求和趋势，有很强的现实意义。
第⑦条要求学生“制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果”，从而对于学生是否学好了数学知识的评判就不仅仅停留在知识的层面上，而通过成果展示的形式考查学生对于知识的理解程度，这种形式利于学生主动性的发挥和创造性思维的发展，并能通过这种形式有效提高学生的动手能力和合作能力，激发学生学习数学的兴趣，这种形式与项目学习的要求形式有些类似，是课堂变革的一种新的形式。
总得说来，新加坡数学教育的核心就是要培养学生数学问题解决的能力，并以此作为学生的核心数学素养，针对怎样能有效地解决问题，培养学生相关的素养，包括一些具体知识的要求、思维的要求、情感态度的要求等等，为了把这些相关的数学素养目标落到实处，新加坡政府在大纲中对其课程框架进行了详细的描述，以期实现相应的教育目标，下面对大纲中的相应部分进行分析阐述。
3 为实现数学素养的目标而采取的相应措施
在大纲中，把数学问题解决作为培养学生数学素养的有效途径，围绕着问题的解决过程有五个紧密相关的基本要素：概念、技能、过程、态度和元认知这五个要素组成了新加坡课程的基本框架，也是新加坡以解决问题为特色的数学课程的具体内涵，这五个要素与数学问题解决组成完整的整体，通过课程的实施，使学生的数学素养得到稳步提高。
数学学习离不开具体的数学内容，学生数学素养的培养也离不开具体的课堂，数学课程基本框架对于数学的教、学和评价都具有导向作用，大纲对于怎样在课堂中贯彻这些理念，又结合具体的教学内容进行了详细说明和分析。
3.1 概念
包括数值、代数、几何、统计、概率和分析概念学生要深入发展和探究这些数学概念，把数学看成一个密不可分的整体，而不仅仅把数学看成了一些孤立的知识点，数学教学要提供丰富的学习经验，帮助学生发展对于数学概念的深层次理解，弄清不同数学思想的含义，并认识它们之间的联系和应用，能自信地探索和应用数学，可操作的具体材料、实践性的工作、信息技术的应用也应该是学生经验的一部分。
3.2 技能
数学技能包括数值计算、代数运算、空间直觉、数据分析、测量、使用数学工具和估计等程序性技能，尽管学生需掌握熟练的数学技能，但应该避免在不理解涉及到的数学原则的情况下过分强调程序性功能。
3.3 过程
过程指的是在获得和运用数学知识的过程中涉及到的知识技能(或过程性技能)，它的内涵有三个组成部分，除了以往大纲中提到的思考技能和解题策略之外，还增加了数学推理、交流和联系以及应用和建模，具体解释如下：
思考技能指在思考过程中用到的技能，如分类、比较、排序、分析部分与整体、识别模式与关系、归纳、演绎和空间想象，解题策略分为四类：给出数学表示，如画图、构造序列和使用方程；给出恰当猜测，如猜想和检验、寻找模式和作假设；经历解题过程，如实际演示、逆向作业和使用前后概念；改变问题，如重新表述问题、简化问题和分部分解题。
数学推理指分析数学情境并给出逻辑论证的能力，交流指运用数学语言准确、简明、有条理地表达数学思想，联系指认识并建立不同数学思想之间、数学和其他学科之间、数学和日常生活之间的关联。
应用和建模在发展学生的数学理解和数学能力上有重要作用，学生是否具备数学问题解决能力和推理能力，是否能解决各种数学问题和现实问题是对学生学业评价的一项 重要内容，数学建模指形成和改善来表示和解决现实问题的数学模型。
3.4 态度
态度指的是数学学习的情感方面，如关于数学和数学是否有用的信念、学习数学的兴趣和快乐、对数学美和数学价值的欣赏、用数学时的信心以及解决数学问题的毅力，学生对数学的态度与他们的学习经历有关。
3.5 元认知
元认知指的是对自身思考过程的认识和控制，尤其在选择和使用解题策略时，它包括对自身思考过程的监控和对学习的自我控制，大纲给出了四种发展学生元认知水平的活动：让学生明确一般问题解决技能、思考技能和解题策略，以及这些技能和策略是如何用来解决问题的；鼓励学生在解决特殊问题时说出所用的策略或方法；给学生提供解题前要计划，解题后要反思的数学问题；让学生互相讨论自己的解题策略和方法。
上述五个方面相互融合、相互补充，构成了新加坡以问题解决为中心的有特定内容导向的数学课堂，在这五个方面中，对于“过程”的描述占了很大的篇幅，这和国际数学教育比较倡导的注重学生学习的过程的要求是一致的，只有突出学生的学习过程，才能实现学生对于概念的多角度、多层次的理解；只有重视学生学习的过程，想学生之所想、说学生之想听、解学生之所惑，才能进行有效的课堂教学，提高学生的数学素养，无论是知识还是技能、态度还是元认知的培养都是在教学的过程中得以实现的，新加坡的数学课堂以问题解决为中心，具体实施中又突出“过程”的重要性。构成了有其特色的数学教学模式，很多做法值得我们学习。
4 对于我国学生数学素养培养的启示
新加坡和我国同处于东亚，文化背景有很多相似之处，其“问题解决”为核心的课程框架在学生数学素养的培养方面有很多地方值得我们学习借鉴，笔者认为，以下几个方面值得我们关注。
4.1 丰富对于“问题解决”概念的理解，提高学生的高层次思维能力
什么是“问题解决”?按照我们以往的理解，往往就是对于平时的练习题、测试题的解答，而新加坡教学大纲明确指出，所谓解决数学问题是指在面对实际任务、现实生活问题和纯数学问题时使用和应用数学，解决问题的活动指面临数学任务，学习者没有立即的答案并试图找出答案的过程，研究者对课堂作业中的数学任务进行分类，把数学任务分成两类：第一类是日常计算，第二类是数学问题，解决问题主要侧重于第二类形式的学习活动，是新加坡教师在课堂实施过程中的重点，同时也是培养解决问题的能力的重要渠道，当前我们国家学生的学业负担重，大量的时间实际用在了第一类形式的学习活动上，即通过大量的日常计算的相关练习使学生能快速准确的答题，在考试中取得好成绩，这种训练形式，在学生基础知识和基本技能形成的时期是必须的也是很重要的，但是如果数学学习一直是这样的一种状态，不利于学生高层次思维的发展和创新意识的培养，我们的数学教学，也应在课堂中引入一些有挑战性的“问题”，让学生在形成问题、分析问题、解决问题的过程中，提升思维层次，不断经历猜想论证再猜想再论证的思考过程，在不断反思中提高整体数学素养。
4.2 注重获得和运用数学知识的过程中涉及到的知识技能的培养
新加坡中学数学大纲指出：学生在获得和运用数学知识的过程中，涉及到的知识技能有思考技能、解题策略、数学推理、交流和联系以及应用和建模，我国在课堂教学中一向比较重视思考技能的培养和解题策略的教学。但在交流和联系、应用和建模方面重视不够，在数学应用方面往往只停留在数学应用题的解答和研究性课题的实施，学生即使学习了数学，也对于数学在现实生活中的重要作用不了解，不利于学生学习主动性的发挥和学习兴趣的激发，这些知识技能是数学素养很重要的组成部分，在教学中平衡发展这些技能，不能只重视发展其中的几点。
4.3 重视学生元认知能力的培养
新加坡对于元认知的重视和它倡导的问题解决理念是分不开的，只有学生不断反思自己的思维过程，认清自己思维的特点，在碰到新的数学问题时才能有效地分析问题和解决问题，在学生基本知识和基本技能已经具备的情况下，注重学生元认知能力的培养有利于进一步提高学生的思维水平，这是学生应具备的基本素养，也是实际教学中容易忽视的一点。
4.4 多样化的数学素养评价形式
新加坡要求学生能够“制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果”，用作品的形式体现对数学知识的理解，这种评价形式，能充分发挥学生的主观能动性和创造性，加深对于所学知识的理解，当前我国的学生学业评价还是以纸笔测验为主，中考和高考的选拔也是以考试成绩为录取依据，怎样发展多样化的评价方式，以评促教，是当前教育研究中的一个热点问题，新加坡的这种数学素养的评价形式，值得我们学习借鉴。
数学素养是指通过数学的学习，能够辨别和理解数学作为有用的工具在现实世界中的作用；在实际生活中，能以数学知识为依据做出明确的判断；并能用不同的方式使用数学和参与数学活动以满足个体作为一个有建设性的、关注生活的、能够对社会现象进行反思的公民的需要(PISA2003)，新加坡在以评价学生数学素养为中心目的的PISA测试中取得的优异成绩，促使笔者思考这样一个问题：新加坡是怎样通过有效的措施和手段，通过数学教学提高学生的数学素养的，本文从数学素养这个着眼点出发，对2006年新加坡中学数学大纲中有关学生数学素养的基本要求及实施策略进行了相应的分析思考，并对其相关要求和措施中的特色部分进行了着重分析，以期对我国的课堂教学有所启示。
2 新加坡对学生数学素养的基本要求
2006年新加坡中学数学大纲明确规定，新加坡中小学数学教育的基本目标是使学生能够：
①获得日常生活需要的和进一步学习数学和其他相关学科所必需的数学概念和技能；
②发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能；
③发展数学思维和问题解决的能力，并能将这些能力运用与形成和解决问题；
④认识和利用不同数学思想之间、数学和其他学科之间的联系；
⑤发展对数学的积极态度；
⑥在学习和应用数学的过程中有效使用各种数学工具(包括信息技术工具)；
⑦制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果；
⑧发展逻辑推理能力、数学表达能力以及合作学习和独立学习能力。
新加坡对学生数学素养的八条基本要求中，第4、第6和第7条以及第8条提及的发展合作学习和独立学习能力是首次写进数学教学大纲，纵观这八条基本要求，其突出的特点是以问题解决为中心，注重数学知识的应用，下面对其中的几点做具体的分析阐述，
第③条要求学生“发展数学思维和问题解决的能力，并能将这些能力运用与形成和解决问题”，突出强调学生要会形成问题和解决问题，而问题解决需要的数学思维能力是学生要具备的基本数学素养，“问题”是一切数学活动的中心，无论是数学教学还是数学学习，都离不开数学问题的解决，新加坡明确把问题解决作为学生应具备的数学素养，抓住了数学学习的关键点，把问题解决作为学生数学素养的核心内容，就能在教学中做到有的放矢，突出重点，通过不同层次的问题解决培养学生学习所需的数学素养。
第⑥条要求学生能“在学习和应用数学的过程中有效使用各种数学工具(包括信息技术工具)”，这是学生为适应现代信息社会的要求所必须具备的基本信息素养，随着现代社会信息技术的发展及电脑的普及和应用，数学的学习和应用的过程也不可避免地受到网络和其他现代技术的影响，学生是否能够充分利用各种数学工具进行有效的数学学习，应当成为新的社会发展环境下学生所要具备的一种数学素养，现代的数学学习不像过去那样仅仅有纸和笔就足够了，各种数学软件不断被发明出来，很多问题解决需要的数据收集和分析都离不开各种数学工具的帮助，新加坡着力建设信息化社会，对数学学习也提出了信息素养的要求，体现了社会发展的基本要求和趋势，有很强的现实意义。
第⑦条要求学生“制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果”，从而对于学生是否学好了数学知识的评判就不仅仅停留在知识的层面上，而通过成果展示的形式考查学生对于知识的理解程度，这种形式利于学生主动性的发挥和创造性思维的发展，并能通过这种形式有效提高学生的动手能力和合作能力，激发学生学习数学的兴趣，这种形式与项目学习的要求形式有些类似，是课堂变革的一种新的形式。
总得说来，新加坡数学教育的核心就是要培养学生数学问题解决的能力，并以此作为学生的核心数学素养，针对怎样能有效地解决问题，培养学生相关的素养，包括一些具体知识的要求、思维的要求、情感态度的要求等等，为了把这些相关的数学素养目标落到实处，新加坡政府在大纲中对其课程框架进行了详细的描述，以期实现相应的教育目标，下面对大纲中的相应部分进行分析阐述。
3 为实现数学素养的目标而采取的相应措施
在大纲中，把数学问题解决作为培养学生数学素养的有效途径，围绕着问题的解决过程有五个紧密相关的基本要素：概念、技能、过程、态度和元认知这五个要素组成了新加坡课程的基本框架，也是新加坡以解决问题为特色的数学课程的具体内涵，这五个要素与数学问题解决组成完整的整体，通过课程的实施，使学生的数学素养得到稳步提高。
数学学习离不开具体的数学内容，学生数学素养的培养也离不开具体的课堂，数学课程基本框架对于数学的教、学和评价都具有导向作用，大纲对于怎样在课堂中贯彻这些理念，又结合具体的教学内容进行了详细说明和分析。
3.1 概念
包括数值、代数、几何、统计、概率和分析概念学生要深入发展和探究这些数学概念，把数学看成一个密不可分的整体，而不仅仅把数学看成了一些孤立的知识点，数学教学要提供丰富的学习经验，帮助学生发展对于数学概念的深层次理解，弄清不同数学思想的含义，并认识它们之间的联系和应用，能自信地探索和应用数学，可操作的具体材料、实践性的工作、信息技术的应用也应该是学生经验的一部分。
3.2 技能
数学技能包括数值计算、代数运算、空间直觉、数据分析、测量、使用数学工具和估计等程序性技能，尽管学生需掌握熟练的数学技能，但应该避免在不理解涉及到的数学原则的情况下过分强调程序性功能。
3.3 过程
过程指的是在获得和运用数学知识的过程中涉及到的知识技能(或过程性技能)，它的内涵有三个组成部分，除了以往大纲中提到的思考技能和解题策略之外，还增加了数学推理、交流和联系以及应用和建模，具体解释如下：
思考技能指在思考过程中用到的技能，如分类、比较、排序、分析部分与整体、识别模式与关系、归纳、演绎和空间想象，解题策略分为四类：给出数学表示，如画图、构造序列和使用方程；给出恰当猜测，如猜想和检验、寻找模式和作假设；经历解题过程，如实际演示、逆向作业和使用前后概念；改变问题，如重新表述问题、简化问题和分部分解题。
数学推理指分析数学情境并给出逻辑论证的能力，交流指运用数学语言准确、简明、有条理地表达数学思想，联系指认识并建立不同数学思想之间、数学和其他学科之间、数学和日常生活之间的关联。
应用和建模在发展学生的数学理解和数学能力上有重要作用，学生是否具备数学问题解决能力和推理能力，是否能解决各种数学问题和现实问题是对学生学业评价的一项 重要内容，数学建模指形成和改善来表示和解决现实问题的数学模型。
3.4 态度
态度指的是数学学习的情感方面，如关于数学和数学是否有用的信念、学习数学的兴趣和快乐、对数学美和数学价值的欣赏、用数学时的信心以及解决数学问题的毅力，学生对数学的态度与他们的学习经历有关。
3.5 元认知
元认知指的是对自身思考过程的认识和控制，尤其在选择和使用解题策略时，它包括对自身思考过程的监控和对学习的自我控制，大纲给出了四种发展学生元认知水平的活动：让学生明确一般问题解决技能、思考技能和解题策略，以及这些技能和策略是如何用来解决问题的；鼓励学生在解决特殊问题时说出所用的策略或方法；给学生提供解题前要计划，解题后要反思的数学问题；让学生互相讨论自己的解题策略和方法。
上述五个方面相互融合、相互补充，构成了新加坡以问题解决为中心的有特定内容导向的数学课堂，在这五个方面中，对于“过程”的描述占了很大的篇幅，这和国际数学教育比较倡导的注重学生学习的过程的要求是一致的，只有突出学生的学习过程，才能实现学生对于概念的多角度、多层次的理解；只有重视学生学习的过程，想学生之所想、说学生之想听、解学生之所惑，才能进行有效的课堂教学，提高学生的数学素养，无论是知识还是技能、态度还是元认知的培养都是在教学的过程中得以实现的，新加坡的数学课堂以问题解决为中心，具体实施中又突出“过程”的重要性。构成了有其特色的数学教学模式，很多做法值得我们学习。
4 对于我国学生数学素养培养的启示
新加坡和我国同处于东亚，文化背景有很多相似之处，其“问题解决”为核心的课程框架在学生数学素养的培养方面有很多地方值得我们学习借鉴，笔者认为，以下几个方面值得我们关注。
4.1 丰富对于“问题解决”概念的理解，提高学生的高层次思维能力
什么是“问题解决”?按照我们以往的理解，往往就是对于平时的练习题、测试题的解答，而新加坡教学大纲明确指出，所谓解决数学问题是指在面对实际任务、现实生活问题和纯数学问题时使用和应用数学，解决问题的活动指面临数学任务，学习者没有立即的答案并试图找出答案的过程，研究者对课堂作业中的数学任务进行分类，把数学任务分成两类：第一类是日常计算，第二类是数学问题，解决问题主要侧重于第二类形式的学习活动，是新加坡教师在课堂实施过程中的重点，同时也是培养解决问题的能力的重要渠道，当前我们国家学生的学业负担重，大量的时间实际用在了第一类形式的学习活动上，即通过大量的日常计算的相关练习使学生能快速准确的答题，在考试中取得好成绩，这种训练形式，在学生基础知识和基本技能形成的时期是必须的也是很重要的，但是如果数学学习一直是这样的一种状态，不利于学生高层次思维的发展和创新意识的培养，我们的数学教学，也应在课堂中引入一些有挑战性的“问题”，让学生在形成问题、分析问题、解决问题的过程中，提升思维层次，不断经历猜想论证再猜想再论证的思考过程，在不断反思中提高整体数学素养。
4.2 注重获得和运用数学知识的过程中涉及到的知识技能的培养
新加坡中学数学大纲指出：学生在获得和运用数学知识的过程中，涉及到的知识技能有思考技能、解题策略、数学推理、交流和联系以及应用和建模，我国在课堂教学中一向比较重视思考技能的培养和解题策略的教学。但在交流和联系、应用和建模方面重视不够，在数学应用方面往往只停留在数学应用题的解答和研究性课题的实施，学生即使学习了数学，也对于数学在现实生活中的重要作用不了解，不利于学生学习主动性的发挥和学习兴趣的激发，这些知识技能是数学素养很重要的组成部分，在教学中平衡发展这些技能，不能只重视发展其中的几点。
4.3 重视学生元认知能力的培养
新加坡对于元认知的重视和它倡导的问题解决理念是分不开的，只有学生不断反思自己的思维过程，认清自己思维的特点，在碰到新的数学问题时才能有效地分析问题和解决问题，在学生基本知识和基本技能已经具备的情况下，注重学生元认知能力的培养有利于进一步提高学生的思维水平，这是学生应具备的基本素养，也是实际教学中容易忽视的一点。
4.4 多样化的数学素养评价形式
新加坡要求学生能够“制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果”，用作品的形式体现对数学知识的理解，这种评价形式，能充分发挥学生的主观能动性和创造性，加深对于所学知识的理解，当前我国的学生学业评价还是以纸笔测验为主，中考和高考的选拔也是以考试成绩为录取依据，怎样发展多样化的评价方式，以评促教，是当前教育研究中的一个热点问题，新加坡的这种数学素养的评价形式，值得我们学习借鉴。