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摘要： 高等数学既难学，更难教。本文结合高职教育特点，探讨了高职高等数学的教学方法，提出了“创设情境、结合史实、引入实例、设疑精讲”等教学方法。
关键词： 高等数学 概念 教学法
高等数学是高职院校多数专业的重要基础理论课之一，其教学质量的好坏将直接影响人才培养的目标能否达成，特别是现阶段我国高等教育工作重心转向更加注重提高教育质量上来，各高校也越来越重视基础课程的教学质量。在高职高等数学现行教材的基础下，要提高教学质量，其有效途径就是改进教学方法与教学手段。笔者结合多年的教学实践就课堂教学方面谈一点体会，以供探讨。
一、创设情境，结合史实
高职高等数学课程一般在一年级开设，其教学内容主要是微积分，由于高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，再加上学生的思维大多还停留在中学阶段，所以学生一开始会很不适应，容易产生畏难情绪。因此，高等数学的教学开头很重要，尤其对极限概念的教学要多做探讨，多下工夫。
极限概念是微积分学的重要基础，微积分中很多理论的形成与发展都应用了极限的思想和方法，同时极限概念的教学又是高等数学教学中的一个难点。那么在课堂教学中如何上好极限概念这一环节呢？本人结合实践，采取“创设情境，结合史实”的方法，收到了很好的效果。具体是这样的，开篇不以通过观察几个数列的趋势概括出极限的描述性定义，更不是直接提出极限的严格的、形式化语言的“ε-N”或“ε-δ”定义，而是通过经典的悖论，比如芝诺悖论之二的阿基里斯追赶不上比他先跑一段距离的乌龟，又或者用我们更熟悉的“龟兔赛跑”的故事，当然在这里讲的是兔子追不上乌龟，这个追赶的过程可以用课件演示，也可以用板书刻画，因为整个追赶过程追赶者必须跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点时，又有新的出发点在等着他，所以就会给人追赶不上的错觉。在整个演示过程中引起了学生激烈争论，甚至有些学生认可了这个悖论。当然，还有部分学生其思维形式还停留在初等数学阶段，利用初等数学方法算出追赶所花时间t= （这里设初始距离为d，追赶者速度为v ，被追者速度为v ，显然v >v ）， 这其实有个前提，那就是假设已经追上了，所以还是解决不了“是否能”追上这个问题，这样连这部分学生也陷入了沉思中，如此课堂效果就出来了，学生就急于想知道问题该怎么解决，通过什么方法来解决，这样就调动了学生学习数学的积极性、主动性，使学生对学习极限概念产生浓厚的兴趣。根据前面假设，可选择地构造出两个有背景的数列，比如：d， ，d（ ） ，…，d（ ） ，…（这是追赶者与被追者间距离数列）、 ， ， ，…， ，…（追赶者每一阶段所用时间数列），再配合直观形象的图示法或观察法，可以看出当n无限增大时，上述两个数列的一般项的值是越来越小，不妨用具体的值代替v 和v ，这样更容易说明，如果再对上面两等比数列求和就可以得出结论，追赶的距离是有限的，追赶的时间也是有限的，这样大体上就解决了芝诺的阿基里斯悖论，当然更深层次的讨论这里不再进行。到此为止教师可顺理成章地引入极限思想和极限概念。
创设情境，在情境中提出问题能激发学生的好奇心，而好奇心是产生兴趣的先导，因此在课堂教学中要多创设情境引导学生主动探索。此外，笔者还简要介绍了极限发展的历史，常见的例子如《庄子•天下篇》中提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和中国古代数学家刘徽的“割圆术”等，通过平均速度求瞬时速度、割线斜率求切线的斜率这些思想也可以放在这里简单介绍，这样学生不仅能够理解“无穷逼近”的思想，掌握极限概念，而且认识到数学的概念也是有血有肉具有丰富内容的，这些对于提高学生学习数学的兴趣是很有帮助的。
总之，极限概念在高等数学中是非常重要的，关于其教学方法也是多种多样的，具体到严格的、形式化的定义，许多作者做过详细讨论，虽然对高职学生极限的严格定义大都不做要求，但是经过前面的充分准备，要使我们的学生掌握“ε-N”和“ε-δ”定义其实不难，这里就不再讨论了。
二、通过实例，讲清本质
在数学教学中适当融入实例教学，可以使本来生硬的、难懂的数学概念生动起来，易于理解和掌握，使课堂教学达到事半功倍的效果。例如，高等数学开篇函数部分讲到复合函数定义，我们的教材通常采用定量性的、形式化的语言进行描述，既要讲清对应关系，还要讲到内层函数的值域与外层函数的定义域，不仅定义很长，符号也一大堆，我们的学生看到这样的定义能不头痛吗？因此笔者借鉴了如下实例：如果石油从一艘油轮中泄出，那么，泄出的石油表面积将随时间的增加不断扩大。假定油面始终保持圆形（事实上并非如此）。油的表面积是半径的函数A=f(r)=πr ，半径也是时间的函数，因为半径是随油的不断泄出而增加的。因此，作为半径函数的油面积也是时间的函数，如果半径函数是r=g(t)=1+t，那么，油的表面积可表示成A=πr =π（1+t） ，是时间的函数。我们就说A是一个复合函数，或是一个“函数的函数”，记作A=f(g(t))=π(g(t)) =π（1+t） 。
这样通过实例进行定性描述解释复合函数为“函数的函数”不仅易于理解，也不失概念的本质。然后结合例题和练习分析复合函数的定义域与复合过程加以巩固加深，再讲明复合函数与函数四则运算的区别。实践证明，这样的教学适合高职数学教学。
三、从易到难，循序渐进
定积分是积分学的一个重要问题，它主要解决一类“和数极限”的计算问题。定义叙述较长，包含的思想方法较多，不易理解，因此在高等数学教学中定积分概念是个难点。同时，定积分及其方法是解决实际问题的有力工具，所以它又是一个重点概念。上好定积分概念，应先从规则的几何图形入手，如矩形、三角形、梯形等复习它们的求解方法，再给出曲边梯形，让学生思考该怎么求这类图形面积，进而叙述求曲边梯形面积的具体步骤：“分割、代替、求和、求极限”。这里要讲清楚两个“任意”即任意分割、任意取点，对于取极限必须讲清楚最大子区间“λ→0”与子区间数n的关系，在连续曲线下，有些特殊分割如等分，“λ→0”与子区间数“n→∞”是等价的，再配合特殊取点，这样就可以将极限f(ξ )△x 转化成求“n→∞”的某个和式极限。
定义阐述之后，学生对这种求曲边梯形面积的思想和方法尚存疑问，这种方法是否可行？所求的面积与实际是否相符？笔者通过简单的例题，如：求函数y=x在区间［0，1］上的定积分，图像上它是一个直角边为1的等腰直角三角形，面积为 ，即此定积分为 。然后介绍采取积分定义的求法：将［0，1］区间n等分，得：△x = ，λ=max{△x }= (i=1，2，…，n)，取特殊点ξ = (i=1，2，…，n)，此时，“λ→0”与“n→∞”等价，则：f(ξ )△x =f( ) = == ，与实际相符，说明“无限分割、取近似值、求和、求极限”的这种方法求面积是可行的。疑虑消除了，紧接着就是探讨某些曲边梯形面积的具体求解过程，如：利用定义计算定积分?蘩x dx，进行对概念的加深和巩固，对具体操作过程的熟悉与掌握。这样由易到难、循序渐进讲授定积分概念是比较容易让学生接受的，课堂教学也是比较成功的。
当学生理解了定积分的定义后，重点要放在详细介绍定积分的思想与方法的具体应用，比如求面积、体积、变速直线运动的路程及连续曲线的弧长等。此外，我们的教材在应用方面的内容比较欠缺，这一点需要改进，应配置些针对学生专业的、生产实践中应用到数学方法的例题或案例。
关键词： 高等数学 概念 教学法
高等数学是高职院校多数专业的重要基础理论课之一，其教学质量的好坏将直接影响人才培养的目标能否达成，特别是现阶段我国高等教育工作重心转向更加注重提高教育质量上来，各高校也越来越重视基础课程的教学质量。在高职高等数学现行教材的基础下，要提高教学质量，其有效途径就是改进教学方法与教学手段。笔者结合多年的教学实践就课堂教学方面谈一点体会，以供探讨。
一、创设情境，结合史实
高职高等数学课程一般在一年级开设，其教学内容主要是微积分，由于高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，再加上学生的思维大多还停留在中学阶段，所以学生一开始会很不适应，容易产生畏难情绪。因此，高等数学的教学开头很重要，尤其对极限概念的教学要多做探讨，多下工夫。
极限概念是微积分学的重要基础，微积分中很多理论的形成与发展都应用了极限的思想和方法，同时极限概念的教学又是高等数学教学中的一个难点。那么在课堂教学中如何上好极限概念这一环节呢？本人结合实践，采取“创设情境，结合史实”的方法，收到了很好的效果。具体是这样的，开篇不以通过观察几个数列的趋势概括出极限的描述性定义，更不是直接提出极限的严格的、形式化语言的“ε-N”或“ε-δ”定义，而是通过经典的悖论，比如芝诺悖论之二的阿基里斯追赶不上比他先跑一段距离的乌龟，又或者用我们更熟悉的“龟兔赛跑”的故事，当然在这里讲的是兔子追不上乌龟，这个追赶的过程可以用课件演示，也可以用板书刻画，因为整个追赶过程追赶者必须跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点时，又有新的出发点在等着他，所以就会给人追赶不上的错觉。在整个演示过程中引起了学生激烈争论，甚至有些学生认可了这个悖论。当然，还有部分学生其思维形式还停留在初等数学阶段，利用初等数学方法算出追赶所花时间t= （这里设初始距离为d，追赶者速度为v ，被追者速度为v ，显然v >v ）， 这其实有个前提，那就是假设已经追上了，所以还是解决不了“是否能”追上这个问题，这样连这部分学生也陷入了沉思中，如此课堂效果就出来了，学生就急于想知道问题该怎么解决，通过什么方法来解决，这样就调动了学生学习数学的积极性、主动性，使学生对学习极限概念产生浓厚的兴趣。根据前面假设，可选择地构造出两个有背景的数列，比如：d， ，d（ ） ，…，d（ ） ，…（这是追赶者与被追者间距离数列）、 ， ， ，…， ，…（追赶者每一阶段所用时间数列），再配合直观形象的图示法或观察法，可以看出当n无限增大时，上述两个数列的一般项的值是越来越小，不妨用具体的值代替v 和v ，这样更容易说明，如果再对上面两等比数列求和就可以得出结论，追赶的距离是有限的，追赶的时间也是有限的，这样大体上就解决了芝诺的阿基里斯悖论，当然更深层次的讨论这里不再进行。到此为止教师可顺理成章地引入极限思想和极限概念。
创设情境，在情境中提出问题能激发学生的好奇心，而好奇心是产生兴趣的先导，因此在课堂教学中要多创设情境引导学生主动探索。此外，笔者还简要介绍了极限发展的历史，常见的例子如《庄子•天下篇》中提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和中国古代数学家刘徽的“割圆术”等，通过平均速度求瞬时速度、割线斜率求切线的斜率这些思想也可以放在这里简单介绍，这样学生不仅能够理解“无穷逼近”的思想，掌握极限概念，而且认识到数学的概念也是有血有肉具有丰富内容的，这些对于提高学生学习数学的兴趣是很有帮助的。
总之，极限概念在高等数学中是非常重要的，关于其教学方法也是多种多样的，具体到严格的、形式化的定义，许多作者做过详细讨论，虽然对高职学生极限的严格定义大都不做要求，但是经过前面的充分准备，要使我们的学生掌握“ε-N”和“ε-δ”定义其实不难，这里就不再讨论了。
二、通过实例，讲清本质
在数学教学中适当融入实例教学，可以使本来生硬的、难懂的数学概念生动起来，易于理解和掌握，使课堂教学达到事半功倍的效果。例如，高等数学开篇函数部分讲到复合函数定义，我们的教材通常采用定量性的、形式化的语言进行描述，既要讲清对应关系，还要讲到内层函数的值域与外层函数的定义域，不仅定义很长，符号也一大堆，我们的学生看到这样的定义能不头痛吗？因此笔者借鉴了如下实例：如果石油从一艘油轮中泄出，那么，泄出的石油表面积将随时间的增加不断扩大。假定油面始终保持圆形（事实上并非如此）。油的表面积是半径的函数A=f(r)=πr ，半径也是时间的函数，因为半径是随油的不断泄出而增加的。因此，作为半径函数的油面积也是时间的函数，如果半径函数是r=g(t)=1+t，那么，油的表面积可表示成A=πr =π（1+t） ，是时间的函数。我们就说A是一个复合函数，或是一个“函数的函数”，记作A=f(g(t))=π(g(t)) =π（1+t） 。
这样通过实例进行定性描述解释复合函数为“函数的函数”不仅易于理解，也不失概念的本质。然后结合例题和练习分析复合函数的定义域与复合过程加以巩固加深，再讲明复合函数与函数四则运算的区别。实践证明，这样的教学适合高职数学教学。
三、从易到难，循序渐进
定积分是积分学的一个重要问题，它主要解决一类“和数极限”的计算问题。定义叙述较长，包含的思想方法较多，不易理解，因此在高等数学教学中定积分概念是个难点。同时，定积分及其方法是解决实际问题的有力工具，所以它又是一个重点概念。上好定积分概念，应先从规则的几何图形入手，如矩形、三角形、梯形等复习它们的求解方法，再给出曲边梯形，让学生思考该怎么求这类图形面积，进而叙述求曲边梯形面积的具体步骤：“分割、代替、求和、求极限”。这里要讲清楚两个“任意”即任意分割、任意取点，对于取极限必须讲清楚最大子区间“λ→0”与子区间数n的关系，在连续曲线下，有些特殊分割如等分，“λ→0”与子区间数“n→∞”是等价的，再配合特殊取点，这样就可以将极限f(ξ )△x 转化成求“n→∞”的某个和式极限。
定义阐述之后，学生对这种求曲边梯形面积的思想和方法尚存疑问，这种方法是否可行？所求的面积与实际是否相符？笔者通过简单的例题，如：求函数y=x在区间［0，1］上的定积分，图像上它是一个直角边为1的等腰直角三角形，面积为 ，即此定积分为 。然后介绍采取积分定义的求法：将［0，1］区间n等分，得：△x = ，λ=max{△x }= (i=1，2，…，n)，取特殊点ξ = (i=1，2，…，n)，此时，“λ→0”与“n→∞”等价，则：f(ξ )△x =f( ) = == ，与实际相符，说明“无限分割、取近似值、求和、求极限”的这种方法求面积是可行的。疑虑消除了，紧接着就是探讨某些曲边梯形面积的具体求解过程，如：利用定义计算定积分?蘩x dx，进行对概念的加深和巩固，对具体操作过程的熟悉与掌握。这样由易到难、循序渐进讲授定积分概念是比较容易让学生接受的，课堂教学也是比较成功的。
当学生理解了定积分的定义后，重点要放在详细介绍定积分的思想与方法的具体应用，比如求面积、体积、变速直线运动的路程及连续曲线的弧长等。此外，我们的教材在应用方面的内容比较欠缺，这一点需要改进，应配置些针对学生专业的、生产实践中应用到数学方法的例题或案例。