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【关键词】加全偶数;等价式;互换式;取值节;素数连续乘积节
问题的提出;大于4的偶数，均可等于两个素数之和.
哥德巴赫所担心的问题是：当一个偶数充分大时，是否还会不会有充分大的两个素数之和用来等于该偶数.
实际上，担心是没有必要的，可以肯定地说，当一个偶数越大时，而与其该偶数相等的素数对就会越多.
例：偶数210=199 11=197 13=193 17=191 19=181 29=179 31=173 37=167 43=163
47=157 53=151 59=149 61=139 71=137 73=131 79=127 83=113 97=109 101=107 103.
共计有19对.
由于我们掌握了素数的规律性，给其猜想的证明就容易多了.下面就详尽地、分步地来进行分析证明.
分析一 一个奇素数的集合，用该集合中的每一个元素，分别与奇素数的集合相加，能够加全一切大于4的偶数.那么，问题就得以解决.运用的这一方法，叫加全法则.
当用最小素数3与其大于等于3的奇数序列相加，得3 （2N 3）.
N为包括零在内的正整数序列.依次取值，显然就加全了大于4的全部偶数，称其为一次加全.
为了以后叙述方便，给N加注一个小脚标.一次加全应写成：3 （2N1 3）.
第一步，要筛除3与含3因子的合数.
3 （2×3N2 3），显然不合猜想的要求，但我们可找出替代它的等价式.
即5 （2×3N2 7）
7 （2×3N2 5）
也就是说，筛除一个3因子却得到了两个可替代的等价式.
列出全部的算式，即：
3 （2×3N2 5）……①
3 （2×3N2 7）……②
5 （2×3N2 5）……③
5 （2×3N2 7）……④
7 （2×3N2 5）……⑤
7 （2×3N2 7）……⑥
这6个算式，又可加全大于6的全部偶数，称其为二次加全.
式中②、③两式等价， ④、⑤两式等价， ①、⑥两式等价.
分析二 筛除一个3因子，有了两个等价式.筛除5因子时，还会增加等价式吗？若在筛除的素因子不断增大时，而替代它的等价式会大增，这样就可把猜想变为确定.
为了清晰明了，必须罗列大量算式，而从其数据中寻求等价式增多的原因.
以二次加全的①～⑥式为基础，进行三次加全.
取N2=1～5这一节取是为了由6N2向30N3过渡.
取N2=6～10这一节取是为了补充漏掉的等价式.
依据①～⑥算式：当N2=1～10时，
由6N2过渡到30N3，需要筛除5因子.
那么，三次偶数加全算式为：
（10） 3 30N3 7
（12） 5 30N3 7
（14） 3 30N3 11=7 30N3 7
（16） 3 30N3 13=5 30N3 11
（18） 5 30N3 13=7 30N3 11=11 30N3 7
（20） 3 30N3 17=7 30N3 13=13 30N3 7
（22） 3 30N3 19=5 30N3 17=11 30N3 11
（24） 5 30N3 19=7 30N3 17=11 30N3 13=13 30N3 11=17 30N3 7
（26） 3 30N3 23=7 30N3 19=13 30N3 13=19 30N3 7
（28） 5 30N3 23=11 30N3 17=17 30N3 11
（30） 7 30N3 23=11 30N3 19=13 30N3 17=17 30N3 13=19 30N3 11=23 30N3 7
（32） 3 30N3 29=13 30N3 19=19 30N3 13
（34） 3 30N3 31=5 30N3 29=11 30N3 23=17 30N3 17=23 30N3 11
（36） 5 30N3 31=7 30N3 29=13 30N3 23=17 30N3 19=19 30N3 17=
23 30N3 13=29 30N3 7
（38） 7 30N3 31=19 30N3 19=31 30N3 7
（40） 3 30N3 37=11 30N3 29=17 30N3 23=23 30N3 17=29 30N3 11
（42） 5 30N3 37=11 30N3 31=13 30N3 29=19 30N3 23=23 30N3 19=29 30N3 13=31 30N3 11
（44） 3 30N3 41=7 30N3 37=13 30N3 31=31 30N3 13=37 30N3 7
至此，大于8的全部偶数三次加全完成，而且偶数大于16后，等价式不少于3个.
（46） 3 30N3 43=5 30N3 41=17 30N3 29=23 30N3 23=29 30N3 17
（48） 5 30N3 43=7 30N3 41=11 30N3 37=17 30N3 31=19 30N3 29=29 30N3 19=31 30N3 17=37 30N3 11=41 30N3 7
（50） 3 30N3 47=7 30N3 43=13 30N3 37=19 30N3 31=31 30N3 19=37 30N3 13=43 30N3 7 （52） 3 30N3 （49）=5 30N347=11 30N3 41=23 30N3 29=29 30N3 23=41 30N3 11
（54） 5 30N3 （49）=7 30N3 47=11 30N3 43=13 30N3 41=17 30N3 37=23 30N 31=31 30N3 23=37 30N3 17=41 30N3 13=43 30N3 11=47 30N3 7
（56） 3 30N3 53=7 30N3 （49）=13 30N3 43=19 30N3 37=37 30N3 19=43 30N3 13=（49） 30N3 7
（58） 5 30N3 53=11 30N3 47=17 30N3 41=29 30N3 29=41 30N3 17=47 30N3 11
（60） 7 30N3 53=11 30N3 （49）=13 30N3 47=17 30N3 43=19 30N3 41=23 30N3 37=29 30N33 31=31 30N3 29=37 30N3 23=41 30N3 19=43 30N3 17=47 30N3 13=（49） 30N3 11=53 30N3 7
（62） 3 30N359=13 30N3 （49）=19 30N3 43=31 30N3 31=43 30N3 19=
（49） 30N3 13
（64） 3 30N3 61=5 30N3 59=11 30N3 53=17 30N3 47=41 30N3 23=47 30N3 17=53 30N3 11
（66） 5 30N3 61=7 30N3 59=13 30N3 53=17 30N3 （49）=19 30N3 47=23 30N3 43=29 30N3 37=37 30N3 29=43 30N3 23=47 30N319=（49） 30N3 17=53 30N3 13=59 30N3 7
（68）7 30N3 61=19 30N3 （49）=31 30N3 37=37 30N3 31=（49） 30N3 19=61 30N3 7
（70）3 30N3 67=11 30N3 59=17 30N3 53=23 30N3 47=29 30N3 41=41 30N3 29=47 30N3 23=53 30N3 17=59 30N3 11
（72）5 30N3 67=11 30N3 61=13 30N3 59=19 30N3 53=23 30N3 （49）=29 30N3 43=31 30N3 41=41 30N3 31=43 30N3 29=（49） 30N3 23=53 30N3 19=59 30N3 13=61 30N3 11
注：括号中的数值是未被筛除的合数，作为近似素数保留.
说明：7 30N3 13=13 30N3 7称为互换等价式，为下一步求取更多的等价式打基础.如当N3取1时，7 43=13 37.互换的可行原则，被筛除素数不可互换.
通过以上大量数据的列出，只为找出偶数增大时，等价式增多的规律.
从6N2向30N3过渡中，等价式在未被筛除5因子时，它的个数是随N2的取值增大而增加的.由于Q2集合中只有{5，7}这两个元素，因此，在①、⑥两式中，可互换的只有7;在②、③两式中，可互换的只有5;在④、⑤两式中，可互换的是5与7.
分析三 从一个连续乘积节向下一个连续乘积节过渡时，求取出的等价式，增多的原因，是有了可互换的等价式.在乘积节增大后，可互换的等价式若能大量增加，问题便可解决.
为说明这一点，还需罗列数据.由30N3乘积节向210N4乘积节过渡中，偶数应大于等于3 30 7=40，因为在30N3中，10与40是等价的，依次到38与68是等价的.在偶数40～72里，只有44、46的等价式最少，是5个，可互换的等价式有3个.
那么，我们就以44为例.由于Q3集合元素有了8个，使其在7～37范围内，可互换的等价式增加.并且偶数大于等于40后，可互换的等价式不少于3个.
例：（44） 3 30N3 41=7 30N3 37=13 30N3 31=31 30N3 13=37 30N3 7
当N3=1时，写成草算式：74=3 71=7 67=13 61=31 43=37 37=43 31=61 13=67 7.
从44的5个等价式，到74就增加了3个，增加的3个可互换等价式，就是Q3集合中的（7，13，31）这三个元素.所以N3取值大一个，就会多出3个等价式.接下来继续推演（略）.
当N3=7时，由44的5个等价式，到254就增加了3×7=21个.254总共等价式为5 21=26个.
由于N3=7已经过渡到210N4，必须筛除7与含7因子的合数.
因为44有5个等价式，产生7与7因子的合数最多是5个，再加上互换中的最多5个互换，那么，应被筛除的等价式不超过2×5=10个.实际254中仅有7个.
即254近似到Q4时的等价式是26-7=19个.
列出正规式：（254）
3 210N4 251=7 210N4 [247]=13 210N4 241=31 210N4 223=43 210N4 211=
61 210N4 193=67 210N4 [187]=73 210N4 181=97 210N4 157=103 210N4 151=
127 210N4 127=151 210N4 103=157 210N4 97=181 210N4 73=[187] 210N4 67= 193 210N4 61=211 210N4 43=223 210N4 31=241 210N4 13.
由210 13=223，那么254的等价式中，小于223的可互换等价式增到了15个.这是因为Q3集合有48个元素，又因为Q3的值域为[11～211]，因此，Q集合元素的剧增，使其可互换的等价式大增.
不妨再简述一下，以254为基础，由N4向N5的过渡状况.
N4的取值为1～11，当N4=11时，已步入到N5.
其等价式为19 15×11=184个.
而最多需筛除11与11因子的合数为19×2=38个.
那么2310 254=2564时，其等价式最少应有184-38=146个.
再以2564为基础，简述由N5向N6的过渡状况.
N5的取值为1～13，当N5=13时，已步入到N6.
2564的等价式不少于146个，可互换的等价式不少于146-19=127个.
其等价式不少于146 127×13-2×146=1505个.
即∏（2D13） 2564=30030 2564=32594这么大的偶数时，不含有3～13的素因子的近似等价式有不少于1505个
……
当由∏（2DK）Nn向∏[2D（K ①）]Nn 1过渡时，
Nn的取值为1～（K ①），当Nn=K ①时，已步入Nn 1.
设∏（2DK）Nn充分大的偶数在Nn时的等价式为AK个.
可互换的等价式为AK-AK-①个.
那么，Nn 1的近似等价式为：（AK-AK-①）×（K ①）-AK.
由于AKAK-①，素因子的K值不断地加大，
所以，（AK-AK-①）×（K ①）AK.
根据前面的大量数据罗列，通过一步步地分析，至此，结论是：
在加全偶数的过程中，要依次筛除素因子，被筛除的合数要出现断档位，而断档位又靠增加的等价式来替代，所能替代的等价式是随其偶数的加大是增加的，等价式增加的原因是有可互换的等价式，可互换等价式的增加是来自Q集合的元素的大量增加.因此，当偶数充分大时，与它相等的素数对就会越多.
这样，我们最后要筛除哥德巴赫的担心，得出确切的定论.
证毕.
问题的提出;大于4的偶数，均可等于两个素数之和.
哥德巴赫所担心的问题是：当一个偶数充分大时，是否还会不会有充分大的两个素数之和用来等于该偶数.
实际上，担心是没有必要的，可以肯定地说，当一个偶数越大时，而与其该偶数相等的素数对就会越多.
例：偶数210=199 11=197 13=193 17=191 19=181 29=179 31=173 37=167 43=163
47=157 53=151 59=149 61=139 71=137 73=131 79=127 83=113 97=109 101=107 103.
共计有19对.
由于我们掌握了素数的规律性，给其猜想的证明就容易多了.下面就详尽地、分步地来进行分析证明.
分析一 一个奇素数的集合，用该集合中的每一个元素，分别与奇素数的集合相加，能够加全一切大于4的偶数.那么，问题就得以解决.运用的这一方法，叫加全法则.
当用最小素数3与其大于等于3的奇数序列相加，得3 （2N 3）.
N为包括零在内的正整数序列.依次取值，显然就加全了大于4的全部偶数，称其为一次加全.
为了以后叙述方便，给N加注一个小脚标.一次加全应写成：3 （2N1 3）.
第一步，要筛除3与含3因子的合数.
3 （2×3N2 3），显然不合猜想的要求，但我们可找出替代它的等价式.
即5 （2×3N2 7）
7 （2×3N2 5）
也就是说，筛除一个3因子却得到了两个可替代的等价式.
列出全部的算式，即：
3 （2×3N2 5）……①
3 （2×3N2 7）……②
5 （2×3N2 5）……③
5 （2×3N2 7）……④
7 （2×3N2 5）……⑤
7 （2×3N2 7）……⑥
这6个算式，又可加全大于6的全部偶数，称其为二次加全.
式中②、③两式等价， ④、⑤两式等价， ①、⑥两式等价.
分析二 筛除一个3因子，有了两个等价式.筛除5因子时，还会增加等价式吗？若在筛除的素因子不断增大时，而替代它的等价式会大增，这样就可把猜想变为确定.
为了清晰明了，必须罗列大量算式，而从其数据中寻求等价式增多的原因.
以二次加全的①～⑥式为基础，进行三次加全.
取N2=1～5这一节取是为了由6N2向30N3过渡.
取N2=6～10这一节取是为了补充漏掉的等价式.
依据①～⑥算式：当N2=1～10时，
由6N2过渡到30N3，需要筛除5因子.
那么，三次偶数加全算式为：
（10） 3 30N3 7
（12） 5 30N3 7
（14） 3 30N3 11=7 30N3 7
（16） 3 30N3 13=5 30N3 11
（18） 5 30N3 13=7 30N3 11=11 30N3 7
（20） 3 30N3 17=7 30N3 13=13 30N3 7
（22） 3 30N3 19=5 30N3 17=11 30N3 11
（24） 5 30N3 19=7 30N3 17=11 30N3 13=13 30N3 11=17 30N3 7
（26） 3 30N3 23=7 30N3 19=13 30N3 13=19 30N3 7
（28） 5 30N3 23=11 30N3 17=17 30N3 11
（30） 7 30N3 23=11 30N3 19=13 30N3 17=17 30N3 13=19 30N3 11=23 30N3 7
（32） 3 30N3 29=13 30N3 19=19 30N3 13
（34） 3 30N3 31=5 30N3 29=11 30N3 23=17 30N3 17=23 30N3 11
（36） 5 30N3 31=7 30N3 29=13 30N3 23=17 30N3 19=19 30N3 17=
23 30N3 13=29 30N3 7
（38） 7 30N3 31=19 30N3 19=31 30N3 7
（40） 3 30N3 37=11 30N3 29=17 30N3 23=23 30N3 17=29 30N3 11
（42） 5 30N3 37=11 30N3 31=13 30N3 29=19 30N3 23=23 30N3 19=29 30N3 13=31 30N3 11
（44） 3 30N3 41=7 30N3 37=13 30N3 31=31 30N3 13=37 30N3 7
至此，大于8的全部偶数三次加全完成，而且偶数大于16后，等价式不少于3个.
（46） 3 30N3 43=5 30N3 41=17 30N3 29=23 30N3 23=29 30N3 17
（48） 5 30N3 43=7 30N3 41=11 30N3 37=17 30N3 31=19 30N3 29=29 30N3 19=31 30N3 17=37 30N3 11=41 30N3 7
（50） 3 30N3 47=7 30N3 43=13 30N3 37=19 30N3 31=31 30N3 19=37 30N3 13=43 30N3 7 （52） 3 30N3 （49）=5 30N347=11 30N3 41=23 30N3 29=29 30N3 23=41 30N3 11
（54） 5 30N3 （49）=7 30N3 47=11 30N3 43=13 30N3 41=17 30N3 37=23 30N 31=31 30N3 23=37 30N3 17=41 30N3 13=43 30N3 11=47 30N3 7
（56） 3 30N3 53=7 30N3 （49）=13 30N3 43=19 30N3 37=37 30N3 19=43 30N3 13=（49） 30N3 7
（58） 5 30N3 53=11 30N3 47=17 30N3 41=29 30N3 29=41 30N3 17=47 30N3 11
（60） 7 30N3 53=11 30N3 （49）=13 30N3 47=17 30N3 43=19 30N3 41=23 30N3 37=29 30N33 31=31 30N3 29=37 30N3 23=41 30N3 19=43 30N3 17=47 30N3 13=（49） 30N3 11=53 30N3 7
（62） 3 30N359=13 30N3 （49）=19 30N3 43=31 30N3 31=43 30N3 19=
（49） 30N3 13
（64） 3 30N3 61=5 30N3 59=11 30N3 53=17 30N3 47=41 30N3 23=47 30N3 17=53 30N3 11
（66） 5 30N3 61=7 30N3 59=13 30N3 53=17 30N3 （49）=19 30N3 47=23 30N3 43=29 30N3 37=37 30N3 29=43 30N3 23=47 30N319=（49） 30N3 17=53 30N3 13=59 30N3 7
（68）7 30N3 61=19 30N3 （49）=31 30N3 37=37 30N3 31=（49） 30N3 19=61 30N3 7
（70）3 30N3 67=11 30N3 59=17 30N3 53=23 30N3 47=29 30N3 41=41 30N3 29=47 30N3 23=53 30N3 17=59 30N3 11
（72）5 30N3 67=11 30N3 61=13 30N3 59=19 30N3 53=23 30N3 （49）=29 30N3 43=31 30N3 41=41 30N3 31=43 30N3 29=（49） 30N3 23=53 30N3 19=59 30N3 13=61 30N3 11
注：括号中的数值是未被筛除的合数，作为近似素数保留.
说明：7 30N3 13=13 30N3 7称为互换等价式，为下一步求取更多的等价式打基础.如当N3取1时，7 43=13 37.互换的可行原则，被筛除素数不可互换.
通过以上大量数据的列出，只为找出偶数增大时，等价式增多的规律.
从6N2向30N3过渡中，等价式在未被筛除5因子时，它的个数是随N2的取值增大而增加的.由于Q2集合中只有{5，7}这两个元素，因此，在①、⑥两式中，可互换的只有7;在②、③两式中，可互换的只有5;在④、⑤两式中，可互换的是5与7.
分析三 从一个连续乘积节向下一个连续乘积节过渡时，求取出的等价式，增多的原因，是有了可互换的等价式.在乘积节增大后，可互换的等价式若能大量增加，问题便可解决.
为说明这一点，还需罗列数据.由30N3乘积节向210N4乘积节过渡中，偶数应大于等于3 30 7=40，因为在30N3中，10与40是等价的，依次到38与68是等价的.在偶数40～72里，只有44、46的等价式最少，是5个，可互换的等价式有3个.
那么，我们就以44为例.由于Q3集合元素有了8个，使其在7～37范围内，可互换的等价式增加.并且偶数大于等于40后，可互换的等价式不少于3个.
例：（44） 3 30N3 41=7 30N3 37=13 30N3 31=31 30N3 13=37 30N3 7
当N3=1时，写成草算式：74=3 71=7 67=13 61=31 43=37 37=43 31=61 13=67 7.
从44的5个等价式，到74就增加了3个，增加的3个可互换等价式，就是Q3集合中的（7，13，31）这三个元素.所以N3取值大一个，就会多出3个等价式.接下来继续推演（略）.
当N3=7时，由44的5个等价式，到254就增加了3×7=21个.254总共等价式为5 21=26个.
由于N3=7已经过渡到210N4，必须筛除7与含7因子的合数.
因为44有5个等价式，产生7与7因子的合数最多是5个，再加上互换中的最多5个互换，那么，应被筛除的等价式不超过2×5=10个.实际254中仅有7个.
即254近似到Q4时的等价式是26-7=19个.
列出正规式：（254）
3 210N4 251=7 210N4 [247]=13 210N4 241=31 210N4 223=43 210N4 211=
61 210N4 193=67 210N4 [187]=73 210N4 181=97 210N4 157=103 210N4 151=
127 210N4 127=151 210N4 103=157 210N4 97=181 210N4 73=[187] 210N4 67= 193 210N4 61=211 210N4 43=223 210N4 31=241 210N4 13.
由210 13=223，那么254的等价式中，小于223的可互换等价式增到了15个.这是因为Q3集合有48个元素，又因为Q3的值域为[11～211]，因此，Q集合元素的剧增，使其可互换的等价式大增.
不妨再简述一下，以254为基础，由N4向N5的过渡状况.
N4的取值为1～11，当N4=11时，已步入到N5.
其等价式为19 15×11=184个.
而最多需筛除11与11因子的合数为19×2=38个.
那么2310 254=2564时，其等价式最少应有184-38=146个.
再以2564为基础，简述由N5向N6的过渡状况.
N5的取值为1～13，当N5=13时，已步入到N6.
2564的等价式不少于146个，可互换的等价式不少于146-19=127个.
其等价式不少于146 127×13-2×146=1505个.
即∏（2D13） 2564=30030 2564=32594这么大的偶数时，不含有3～13的素因子的近似等价式有不少于1505个
……
当由∏（2DK）Nn向∏[2D（K ①）]Nn 1过渡时，
Nn的取值为1～（K ①），当Nn=K ①时，已步入Nn 1.
设∏（2DK）Nn充分大的偶数在Nn时的等价式为AK个.
可互换的等价式为AK-AK-①个.
那么，Nn 1的近似等价式为：（AK-AK-①）×（K ①）-AK.
由于AKAK-①，素因子的K值不断地加大，
所以，（AK-AK-①）×（K ①）AK.
根据前面的大量数据罗列，通过一步步地分析，至此，结论是：
在加全偶数的过程中，要依次筛除素因子，被筛除的合数要出现断档位，而断档位又靠增加的等价式来替代，所能替代的等价式是随其偶数的加大是增加的，等价式增加的原因是有可互换的等价式，可互换等价式的增加是来自Q集合的元素的大量增加.因此，当偶数充分大时，与它相等的素数对就会越多.
这样，我们最后要筛除哥德巴赫的担心，得出确切的定论.
证毕.