【摘要】由于弧长的曲线积分和坐标的曲线积分的运算公式不同,加上曲线与坐标之间的联系,决定了曲线积分运算的复杂性与解法的灵活性。本文通过对常用解法的介绍,加深对曲线积分的掌握和研究。
　　 【关键词】弧长 坐标 曲线积分 格林公式 分区域
　　
　　 1.计算弧长的曲线积分(第一类曲线积分)。
　　 定理:设在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为:
　　 注意,定积分的下限α一定要小于上限β。
　　 例1.计算,其中L是抛物线上点A(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧。
　　 解:L的方程为:
　　 特别地:当曲线L时特殊的参数方程
　　 例2.计算半径为R、中心角2α为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度)
　　 解:转动惯量I=,为了便于计算,利用L的参数方程。
　　 L的参数方程为:
　　 则I==
　　 (3)当曲线L为空间曲线弧时(参数方程)
　　 ,,
　　 例3.计算曲线积分,其中为螺旋线、,上相应于t从0到2一段弧。
　　 计算坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
　　 定理:设、在有向曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为
　　 下限对应于的起点,上限对应于的终点,不一定小于。
　　 例4.计算,其中L为
　　 (1)抛物线上从到的一段弧;
　　 (2)抛物线上从到的一段弧;
　　 解:(1)化为对x的定积分L:,x从0变1到,所以
　　 (2)化为对y的定积分,y从0变到1,所以
　　 特别地,(1)当L方程为
　　 例5.计算,其中L为
　　 (1)L是半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周;
　　 (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段。
　　 解:(1)L是参数方程当参数θ从0到π的曲线,因此
　　 (2)L的方程为y=0,x从a变到-a,所以
　　 例6.计算,是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段。
　　 解:直线段AB的方程是化为参数方程为t从1变到0。所以
　　 3.两类曲线积分之间的联系。
　　 平面曲线L上的两类曲线积分之间的關系:
　　 其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角。
　　 空间曲线上的两类曲线积分之间的关系:
　　 其中、、为曲线在点处切向量的方向角。
　　 例7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)。
　　 解:曲线上点处的切向量
　　 例8.设为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。
　　 解:由得
　　 4.利用格林公式求解曲线积分。
　　 定理:
　　 其中L是D的取正向的边界曲线,即为格林公式。
　　 特别地,在格林公式中取,即得,,即可利用此式来计算曲面积分。
　　 例9.计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续的曲线,L的方向为逆时针方向。
　　 解:令,则当时,有
　　 记L所围成的闭区域为D,当时,由格林公式得。
　　 当时,选取适当小的,作位于D内的圆域,记L和l所围成的闭区域为D1,对复连通区域D1用格林公式得:
　　 其中l的方向取逆时针方向,于是
　　 5.利用斯托克斯公式求解曲线积分。
　　 斯托克斯公式:
　　 为了便于记忆,可将斯托克斯公式写成行列式
　　 即
　　利用两类去面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一形式
　　
　　 其中为有向曲面∑在点处的单位法向量。
　　 例10.线积分,其中闭曲线的方向从轴正向看去是逆时针的。
　　 解:
　　 =
　　 其中,∑是平面被柱面截下部分,是∑的法量方向余弦,由于π为下侧,所以
　　 (其中是∑在平面上的投影,即)
　　 小结:(1)斯托克斯公式是计算空间曲线积分的重要方法之一;
　　 (2)其中∑是以C为边界的光滑或分片光滑的有向曲面,C的方向与∑的符合手法则。
　　
　　参考文献
　　 1 陈纪修、於崇华、金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000
　　 2 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
　　 3 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳上册[M].华中科技大学出版社,2001
　　 4 同济大学数学系.高等数学.上册[M].北京高等教育出版社,2007