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心理表征指在儿童已有认知结构的基础上将外部所感受到的各种信息以自己独特的方式进行组织，并逐步建构出一定的意义和结构。心理表征包括符号抽象建构、概念的确立、视觉与空间图式的形成等过程。
儿童在解决问题的过程中，从认知的角度来看，实质上是完成了两个方面的转化。第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题。第二个转化是根据已抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解，进而在实践中检验，这两个转化相互联系，缺一不可。在教学低段解决问题时，也要从儿童心理表征差异的视角出发，遵循这种思维规律，引导儿童思考逐步建立数学模型，找到解决问题的途径。
一
低年级的解决问题的教学，从10以内数的认识开始让儿童初步认识抓“部分—整体”的关系和“合与分”的本质；“同样多、多、少”的概念教学；从学习“加减法的意义”开始，让儿童学会抓住“合与分”的本质；借助一图二式和一图四式进一步理解“部分—整体”的关系和“合与分”的本质。主要形式有：
1.图表示的解决问题。第一册中，解决问题大多是单用图表示的。
2.图文表示的解决问题。第二册中，图文表示的解决问题就比较多了，占了很大的比例。也就是说其中有一个条件是用文字表示的，还有一个条件是用图表示的。
3.表格表示的解决问题。这是比图文表示的解决问题表达得更加抽象的一种解决问题了。
4.文字叙述的解决问题。对儿童的要求比以前更进了一步。也是今后解决问题出现的最主要形式。在实际的教学中，由于每个儿童的心理表征的差异，所以儿童在解决问题过程中也显示出了不一样的障碍和特征。
1.模糊迁移初始模式
【案例1】“丁丁看一本故事书，看了35页，还剩20页。这本故事书有多少页？”，儿童不认真分析题意及数量关系，见到“还剩”这个字眼，就用减法计算，故错解为（35—20=）15（页）。诸如还有见到“一共”用加法和“几倍”用乘法等错误。
【思考】儿童在进行实际的解决问题练习与数学化的过程并不完全匹配，儿童在解决问题的过程中，常常不在意或忽视现实信息。他们通常从题目描述中凭借自己的印象和所谓的经验选择一种运算方式，选择主要依据是题目中所呈现的表面信息，如关键词和数字，或是先在大脑中搜索四种基本运算的初始模式，然后判断该题目中所描述的情境与哪一种相一致，之后将题目中的数字套入被激活的运算形式中，执行计算并得出结果。解决问题结束后儿童一般不再返回到问题情境中验证结果。
2.直接映射产生错误
【案例2】“素素有一些巧克力，雅雅给了素素2块巧克力，现在素素有5块巧克力。素素开始有多少块巧克力？”3为它的数值答案，5—2为它的算式答案。结果发现让儿童列出算式比直接报出答案困难，并且在提供算式答案时，出现了直接映射错误，例如对于上面的问题，这种解答的表现形式就是3+2=5。
【思考】这两种现象都与儿童采用直接映射方法或准方程方法解答问题和不能应用加减法互补知识有关；通过分析口语报告，发现儿童提供的正确算式也并不是运用加减法互补知识的结果。
3.认知负荷超出限度
【案例3】小朋友拍球比赛，小华拍了30下，小明拍了65下，小红拍了40下，请问：
【思考】在解决问题过程中，低段的儿童常常忘记了初始信息以及两步计算应用题时中间步骤的结果就会产生一些信息干扰，其中错误原因大多数是由于与问题有关的信息在记忆中产生衰退造成的。在解决问题情境表征中，非常重要的解决过程是在语音环路和视空间模板的参与下进行的，对工作记忆容量较小的个体来说，由于在解决问题过程中所产生的认知负荷超出了其记忆能力所能承受的最大限度，导致认知资源不足，就不能对解决的问题进行有效地加工和表征，从而影响解决问题的能力。
4.思维定势解题失误
例如“河里有26只鸭，比鹅多12只。河里有鹅多少只？”这是道逆向性叙述的解决问题，儿童解答困难。
【思考】由于课本中大多数题是顺向叙述的题目，儿童解题时由于受到思维定势影响，对逆向结构题仍用顺向结构题的思维习惯进行列式计算为（26+12=）38（只）而失误。
思维定势是指先前思维活动所形成的解决问题的方法成为了解决当前问题的一种准备状态。人在解决一些常规问题时采用已经掌握的解决同类事物的方法，能加速问题的解决。相反，人在解决一些新的问题时，采用一些已掌握的、熟悉的方法有时就会使问题解决出现困难。
二
小学数学教材中简单解决问题的学习，儿童认识结构呈现的“序”是按以运算关系为小整体的不断地有序扩展。因此儿童个体解题技能的水平发展也呈有“序”的发展，这是低年级解决问题教学的关键。依据个体对问题概念抽象概括水平和操作水平的不同而进行分类。问题解决的水平反映了儿童内部概念结构的认知形式和认知水平，这种认知形式不断地促进儿童组织自己解决问题的经验，以对新情境中产生的新问题进行理解和把握。
（一）结构观点，贯穿解决问题过程
一般来说，解决问题活动包括三个概念结构水平：再认、再组织和结构抽象化。而在解决问题过程中，数学问题本身结构、儿童已有知识结构和儿童原有认知结构，简称为数学学习的“三维结构”，在教学中我们要合理把握数学学习的三维结构，并不断优化三个结构之间的关系，科学达成三个概念结构水平。
1.分析数学问题的本身结构
“比多比少”的解决问题是小学低年级数学教学中的重点之一，也是难点之一。这类解决问题教学，首先必须弄清谁与谁“比”。其次弄清谁是“比”的标准量。第三弄清标准量和非标准量谁大谁小。如：（1）有80个苹果，橘子比苹果多21个，有多少个橘子？（2）有80个苹果，苹果比橘子多21个，有多少个橘子？这两道题都是求橘子的个数，都是苹果和橘子“比”或橘子与苹果“比”，但标准量不同。第（1）题中苹果是标准量已知，大数是非标准量未知；第（2）题中橘子是标准量未知，大数是非标准量已知。所以，第（1）题用加法，第（2）题用减法。 解决问题本身有两种结构，一种是情节结构：在一个场景中描绘一件事；另一种是数学结构，主要是由条件和问题构成。情节结构和数学结构是解决的问题中不可缺少的组成部分，对两种结构的理解和把握直接影响着问题解决者对问题的理解和难易程度的把握。解题者需要通过情节结构理解题意，又需要通过分析数学结构探寻解题途径和策略。然而，在认识和分析解决问题的数学结构过程中，又离不开儿童已有的知识结构和头脑中原有的认知结构。
2.剖析数学内在的知识结构
做好知识间的横向联系就是要求在教学中强化有关概念、四则运算、文字题、解决问题之间的相互联系教学。解决问题教学是随着儿童对数的认识不断深化及四则运算的扩展而逐步加深的。
简单应用题与四则运算意义联系的方式大致有三种：
①从运算意义联系相接。与四则运算意义直接联系。即加减法中总数与部分数之间的关系应用题。乘除法中相同加数、相同加数的个数以及总数之间的数量关系属于此类。如“草地上有8只羊，又来了3只，一共有多少只羊？”解答时只要把8和3两部分合并加起来，就是羊的总只数。儿童易于理解。
②与运算意义转换相连。需要通过某些转换才能与四则运算的意义相联系。如加减法中两数相差关系的应用题，乘除法中两数的倍数关系的应用题则属此类。如“有黄花5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？”解题时把5和3合并起来得红花8朵。其中的5朵经过了转换。这类题儿童不易理解。
③与顺逆结构思维相关。逆向结构题。与其相应顺向结构题的数量关系没有改变，解题时要换角度想：鸭比鹅多12只，就是鹅比鸭少12只。此类题难理解。
知识结构是指儿童在学习过程中已经掌握的基本概念、基本原理和基本方法。就是与解决问题有关的概念、原理、性质、定律、法则和公式等。如儿童已掌握四则运算意义，以及从“运算意义”迁移到简单解决问题的解题方法构成了简单解决问题的知识结构。又如将复合解决问题分解成若干个连续性的简单解决问题，加减乘除四种基本数量关系，能顺利地解答各种简单解决问题的技巧等，就构成学习复合解决问题的知识结构。
3.解析儿童已有的认知结构
如低年级的解决问题教学，仔细分析，即抓住“合”与“分”的本质，加法和乘法都是“合”，但也有区别，加法是不同数的合，乘法是相同数的合；减法和除法都是“分”，减法是从和中分出一部分求另一部分，除法是把和分成相同的数。抓住了以上本质，出现解决问题后，联系生活实际，让儿童思考：是“分”还是“合”？“合”是哪种数的“合”？如果是“分”，又是怎样的分，“合与分”与生活的联系比较直接，儿童容易理解。
在儿童数学学习过程中，经过感知、表象、记忆、抽象、推理、判断、模型等一系列智力活动后会在儿童头脑中形成一定逻辑结构模式，即认知模式的心理结构。皮亚杰认为：儿童每一次学习新知时，先是试图用原有模式去同化，如果成功，就得到暂时平衡，如果不能用原有模式进行同化，就必须进行调整组合，做出顺应，达到新的平衡，实现由知识结构转化为认知结构的过程。
（二）整体视点，贯穿解决问题教学
数学是一门系统性很强、逻辑性非常严密的学科。各部分数学知识之间有着密切的相互联系。在教学中，弄清各部分知识间的相互联系，通过知识之间的渗透、补充和促进，从整体上提高儿童解决问题的能力。
1.找准内容之间的横向联系
从低年级解决问题的结构展开来看。低年级解决问题学习从数的认识开始就渗透应用题—在用图画表示应用题，所求的问题用“？”来表示—图画应用题其中的一个已知条件只注明数量，图画中不表示出来，初步孕伏应用题的结构—有图有文字的表格应用题——出现一些图画应用题—出现了用文字叙述的应用题。
从贯穿六年的解决问题来说，需要应用题与数的概念、计算密切配合。低年级解决问题从加减法初步认识到各数的认识是准备阶段，出现用图画表示的应用题，从儿童熟悉事物出发，老师用语言表述应用题。根据插图编拟口述应用题，让儿童数一数、说一说，渗透应用题的思想；然后从加和减开始是过渡阶段，在出现用文字叙述应用题之前，儿童已接触过较多口述应用题和有图有文字叙述表格式应用题，已逐渐熟悉应用题结构，随着识字量的增加，就能较容易解答用文字叙述应用题。以后每出现一个新概念，计算与应用题立即跟上，使应用题与概念、计算同时起步，密切配合，促进儿童的解题能力。
2.理清知识之间的纵向衔接
从小学阶段学习的简单应用题来看，可以分成四大类：1、总数与部分数的关系。2、大数、小数与相差数的关系。3、一倍数、几倍数和倍数的关系。4、总数、份数与每份数的关系。从具体内容来看有11种：⑴求总数。⑵求剩余。⑶求相同的数的和。⑷平均除。⑸包含除。⑹两数的相差数。⑺大数比小数多多少。⑻小数比大数少多少。⑼一个数是另一个数的几倍。⑽求一个数的几倍是多少。⑾己知一个数是另一个数的几分之几，求这个数。
按基本数量关系归类，将有联系的、易混的、互逆的应用题一组一组地出现，交错对比，辨别异同，促进知识的系统化，培养思维的可逆性。世界上的事物有其相同点和差异性，根据“质的规定性”，可把它们归入相应的类别，揭示知识的内在联系和规律，同时做好知识的纵向衔接。由于小学解决问题教学是随着儿童对数的认识的不断深入和计算的不断扩展而分散于各册教材之中的。容易忽视教学的系统性，教学的不连贯，在教学中应注意做好知识间的衔接和迁移，使之前有铺垫，后有发展。
3.架起策略之间的立体建构
儿童的认知规律一般是：动作、感知→表象→概念→概念系统（系统知识）。儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。在教学过程中，注意把文本中没有反映出来的过程还原出来，使儿童看到教材完整的知识体系和内在的联系，从而更好地构建认知结构。
（1）结构化
妈妈带100元钱，带小明去商场买一套衣服，在你看中的上衣和裤子下面打上★，再算一算你应付给营业员多少元钱？ 在儿童审题的基础上，引导儿童初步分析题目中的数量关系，进行必要的问题模型的建立，通过讨论确定解题方案，运用数量关系的基本模型去分析、解释、拓展、应用，这是解决问题的核心部分。在此过程中，教师引导学生对审题时输入头脑中的表象进行分析，抽取有效条件，抽象出基本模型，在观察、分析的基础上进行抽象概括，达到内化，掌握其结构特点，并与原有认知结构联结、转换、组合，顺应产生新的认知结构。教师要逐步让儿童掌握分析、综合、比较、抽象、概括、推理等基本思想方法。
（2）数学化
明明今天上午做了8架纸飞机，下午做了9架纸飞机，明明今天一共做了多少架纸飞机？可先让儿童摆小棒：第一次摆8根，第二次摆9根。思考“明明今天上下午一共做的纸飞机是由哪几个部分组成的？求明明今天一共做了多少架纸飞机就是要怎么样？8和9加起来组成几？怎样计算？”
对于这样的用加法计算的实际问题，儿童很容易从已有的数的组成思考，可以借助儿童已有的认知基础，并通过必要的抽象、推理，迁移到用加法解答。在此过程中，让儿童明白，要解决的问题一般是由两个条件和一个问题组成的，把两个数合并成一个数用加法计算，而用加法计算的基础就是数的组成与分解。这样，通过不断的数学化，新的知识就比较容易地纳入原有的知识结构。
（3）符号化
小朋友排队做操，从左往右数，方方排第四个，从右往左数，方方排在第六个，方方前面有几个人？一共有几个人？（你可以画一画、数一数，也可以想一想，写一写）。孩子们采用的方式：
解决问题过程同样要培养儿童善于感知理解所要解决的问题，要求儿童认真审题，对于不能直接提取数学模型的问题，解题时可以用线段图示法、表格法、连线列举法、集合法等，来分析理解题目中蕴含的数量关系，从而在头脑中形成问题表象，对题目的整体结构有一个初步的认识。对于情节比较复杂、数量关系不轻易看出的问题，可通过实物或学具演示、画图、描述等符号化的方法，让儿童反复地感知，准确地理解题意，识别其结构特征，形成清晰表象。
（4）模型化
根据乘法口诀“三四一十二”，可得出3×4=12，12÷4=3和12÷3=4三个算式。根据速度、时间、路程之间的关系，可得出以下三个数量关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间。
对于逆向叙述的文字题或解决问题，如“4和几相乘得28？”“一条路修了8千米，还剩4千米，这条路共长多少千米？”引导儿童先列出算式：“4×（ ）=28”和“（ ）—8=4（千米）”。然后再让儿童根据算式中的四则运算关系进行解答，为今后列方程解决问题打下基础。
抓好式题、文字题的转化训练，加强概念、计算、解决问题之间的联系。在指导儿童解答解决问题时，先从描述解决问题的具体情节中抽象出数量关系，用文字题的形式表述出来，再根据四则运算的意义确定算法，列式计算。为了使算术解法与代数解法有机地联系起来，从低年级填括号练习起，到根据一个数量关系式推出另外两个关系式的练习，都应注意加强加减、乘除互逆关系的训练。创设情境培养儿童分析数量关系的能力，儿童学会了分析数量关系，遇到各种类型的解决问题都会在理解的基础上进行解答，这样会逐步地提高解决问题的能力。
总之，根据儿童的发展规律，儿童的思维是从表象到抽象的，数学解决问题心理表征的研究可帮助人们更加清晰地了解小学儿童表征数学问题的特点及内在机制，掌握小学儿童数学思维变化的规律。通过心理表征方面的研究寻找解决问题教学中的突破点，在今后的教学中应以儿童的心理特点为基础，采用适当的教学方式、教学材料和教学安排，通过适度的教育促进儿童的身心发展。
（庄惠芬，常州市武进区湖塘桥中心小学，213161）
儿童在解决问题的过程中，从认知的角度来看，实质上是完成了两个方面的转化。第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题。第二个转化是根据已抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解，进而在实践中检验，这两个转化相互联系，缺一不可。在教学低段解决问题时，也要从儿童心理表征差异的视角出发，遵循这种思维规律，引导儿童思考逐步建立数学模型，找到解决问题的途径。
一
低年级的解决问题的教学，从10以内数的认识开始让儿童初步认识抓“部分—整体”的关系和“合与分”的本质；“同样多、多、少”的概念教学；从学习“加减法的意义”开始，让儿童学会抓住“合与分”的本质；借助一图二式和一图四式进一步理解“部分—整体”的关系和“合与分”的本质。主要形式有：
1.图表示的解决问题。第一册中，解决问题大多是单用图表示的。
2.图文表示的解决问题。第二册中，图文表示的解决问题就比较多了，占了很大的比例。也就是说其中有一个条件是用文字表示的，还有一个条件是用图表示的。
3.表格表示的解决问题。这是比图文表示的解决问题表达得更加抽象的一种解决问题了。
4.文字叙述的解决问题。对儿童的要求比以前更进了一步。也是今后解决问题出现的最主要形式。在实际的教学中，由于每个儿童的心理表征的差异，所以儿童在解决问题过程中也显示出了不一样的障碍和特征。
1.模糊迁移初始模式
【案例1】“丁丁看一本故事书，看了35页，还剩20页。这本故事书有多少页？”，儿童不认真分析题意及数量关系，见到“还剩”这个字眼，就用减法计算，故错解为（35—20=）15（页）。诸如还有见到“一共”用加法和“几倍”用乘法等错误。
【思考】儿童在进行实际的解决问题练习与数学化的过程并不完全匹配，儿童在解决问题的过程中，常常不在意或忽视现实信息。他们通常从题目描述中凭借自己的印象和所谓的经验选择一种运算方式，选择主要依据是题目中所呈现的表面信息，如关键词和数字，或是先在大脑中搜索四种基本运算的初始模式，然后判断该题目中所描述的情境与哪一种相一致，之后将题目中的数字套入被激活的运算形式中，执行计算并得出结果。解决问题结束后儿童一般不再返回到问题情境中验证结果。
2.直接映射产生错误
【案例2】“素素有一些巧克力，雅雅给了素素2块巧克力，现在素素有5块巧克力。素素开始有多少块巧克力？”3为它的数值答案，5—2为它的算式答案。结果发现让儿童列出算式比直接报出答案困难，并且在提供算式答案时，出现了直接映射错误，例如对于上面的问题，这种解答的表现形式就是3+2=5。
【思考】这两种现象都与儿童采用直接映射方法或准方程方法解答问题和不能应用加减法互补知识有关；通过分析口语报告，发现儿童提供的正确算式也并不是运用加减法互补知识的结果。
3.认知负荷超出限度
【案例3】小朋友拍球比赛，小华拍了30下，小明拍了65下，小红拍了40下，请问：
【思考】在解决问题过程中，低段的儿童常常忘记了初始信息以及两步计算应用题时中间步骤的结果就会产生一些信息干扰，其中错误原因大多数是由于与问题有关的信息在记忆中产生衰退造成的。在解决问题情境表征中，非常重要的解决过程是在语音环路和视空间模板的参与下进行的，对工作记忆容量较小的个体来说，由于在解决问题过程中所产生的认知负荷超出了其记忆能力所能承受的最大限度，导致认知资源不足，就不能对解决的问题进行有效地加工和表征，从而影响解决问题的能力。
4.思维定势解题失误
例如“河里有26只鸭，比鹅多12只。河里有鹅多少只？”这是道逆向性叙述的解决问题，儿童解答困难。
【思考】由于课本中大多数题是顺向叙述的题目，儿童解题时由于受到思维定势影响，对逆向结构题仍用顺向结构题的思维习惯进行列式计算为（26+12=）38（只）而失误。
思维定势是指先前思维活动所形成的解决问题的方法成为了解决当前问题的一种准备状态。人在解决一些常规问题时采用已经掌握的解决同类事物的方法，能加速问题的解决。相反，人在解决一些新的问题时，采用一些已掌握的、熟悉的方法有时就会使问题解决出现困难。
二
小学数学教材中简单解决问题的学习，儿童认识结构呈现的“序”是按以运算关系为小整体的不断地有序扩展。因此儿童个体解题技能的水平发展也呈有“序”的发展，这是低年级解决问题教学的关键。依据个体对问题概念抽象概括水平和操作水平的不同而进行分类。问题解决的水平反映了儿童内部概念结构的认知形式和认知水平，这种认知形式不断地促进儿童组织自己解决问题的经验，以对新情境中产生的新问题进行理解和把握。
（一）结构观点，贯穿解决问题过程
一般来说，解决问题活动包括三个概念结构水平：再认、再组织和结构抽象化。而在解决问题过程中，数学问题本身结构、儿童已有知识结构和儿童原有认知结构，简称为数学学习的“三维结构”，在教学中我们要合理把握数学学习的三维结构，并不断优化三个结构之间的关系，科学达成三个概念结构水平。
1.分析数学问题的本身结构
“比多比少”的解决问题是小学低年级数学教学中的重点之一，也是难点之一。这类解决问题教学，首先必须弄清谁与谁“比”。其次弄清谁是“比”的标准量。第三弄清标准量和非标准量谁大谁小。如：（1）有80个苹果，橘子比苹果多21个，有多少个橘子？（2）有80个苹果，苹果比橘子多21个，有多少个橘子？这两道题都是求橘子的个数，都是苹果和橘子“比”或橘子与苹果“比”，但标准量不同。第（1）题中苹果是标准量已知，大数是非标准量未知；第（2）题中橘子是标准量未知，大数是非标准量已知。所以，第（1）题用加法，第（2）题用减法。 解决问题本身有两种结构，一种是情节结构：在一个场景中描绘一件事；另一种是数学结构，主要是由条件和问题构成。情节结构和数学结构是解决的问题中不可缺少的组成部分，对两种结构的理解和把握直接影响着问题解决者对问题的理解和难易程度的把握。解题者需要通过情节结构理解题意，又需要通过分析数学结构探寻解题途径和策略。然而，在认识和分析解决问题的数学结构过程中，又离不开儿童已有的知识结构和头脑中原有的认知结构。
2.剖析数学内在的知识结构
做好知识间的横向联系就是要求在教学中强化有关概念、四则运算、文字题、解决问题之间的相互联系教学。解决问题教学是随着儿童对数的认识不断深化及四则运算的扩展而逐步加深的。
简单应用题与四则运算意义联系的方式大致有三种：
①从运算意义联系相接。与四则运算意义直接联系。即加减法中总数与部分数之间的关系应用题。乘除法中相同加数、相同加数的个数以及总数之间的数量关系属于此类。如“草地上有8只羊，又来了3只，一共有多少只羊？”解答时只要把8和3两部分合并加起来，就是羊的总只数。儿童易于理解。
②与运算意义转换相连。需要通过某些转换才能与四则运算的意义相联系。如加减法中两数相差关系的应用题，乘除法中两数的倍数关系的应用题则属此类。如“有黄花5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？”解题时把5和3合并起来得红花8朵。其中的5朵经过了转换。这类题儿童不易理解。
③与顺逆结构思维相关。逆向结构题。与其相应顺向结构题的数量关系没有改变，解题时要换角度想：鸭比鹅多12只，就是鹅比鸭少12只。此类题难理解。
知识结构是指儿童在学习过程中已经掌握的基本概念、基本原理和基本方法。就是与解决问题有关的概念、原理、性质、定律、法则和公式等。如儿童已掌握四则运算意义，以及从“运算意义”迁移到简单解决问题的解题方法构成了简单解决问题的知识结构。又如将复合解决问题分解成若干个连续性的简单解决问题，加减乘除四种基本数量关系，能顺利地解答各种简单解决问题的技巧等，就构成学习复合解决问题的知识结构。
3.解析儿童已有的认知结构
如低年级的解决问题教学，仔细分析，即抓住“合”与“分”的本质，加法和乘法都是“合”，但也有区别，加法是不同数的合，乘法是相同数的合；减法和除法都是“分”，减法是从和中分出一部分求另一部分，除法是把和分成相同的数。抓住了以上本质，出现解决问题后，联系生活实际，让儿童思考：是“分”还是“合”？“合”是哪种数的“合”？如果是“分”，又是怎样的分，“合与分”与生活的联系比较直接，儿童容易理解。
在儿童数学学习过程中，经过感知、表象、记忆、抽象、推理、判断、模型等一系列智力活动后会在儿童头脑中形成一定逻辑结构模式，即认知模式的心理结构。皮亚杰认为：儿童每一次学习新知时，先是试图用原有模式去同化，如果成功，就得到暂时平衡，如果不能用原有模式进行同化，就必须进行调整组合，做出顺应，达到新的平衡，实现由知识结构转化为认知结构的过程。
（二）整体视点，贯穿解决问题教学
数学是一门系统性很强、逻辑性非常严密的学科。各部分数学知识之间有着密切的相互联系。在教学中，弄清各部分知识间的相互联系，通过知识之间的渗透、补充和促进，从整体上提高儿童解决问题的能力。
1.找准内容之间的横向联系
从低年级解决问题的结构展开来看。低年级解决问题学习从数的认识开始就渗透应用题—在用图画表示应用题，所求的问题用“？”来表示—图画应用题其中的一个已知条件只注明数量，图画中不表示出来，初步孕伏应用题的结构—有图有文字的表格应用题——出现一些图画应用题—出现了用文字叙述的应用题。
从贯穿六年的解决问题来说，需要应用题与数的概念、计算密切配合。低年级解决问题从加减法初步认识到各数的认识是准备阶段，出现用图画表示的应用题，从儿童熟悉事物出发，老师用语言表述应用题。根据插图编拟口述应用题，让儿童数一数、说一说，渗透应用题的思想；然后从加和减开始是过渡阶段，在出现用文字叙述应用题之前，儿童已接触过较多口述应用题和有图有文字叙述表格式应用题，已逐渐熟悉应用题结构，随着识字量的增加，就能较容易解答用文字叙述应用题。以后每出现一个新概念，计算与应用题立即跟上，使应用题与概念、计算同时起步，密切配合，促进儿童的解题能力。
2.理清知识之间的纵向衔接
从小学阶段学习的简单应用题来看，可以分成四大类：1、总数与部分数的关系。2、大数、小数与相差数的关系。3、一倍数、几倍数和倍数的关系。4、总数、份数与每份数的关系。从具体内容来看有11种：⑴求总数。⑵求剩余。⑶求相同的数的和。⑷平均除。⑸包含除。⑹两数的相差数。⑺大数比小数多多少。⑻小数比大数少多少。⑼一个数是另一个数的几倍。⑽求一个数的几倍是多少。⑾己知一个数是另一个数的几分之几，求这个数。
按基本数量关系归类，将有联系的、易混的、互逆的应用题一组一组地出现，交错对比，辨别异同，促进知识的系统化，培养思维的可逆性。世界上的事物有其相同点和差异性，根据“质的规定性”，可把它们归入相应的类别，揭示知识的内在联系和规律，同时做好知识的纵向衔接。由于小学解决问题教学是随着儿童对数的认识的不断深入和计算的不断扩展而分散于各册教材之中的。容易忽视教学的系统性，教学的不连贯，在教学中应注意做好知识间的衔接和迁移，使之前有铺垫，后有发展。
3.架起策略之间的立体建构
儿童的认知规律一般是：动作、感知→表象→概念→概念系统（系统知识）。儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。在教学过程中，注意把文本中没有反映出来的过程还原出来，使儿童看到教材完整的知识体系和内在的联系，从而更好地构建认知结构。
（1）结构化
妈妈带100元钱，带小明去商场买一套衣服，在你看中的上衣和裤子下面打上★，再算一算你应付给营业员多少元钱？ 在儿童审题的基础上，引导儿童初步分析题目中的数量关系，进行必要的问题模型的建立，通过讨论确定解题方案，运用数量关系的基本模型去分析、解释、拓展、应用，这是解决问题的核心部分。在此过程中，教师引导学生对审题时输入头脑中的表象进行分析，抽取有效条件，抽象出基本模型，在观察、分析的基础上进行抽象概括，达到内化，掌握其结构特点，并与原有认知结构联结、转换、组合，顺应产生新的认知结构。教师要逐步让儿童掌握分析、综合、比较、抽象、概括、推理等基本思想方法。
（2）数学化
明明今天上午做了8架纸飞机，下午做了9架纸飞机，明明今天一共做了多少架纸飞机？可先让儿童摆小棒：第一次摆8根，第二次摆9根。思考“明明今天上下午一共做的纸飞机是由哪几个部分组成的？求明明今天一共做了多少架纸飞机就是要怎么样？8和9加起来组成几？怎样计算？”
对于这样的用加法计算的实际问题，儿童很容易从已有的数的组成思考，可以借助儿童已有的认知基础，并通过必要的抽象、推理，迁移到用加法解答。在此过程中，让儿童明白，要解决的问题一般是由两个条件和一个问题组成的，把两个数合并成一个数用加法计算，而用加法计算的基础就是数的组成与分解。这样，通过不断的数学化，新的知识就比较容易地纳入原有的知识结构。
（3）符号化
小朋友排队做操，从左往右数，方方排第四个，从右往左数，方方排在第六个，方方前面有几个人？一共有几个人？（你可以画一画、数一数，也可以想一想，写一写）。孩子们采用的方式：
解决问题过程同样要培养儿童善于感知理解所要解决的问题，要求儿童认真审题，对于不能直接提取数学模型的问题，解题时可以用线段图示法、表格法、连线列举法、集合法等，来分析理解题目中蕴含的数量关系，从而在头脑中形成问题表象，对题目的整体结构有一个初步的认识。对于情节比较复杂、数量关系不轻易看出的问题，可通过实物或学具演示、画图、描述等符号化的方法，让儿童反复地感知，准确地理解题意，识别其结构特征，形成清晰表象。
（4）模型化
根据乘法口诀“三四一十二”，可得出3×4=12，12÷4=3和12÷3=4三个算式。根据速度、时间、路程之间的关系，可得出以下三个数量关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间。
对于逆向叙述的文字题或解决问题，如“4和几相乘得28？”“一条路修了8千米，还剩4千米，这条路共长多少千米？”引导儿童先列出算式：“4×（ ）=28”和“（ ）—8=4（千米）”。然后再让儿童根据算式中的四则运算关系进行解答，为今后列方程解决问题打下基础。
抓好式题、文字题的转化训练，加强概念、计算、解决问题之间的联系。在指导儿童解答解决问题时，先从描述解决问题的具体情节中抽象出数量关系，用文字题的形式表述出来，再根据四则运算的意义确定算法，列式计算。为了使算术解法与代数解法有机地联系起来，从低年级填括号练习起，到根据一个数量关系式推出另外两个关系式的练习，都应注意加强加减、乘除互逆关系的训练。创设情境培养儿童分析数量关系的能力，儿童学会了分析数量关系，遇到各种类型的解决问题都会在理解的基础上进行解答，这样会逐步地提高解决问题的能力。
总之，根据儿童的发展规律，儿童的思维是从表象到抽象的，数学解决问题心理表征的研究可帮助人们更加清晰地了解小学儿童表征数学问题的特点及内在机制，掌握小学儿童数学思维变化的规律。通过心理表征方面的研究寻找解决问题教学中的突破点，在今后的教学中应以儿童的心理特点为基础，采用适当的教学方式、教学材料和教学安排，通过适度的教育促进儿童的身心发展。
（庄惠芬，常州市武进区湖塘桥中心小学，213161）