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“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。” “要根据学生具体情况，对教材进行再加工，有创造地设计教学过程。” 这是《数学课程标准》指出的基本理念之一。在一些名优教师的示范课及身边教师的研讨课中，可欣赏到他们对教材创造性的设计处理，但这些教材的开发运用只是公开课或研讨课上的应景之物，教师们普遍对有效性学习材料的重要性认识不足，不能设计有利于学生进行数学思考的有效的学习材料。在很多数学课堂中，教师们过分注重情境的创设、学生的合作，片面追求花哨的教学情景、热闹的教学氛围，往往为了突出“新、奇、趣”而挖空心思地去创造迷人的教学情境；还有的为寻找数学知识的生活原型而一味偏离教学内容，学生在课堂上热热闹闹的表面现象遮盖了学生思维的广度和深度，从而忽略了课堂教学的有效性。于是，我开始反思：有效的课堂教学从何而来？如何让数学学习更有效？我认为，设计有效的学习材料是构建有效课堂的核心话题。那么，什么样的学习材料是有效的？有效学习材料的设计，我们该关注什么呢？
一、什么样的学习材料是有效的
1.有效的学习材料应能体现数学知识的生活性
《数学课程标准》指出：“数学学习要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发。” 因此，在选择教学内容时，要注意从学生的生活实际出发，把数学问题生活化，根据学生的知识背景和认知水平，用学生喜闻乐见的形式形象地呈现出来，让学生亲身感受到数学问题真实存在。
如教学《百分数的意义和写法》时，课一开始，教师就让学生把搜集来的生活中的百分数的事例和数据进行交流，丰富了学习素材。如“我国人口约占世界的22%。”“我国的耕地面积约占世界耕地的5%。”“我国每年约有0.02%的土地被沙漠吞噬。”……在学习了百分数的意义和读写后，再让学生说说搜集到的百分数表示什么意思，你从中得到哪些信息？在这里，教师将学生熟悉的生活事实引入课堂，将生活实际与数学知识紧密联系在一起，使数学教学具体、生动、直观、形象，变枯燥乏味的知识为生活中看得见、听得到、有价值的知识，使学生对数学产生一种亲切感，感受到数学是活生生的，它是生活的需要，不是凭空而来的。真正实现了“数学知识生活化，生活问题数学化”。
2.有效的学习材料应能激发学生学习的积极性
兴趣是最好的老师，鲁迅先生曾经说过：“没有兴趣的学习，无异于一种苦役，没有兴趣的地方，就没有智慧和灵感。” 兴趣是小学生产生学习动机的主要原因，也是维持良好的数学学习过程的主要因素。因此，在呈现教学内容时，以生动活泼、富有情趣的形式出现，就能让学生感受到学习数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣，吸引学生的注意力。
在教学《两位数乘两位数》时，为了巩固计算方法，必须进行练习，但大量的练习往往枯燥乏味，教师充分利用回文算式的趣味性，激发了学生的兴趣。在这里，学生感悟到数学是有趣的，即使再苦再累也乐此不疲。因此，我们在教学中可以充分挖掘数学中的一些有趣现象，如数字黑洞、回文数等，让这些材料成为数学课堂中有趣的教学资源。
3.有效的学习材料应能揭示知识形成的过程
波利亚曾经说过：“要让学生看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品。”对学生的学习，既要关注学习的结果，更要重视学习的过程。因此，在教学中，教师要组织学生进行观察、操作、归纳、类比、交流、反思和讨论等活动，让学生体验数学知识产生和发展的过程。
教学《平行四边形的面积》时，教材提供的知识是静态的，且全部是结论式的，学生看到的是思维的结果，如果不经过亲身的体验，就很难真正理解。所以在教学中教师就对此进行了加工，改变了呈现方式，创设了一种探索的氛围。构成了“猜想—探索—验证—归纳”这样一条探究的主线。鼓励学生用自己的思维方式大胆提出猜想，使学 生对平行四边形的面积产生三种不同的猜想。然后学生动手实践、合作探究，充分利用手中的长方形、平行四边形、剪刀、印有小方格的纸，进行剪、拼、量、算。让学生自己去探究、去发现，想办法寻找哪种答案是正确的。将静态的结论性的知识还原为动态的过程性的探索，以动态材料的呈现来展示知识的形成过程，使学生身临其境，亲身经历知识形成与问题解决的全过程，不仅有利于激发学生的学习兴趣，更有利于学生的知识构建。
4.有效的学习材料应能注重学生发展的差异性
《数学课程标准》指出：“不同的人在数学上得到不同的发展。”因此，教学内容的设计要有弹性，因人而异，因材施教，尽量满足不同层次学生的学习需要，让每个学生都能在自己原有基础上得到有效的发展。
在教学《长方体和正方体的表面积》时，教师设计了这样一道题：用18个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。这样的题目，满足了不同层次学生的需要，给学生提供了广阔的思考和探索的空间，使学力水平相对较差的学生也能设计出一种方法，品尝到成功的喜悦；学力水平较高的学生，也有充分施展才华的空间。每个学生的学习积极性都得到了保护，充分发展了学生的个性特长，达到了尊重学生发展的差异性的目的。
二、有效的学习材料该怎么呈现
1.呈现内容要符合学生的认知基础
教育心理学的研究表明：当学习的材料与学生已有的知识和经验相联系时，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣，数学才是活的、富有生命力的。所以我们教师应注意呈现的学习材料要与学生的认知基础相符合。有效的学习材料是学习欲望升起的动力，但学习材料的设计要难易适中，符合学生的认知基础，难度过低，学生没有学习欲望，难度过高，学生觉得无法攀越，就会丧失信心。因而学习材料的呈现要在学生的最近发展区，才能激发学生的思考，便于学生学习过程中的主动建构，从而推动学习活动顺利开展。
如《可能性》的教学中，教材中安排了“剪刀、石头、布”这样一道例题，可是一开始就出现这道题，学生不能马上就用排列法求出有几种可能，这样的呈现就不能很好地激发学生的思考，所以，教师在课开始就安排了一个复习内容，“用1、2、3能写出几个不同的两位数？”学生在用排列法有序地解决问题以后，老师再出示“剪刀、石头、布”这样一个问题情境，问：“小红胜的可能性是多少？”学生在刚才的认知基础上，马上会想到要求出一共有几种可能，要用排列法。这时的内容呈现完全符合学生的认知基础，思考的问题在学生的最近发展区。这样学生在说理的过程中感悟可能性的有和无、大和小，在说理的过程中发挥想象，展开思考，从中发展了学生的思维能力，使学习活动顺利开展。
2.呈现时机应促使学生的自主参与
学习材料的呈现也要讲究呈现的时机和过程，一个看似简单的学习材料只要注意它的呈现过程，把握呈现的最佳时机，就能充分体现它的教学价值，改进学生的学习方式，促使学生积极主动地参与学习。
如教学《比例尺》这一课时，感受“比例尺”的意义是学习的重点，而要达到这一重点，关键是教师利用学习材料激发学生产生自主探索这一数学知识的需要。为此，我将学生自己的个人照片作为学习的第一手材料，取得了很好的效果，具体描述如下：
上课伊始，先让学生拿出一张自己近期的全身照片，小组合作解决以下几个问题：
（1）你的实际身高是多少？照片中的“你”身高又是多少？
（2）怎样才能将你的实际身高拍在这么小的相纸上？
（3）要想让别人从照片上了解你的实际身高，你可以写上一句什么话？
学生顺利地回答了前两个问题，对于第三个问题，他们提出了解决的办法。
生1：实际身高是照片中高度的17倍。
生2：照片中“我的高度”只有我实际高度的1/11。
生3：实际的高度比照片中高度多1米。
生4：实际与照片中“我的高度”比是161∶13。
生5：照片中的我与实际高度之比为5∶154。
……
此时，时机成熟，教师顺理成章地引出“图上距离”和“实际距离”，揭示比例尺的概念，使学生初步感知比例尺。这里的学习材料是学生生活中常见的并且是自己的照片，而且对于实际身高与照片身高的关系完全在学生的认知范围内，在此基础上教学“图上距离”和“实际距离”的比，使学生融会贯通，教学水到渠成，最终提高了学生学习概念的有效性。
3.呈现方式应激发学生的学习兴趣
兴趣是学习最好的老师，是学生学习的前提，是学习动机的原动力。学习材料的呈现，首先应刺激学生的兴趣，调动学生的积极性，让学生在学习材料的牵引下，积极主动地投身到学习活动中去。
4.呈现过程应注重学生的 知识形成
现代数学教育理论认为，数学是数学思维活动的进程与结果的统一。数学教学最本质的特点在于它所传递的信息不仅仅是数学活动的结果，而且还包括数学思维活动的过程。但是，教材呈现给学生的一切都是静态的，学生看到的大部分是思维的结果，纵然教材展示了知识的形成过程和思维活动的过程，学生如果不经过亲身体验，也很难真正理解。这也就是说，当教材在没有进入教学过程前，它只是作为知识的储备，为学生获取知识提供了可用资源。建构主义学习理论强调：“知识是不能被传递的，教师在课堂上传递的只是信息，知识必须通过学生主动建构才能获得。”因此，在课堂中，教师要将课本上静态的知识尽量以动态的过程展现出来，让学生身临其境，直接参与数学活动，这样比看书、讲解的效果要好得多。
如教学《组合图形的面积》时，我先在黑板上组合一个长方形和三角形，让大家说说这个组合图形是怎么得到的，再拿出一张长方形的纸，用剪刀剪去一个三角形，说说这个组合图形是怎么得到的，然后大家一起研究怎样计算它们的面积，让学生对组合图形的形成有一个直观的感知，理解组合图形的面积应该怎么计算，然后我再引导学生观察和比较，得出求组合图形面积的计算方法。在这里，我把组合图形动态地展现在学生面前，让学生身临其境，直接参与数学知识的形成，这样获得的数学知识才是活的、富有生命力的。由于学生亲身体验了，经历了前人发现知识简缩的思维过程，因此不但获得了知识，还领会了解决问题的一般方法，从而帮助学生在自主探索数学知识、获得广泛的数学活动经验的同时，提升了思维能力与思维品质。
一、什么样的学习材料是有效的
1.有效的学习材料应能体现数学知识的生活性
《数学课程标准》指出：“数学学习要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发。” 因此，在选择教学内容时，要注意从学生的生活实际出发，把数学问题生活化，根据学生的知识背景和认知水平，用学生喜闻乐见的形式形象地呈现出来，让学生亲身感受到数学问题真实存在。
如教学《百分数的意义和写法》时，课一开始，教师就让学生把搜集来的生活中的百分数的事例和数据进行交流，丰富了学习素材。如“我国人口约占世界的22%。”“我国的耕地面积约占世界耕地的5%。”“我国每年约有0.02%的土地被沙漠吞噬。”……在学习了百分数的意义和读写后，再让学生说说搜集到的百分数表示什么意思，你从中得到哪些信息？在这里，教师将学生熟悉的生活事实引入课堂，将生活实际与数学知识紧密联系在一起，使数学教学具体、生动、直观、形象，变枯燥乏味的知识为生活中看得见、听得到、有价值的知识，使学生对数学产生一种亲切感，感受到数学是活生生的，它是生活的需要，不是凭空而来的。真正实现了“数学知识生活化，生活问题数学化”。
2.有效的学习材料应能激发学生学习的积极性
兴趣是最好的老师，鲁迅先生曾经说过：“没有兴趣的学习，无异于一种苦役，没有兴趣的地方，就没有智慧和灵感。” 兴趣是小学生产生学习动机的主要原因，也是维持良好的数学学习过程的主要因素。因此，在呈现教学内容时，以生动活泼、富有情趣的形式出现，就能让学生感受到学习数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣，吸引学生的注意力。
在教学《两位数乘两位数》时，为了巩固计算方法，必须进行练习，但大量的练习往往枯燥乏味，教师充分利用回文算式的趣味性，激发了学生的兴趣。在这里，学生感悟到数学是有趣的，即使再苦再累也乐此不疲。因此，我们在教学中可以充分挖掘数学中的一些有趣现象，如数字黑洞、回文数等，让这些材料成为数学课堂中有趣的教学资源。
3.有效的学习材料应能揭示知识形成的过程
波利亚曾经说过：“要让学生看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品。”对学生的学习，既要关注学习的结果，更要重视学习的过程。因此，在教学中，教师要组织学生进行观察、操作、归纳、类比、交流、反思和讨论等活动，让学生体验数学知识产生和发展的过程。
教学《平行四边形的面积》时，教材提供的知识是静态的，且全部是结论式的，学生看到的是思维的结果，如果不经过亲身的体验，就很难真正理解。所以在教学中教师就对此进行了加工，改变了呈现方式，创设了一种探索的氛围。构成了“猜想—探索—验证—归纳”这样一条探究的主线。鼓励学生用自己的思维方式大胆提出猜想，使学 生对平行四边形的面积产生三种不同的猜想。然后学生动手实践、合作探究，充分利用手中的长方形、平行四边形、剪刀、印有小方格的纸，进行剪、拼、量、算。让学生自己去探究、去发现，想办法寻找哪种答案是正确的。将静态的结论性的知识还原为动态的过程性的探索，以动态材料的呈现来展示知识的形成过程，使学生身临其境，亲身经历知识形成与问题解决的全过程，不仅有利于激发学生的学习兴趣，更有利于学生的知识构建。
4.有效的学习材料应能注重学生发展的差异性
《数学课程标准》指出：“不同的人在数学上得到不同的发展。”因此，教学内容的设计要有弹性，因人而异，因材施教，尽量满足不同层次学生的学习需要，让每个学生都能在自己原有基础上得到有效的发展。
在教学《长方体和正方体的表面积》时，教师设计了这样一道题：用18个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。这样的题目，满足了不同层次学生的需要，给学生提供了广阔的思考和探索的空间，使学力水平相对较差的学生也能设计出一种方法，品尝到成功的喜悦；学力水平较高的学生，也有充分施展才华的空间。每个学生的学习积极性都得到了保护，充分发展了学生的个性特长，达到了尊重学生发展的差异性的目的。
二、有效的学习材料该怎么呈现
1.呈现内容要符合学生的认知基础
教育心理学的研究表明：当学习的材料与学生已有的知识和经验相联系时，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣，数学才是活的、富有生命力的。所以我们教师应注意呈现的学习材料要与学生的认知基础相符合。有效的学习材料是学习欲望升起的动力，但学习材料的设计要难易适中，符合学生的认知基础，难度过低，学生没有学习欲望，难度过高，学生觉得无法攀越，就会丧失信心。因而学习材料的呈现要在学生的最近发展区，才能激发学生的思考，便于学生学习过程中的主动建构，从而推动学习活动顺利开展。
如《可能性》的教学中，教材中安排了“剪刀、石头、布”这样一道例题，可是一开始就出现这道题，学生不能马上就用排列法求出有几种可能，这样的呈现就不能很好地激发学生的思考，所以，教师在课开始就安排了一个复习内容，“用1、2、3能写出几个不同的两位数？”学生在用排列法有序地解决问题以后，老师再出示“剪刀、石头、布”这样一个问题情境，问：“小红胜的可能性是多少？”学生在刚才的认知基础上，马上会想到要求出一共有几种可能，要用排列法。这时的内容呈现完全符合学生的认知基础，思考的问题在学生的最近发展区。这样学生在说理的过程中感悟可能性的有和无、大和小，在说理的过程中发挥想象，展开思考，从中发展了学生的思维能力，使学习活动顺利开展。
2.呈现时机应促使学生的自主参与
学习材料的呈现也要讲究呈现的时机和过程，一个看似简单的学习材料只要注意它的呈现过程，把握呈现的最佳时机，就能充分体现它的教学价值，改进学生的学习方式，促使学生积极主动地参与学习。
如教学《比例尺》这一课时，感受“比例尺”的意义是学习的重点，而要达到这一重点，关键是教师利用学习材料激发学生产生自主探索这一数学知识的需要。为此，我将学生自己的个人照片作为学习的第一手材料，取得了很好的效果，具体描述如下：
上课伊始，先让学生拿出一张自己近期的全身照片，小组合作解决以下几个问题：
（1）你的实际身高是多少？照片中的“你”身高又是多少？
（2）怎样才能将你的实际身高拍在这么小的相纸上？
（3）要想让别人从照片上了解你的实际身高，你可以写上一句什么话？
学生顺利地回答了前两个问题，对于第三个问题，他们提出了解决的办法。
生1：实际身高是照片中高度的17倍。
生2：照片中“我的高度”只有我实际高度的1/11。
生3：实际的高度比照片中高度多1米。
生4：实际与照片中“我的高度”比是161∶13。
生5：照片中的我与实际高度之比为5∶154。
……
此时，时机成熟，教师顺理成章地引出“图上距离”和“实际距离”，揭示比例尺的概念，使学生初步感知比例尺。这里的学习材料是学生生活中常见的并且是自己的照片，而且对于实际身高与照片身高的关系完全在学生的认知范围内，在此基础上教学“图上距离”和“实际距离”的比，使学生融会贯通，教学水到渠成，最终提高了学生学习概念的有效性。
3.呈现方式应激发学生的学习兴趣
兴趣是学习最好的老师，是学生学习的前提，是学习动机的原动力。学习材料的呈现，首先应刺激学生的兴趣，调动学生的积极性，让学生在学习材料的牵引下，积极主动地投身到学习活动中去。
4.呈现过程应注重学生的 知识形成
现代数学教育理论认为，数学是数学思维活动的进程与结果的统一。数学教学最本质的特点在于它所传递的信息不仅仅是数学活动的结果，而且还包括数学思维活动的过程。但是，教材呈现给学生的一切都是静态的，学生看到的大部分是思维的结果，纵然教材展示了知识的形成过程和思维活动的过程，学生如果不经过亲身体验，也很难真正理解。这也就是说，当教材在没有进入教学过程前，它只是作为知识的储备，为学生获取知识提供了可用资源。建构主义学习理论强调：“知识是不能被传递的，教师在课堂上传递的只是信息，知识必须通过学生主动建构才能获得。”因此，在课堂中，教师要将课本上静态的知识尽量以动态的过程展现出来，让学生身临其境，直接参与数学活动，这样比看书、讲解的效果要好得多。
如教学《组合图形的面积》时，我先在黑板上组合一个长方形和三角形，让大家说说这个组合图形是怎么得到的，再拿出一张长方形的纸，用剪刀剪去一个三角形，说说这个组合图形是怎么得到的，然后大家一起研究怎样计算它们的面积，让学生对组合图形的形成有一个直观的感知，理解组合图形的面积应该怎么计算，然后我再引导学生观察和比较，得出求组合图形面积的计算方法。在这里，我把组合图形动态地展现在学生面前，让学生身临其境，直接参与数学知识的形成，这样获得的数学知识才是活的、富有生命力的。由于学生亲身体验了，经历了前人发现知识简缩的思维过程，因此不但获得了知识，还领会了解决问题的一般方法，从而帮助学生在自主探索数学知识、获得广泛的数学活动经验的同时，提升了思维能力与思维品质。