一、引言
　　1885年，Weierstrass 首先证明了多项式逼近连续函数的逼近定理，这个定理被称为Weierstrass定理
　　定理1 若 ，则对于任意给定的正数，都有代数多项式 满足不等式
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　　定理2 若，则对于任意给定的正数，都有三角多项式(cos,sin) 满足不等式
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　　本文通过构造n维欧氏空间上Poisson算子，利用这个算子和文献的证明方法，证明了n维空间上的Weierstrass逼近定理。
　　定理3 若 ，则对于任意给定的正数，都有多元三角多项式(cos,sin…cos,sin) 满足不等式
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　　定理4若 ，则对于任意给定的正数 ，都有多元三角多项式满足不等式
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　　二、预备知识
　　如果一个n维空间上的连续函数 ，对上的所有点 ，都不小于零，则说 是正函数，并记以。
　　定义：假设是映到自身的映射，如果它将中每一个正的函数都映射为正函数，那么说是一个正算子.
　　对于一个正的线性算子，倘若, 即 ，则有单调性不等式 即.特别由-||||||,得到(||)()(||) ,即|( )|(||) .
　　定理A 设是中的正线性算子序列，如果对于， 在上一致收敛于，则对于每个函数， 在上一致收敛于 .
　　定理B 设是中的正线性算子序列，如果对于，cos和sin， 在全实轴上一致收敛于 ，，则对于每个函数 ， 在全实轴上一致收敛于 .
　　文献利用定理A,定理B证明了一维空间上的Weierstrass 逼近定理即定理1和定理2.
　　三、定理3，4的证明
　　仿照定理1和定理2的 证明，我们构造 维空间上的Poisson算子： ，令
　　
　　容易验证Poisson算子满足以下的性质：
　　性质：（1）为一个正线性算子
　　（2）若，在一致收敛到
　　（3） 对，一致收敛到
　　证明：（1）显然是一个正线性算子
　　(2)的证明如下：
　　对 ，有
　　 =1
　　对于cos有
　　=cos cos …cos=
　　对于sin 有
　　 =sin sin …sin=
　　（3）的证明如下：
　　记{()} 任取， 对>0, >0
　　由 一致连续，当
　　||<时 (* )
　　记max||+1 时(﹡﹡)
　　对 在其上定义函数 ，,则当|| 时由（﹡）式及 （﹡﹡）式有
　　
　　根据正线性算子 的单调性，有
　　由假定它一致收敛于：→→0
　　∴>0 N当 时 在 上一致成立
　　（2）
　　由不等式（1）和（2）有 当 时有
　　由的任意性知，当ｎ→+∞ 时， 在 上一致收敛到 。
　　综上有（1），（2）和（3）的证明定理得证。
　　定理4的证明类似定理3的证明。