求解圆锥曲线离心率的取值范围的基本思路就是设法建立关于a，b，c的齐次不等式，然后转化为关于离心率的不等式，进而求出离心率e的取值范围．然而，大多数学生面对题目中的已知量时，往往束手无策，不知如何挖掘出它们之间的关系．笔者在本文中结合一些具体问题，探求建立关于离心率e的不等关系的几种途径．
　　途径1：从题设条件中获取不等关系
　　直接根据题设得到不等式是最容易想到的途径，关键是要认真审题．
　　例1 双曲线-=1（a>1,b>0）的焦距为2c，直线l过点（a,0）和（0,b）且点A（１,0）到直线l的距离与点B（-１,0）到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
　　解：直线l的方程为+=1，即bx+ay-ab=0.
　　由点到直线的距离公式及a>1,得点A（１,0）和B（-１,0）到直线l的距离之和s=+=+=.
　　又s≥c，有≥c，
　　所以5a≥2c2，
　　即5≥2e2.
　　化为4e4-25e2+25≤0，
　　解得≤e2≤5.
　　注意到e>1，从而≤e≤.
　　故双曲线的离心率e的取值范围是,.
　　途径2：根据圆锥曲线的范围建立不等关系
　　圆锥曲线自身的范围都隐含着不等关系．比如对于椭圆+=1（a>b>0），有x≤a,y≤b；对于双曲线-=1（a>0,b>0），有x≥a，等等．通过对曲线范围的把握，根据点的坐标适合的不等式，可以建立关于a，b，c或e的不等关系．
　　例2 已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围．
　　分析：设法用a，b，c表示椭圆中的x(或y)，再用x(或y)的范围构造不等式．
　　解：设椭圆方程为+=1（a>b>0）,P的坐标为（x0，y0）.
　　则PF1=a+ex0，PF2=a-ex0 .
　　△F1PF2中，cos∠F1PF2==，
　　由此解得：x20＝.
　　因为-a≤x0≤a，即0≤x20≤a2，
　　解得≤e≤1，注意到0　　 故椭圆离心率的取值范围是[,1）.
　　途径3：利用数形结合寻找不等关系
　　根据题设条件画出图形，由图形发现或寻找出不等关系，往往能收到事半功倍的效果．
　　例3 过双曲线-=1（a>0,b>0）的一个焦点F2，作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围．
　　解：如图所示，渐近线l2的方程为y=x,过F2与l2垂直的直线斜率为-，要使得此直线与双曲线的两支都相交，只需->-，解得e>.
　　故双曲线的离心率的取值范围是e>.
　　评注：求解这类问题的关键是比较渐近线斜率与已知直线斜率的大小关系．
　　途径4：利用平面几何性质挖掘不等关系
　　很多离心率范围的问题都是以平面图形为载体出现的，我们知道，平面图形的背后包含着丰富的数量关系，比如三角形中两边之和大于第三边，三角形或梯形中位线的相关性质等．仔细分析平面图形的特征，挖掘出所需的不等关系，有时会使问题柳暗花明，峰回路转．
　　例4已知双曲线-=1（a>0,b>0）左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，Ｐ为双曲线左支上一点，且ＰF1是Ｐ到l的距离d与ＰF2的比例中项，求双曲线离心率e的取值范围．
　　解：由题意，可知ＰF1=
　　d•ＰF2，由双曲线的第二定义，可知ＰF1=ed.
　　∴ＰF2= eＰF1 .又ＰF2-ＰF1=2a，得ＰF1=，ＰF2=.
　　因为在三角形中，两边之和大于第三边，
　　所以有ＰF1+ＰF2>F1F2，即+>2c，
　　整理得e2-2e-1<0，注意到e>1，
　　解得1　　故所求双曲线离心率的取值范围是（１,1+）．
　　途径5：利用圆锥曲线中的最值产生不等关系
　　在解题中，细心的学生会注意到，围绕着椭圆与双曲线有大量的最值结论，比如对于椭圆+=1（a>b>0）的任一点P，左右两焦点为F1、F2，长轴两顶点为Ａ1、Ａ2，短轴两顶点为Ｂ1、Ｂ2则有如下一些结论：
　　1. ＰF1max=a+c，ＰF1min=a-c；
　　2.（∠F1ＰF2）max=∠F1B2F2，
　　（∠A1ＰA2）max=∠A1B2A2；
　　3. （Ｓ△F1PF2）max=bc.
　　利用这些结论，我们可以快速得到关于离心率e的不等式，使问题获得解决．
　　例5 设椭圆+=1（a>b>0）的长轴两端点分别为Ａ1、Ａ2，若椭圆上存在一点M，使∠A1MA2＝120°，试求椭圆离心率e的取值范围．
　　解：如图所示，因为∠A1MA2≤∠A1B2A2，又∠A1MA2＝120°，所以∠A1B2A2≥120°，∠A1B2Ｏ≥60°.
　　所以=tan∠A1B2Ｏ≥tan60°=，
　　即≤=，
　　 解得e2≥，又0　　故椭圆离心率e的取值范围是[,1）.
　　途径6：利用参数方程构造不等关系
　　利用椭圆与双曲线的参数方程来设点的坐标，可以有效减少变量的个数，同时又可以利用三角函数的有界性来构造不等关系，充分发挥三角知识在解题中的作用．
　　例6 设椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）上存在一点M，使∠AMＢ＝120°（Ａ,Ｂ为长轴的左、右端点）．试求离心率e的取值范围．
　　解：如图所示，设点M（acos,bsin）（0<<）为椭圆上半部分上一点，根据斜率公式有
　　kMA=，kMB=，
　　则tan∠AMＢ＝==-，
　　所以sin＝，又sin≤1，
　　所以2ab≤c2，即4a2（a2-c2）≤3c4，
　　解得e2≥，又0　　责任编辑罗峰
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文