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学校进行课堂教学的课例研究，肖立山老师执教了苏教版四年级上册的《射线、直线、角》一课，肖老师诙谐、幽默的语言风格，增强了数学课堂的亲和力，尤其是一些教学细节的恰当处理，让概念教学更细腻、更精致。让我们一起来分享其中的一些教学片断。
[教学片断一]
师：如果我们把线段的一端无限地延长，就得到了一条射线。(动画演示：线段一端隐去端点，并“无限”延伸至屏幕边)
师：谁能说说射线的特点。
生1：射线是直的，有一个端点。
生2：射线只有一个端点，另一端可以一直画下去。
生3：射线是无限长的。
师：是的，没有端点的这一头可以一直画下去，闭上眼睛、大胆地想象一下，能画到哪儿？
（生闭眼想象后交流）
生1：画出了屏幕，画到了黑板上。
生2：一直画到黑板边，还可以继续画，画出教室。
生3：直直地画下去，可以画到山西路，再继续画，画到很远很远。
生4：只要不拐弯，笔直笔直地画下去，画无限长。
师：说得真好，不拐弯、笔直的、无限长!
……
[赏析一]从感知到想象
学生在第一学段已经认识了线段，知道线段的长度是有限的，可以用尺度量。肖老师以线段为新知识的生长点来教学射线尊重了学生的数学现实。
然后肖老师首先从形象感知入手。多媒体演示一幅美丽的夜景图里有许多灯光，这些灯光各自从一点出发向天空射去，射得很远很远。这些灯射出的光线都可以看作射线。让学生形象地感受射线的特征——向一端无限地延长。
在学生对射线有了形象感知以后，继续引导他们观察数学现象，从数学的角度认识射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。
而小学生理解“无限延长”往往有些困难，为了突破难点，肖老师很好地利用了“想象”——“闭上眼睛、大胆地想象一下，能画哪儿？”从感知到想象，从有限到无限，这样设计符合儿童的认知规律。学生通过想象，充分体会了“不拐弯、笔直的、无限长”，突出了射线直而无限长的特点。
[教学片断二]
师：谁上来画一条射线？
一生板演。
师：他画的对吗？
生齐：对!
师：奇怪，你们不是说射线无限长吗？我怎么只看到黑板上这么一段，你们是怎么表示无限长的。
生1：射线虽然无限长，但我们是不可能画出无限长的，只能画出一部分。
生2：我们用一个端点表示从这儿开始，而另外一边没有端点，表示可以画得无限长。
生3：我们用一头没有端点表示射线可以无限延伸。
……
[赏析二]从形式定义到意象表征
得出了射线的定义──“把线段的一端无限延长，得到一条射线”，但这仅仅是形式定义。认知心理学家罗斯认为，记忆中的种种概念，是以这些概念的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或一系列相关特征来表示的。例如，我们讲到“射线”，可能在人的意识中首先是一个直观的图形，而并非其形式定义。由此可以知道概念的一些典型性范例在人们认识中发挥着极其重要的作用。学生头脑中概念的典型性范例常常被称为概念的意象表征或心理表征。
肖老师在让学生画射线后，有意地设置问题：“奇怪，你们不是说射线无限长吗？……你们是怎么表示无限长的？”从而将概念的典型性范例与形式定义有机地结合起来教学，帮助学生建立正确的意象表征，使概念教学具有了形象直观的表征意义，减小了学生理解和记忆概念的难度。
[教学片断三]
（学生画完角后交流）
师：我们看看这个同学画的图形，一条边长，一条边短的，这也是角吗？
■
生1：是的，它也是从一点起画了两条射线，组成的这个图形是角。
生2：角跟边的长短是没有关系的。
生3：这两条是射线，可以画长一些，也可以画短一些，不影响角。
……
师：那这个也是角吗？
■
生1：这也是角，只是方向变了。
生2：是不是角，我们只要看它是不是从一个点画出了两条射线，边画得长短、方向都没有关系的。
……
[赏析三]从语意分析到概念形成
我们得承认，在很多时候，“一个定义、三项注意”式的数学概念教学方式依然比较普遍，原因在于教师把概念仅仅作为孤立的知识点加以教学，为教概念而教概念。显然，肖老师的目标不是单纯地弄清概念的定义、记忆概念的定义，而是通过变式，让学生在“角”的各种表现形式中认识“角”的本质属性，从而促进概念的形成，使概念的理解更为深刻、概括。
小学生学习新的数学知识，形成抽象的数学概念，绝不是一次完成的，而是要经历复杂的认识过程。在感性向理性的抽象思维活动中，肖老师除了提供“常态标准”的角，还注意提供“非标准”(变换角的非本质属性，本质属性恒常)的角，这样充分、全面的变式提供，才可能让学生从具体到抽象的概括是完善的逻辑思维活动，形成的概念才可能是深刻和概括的。
[教学片断四]
师：静静地想一想线段、射线、直线、角的特征，你能说说它们的联系吗？
生1：它们是有联系的，线段的一端无限延长就得到了射线；线段的两端无限延长，就得到了直线；从一个点画出两条射线，就组成了一个角。
生2：它们都是图形，有相同的地方，也有不同点。
……
[赏析四]从单一概念到认知网络的建立
射线、直线、线段、角是四种不同的几何图形，也是不同的概念。教学中，在认识角以后再次分析、比较这四种图形间的联系，能促进学生更好地理解这几种图形的本质特征。
相反地，如果学生没有建立起线段、射线、直线、角的联系，那么他们还只是停留在对单一概念的简单分析阶段，而数学概念的理解，往往涉及与之有着逻辑联系的相关概念和有着非逻辑联系的概念。每一个概念都是认知网络结构中的一员，对它理解的深刻与否，除了取决于对内部图式结构的认识外，很大程度上取决于它与相关知识的联系的多少与强弱。把这些平面图形联系起来进行分析、比较，建立线性的、非线性的联系，既有利于学生对每一概念的理解，也有利于建立系统的认知网络。
[引发思考]
1.概念教学应在数学活动中进行
数学概念的理解应是多维度的、多因素的，它的学习过程应该是一个主体的探究过程。
心理学的研究表明，学生数学概念的获得首先有一个心理表征的建构过程。但是概念的心理表征并非是一张“心理照片”，而是主体对独特类型神经活动的体验时所产生的一些“可建构性”的神经事件。因此，在数学概念教学中，应当充分调动学生头脑中相关的知识经验，促使学生主动参与对常识材料进行探幽入微的探究性活动，在探究中丰富自发性概念向科学概念发展过程中的体验，从而把握概念的本质特征，构建概念的“恰当的”心理表征。
2.要关注概念的数学化过程
教学中，要创设问题情境，引导学生对常识材料进行观察、思考，并借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的加工，从中舍弃材料的现实意义，仅保留数量上或空间上的形式结构方面的信息，由“素朴的直观”构建“精致的抽象”。可见，数学概念的形成过程是一个数学化的过程。
在概念学习过程中学习数学化，重在意义建构，重在数学化过程。这也就是我们常说的数学课堂的“数学味”。
3.在体系中掌握概念
掌握概念就是掌握同类事物的共同本质属性，这就需要用联系的方法，把概念放到一定的体系中去考查、认识。而这个体系结构，一方面是指客体的知识体系结构，另一方面是指主体的认知结构。教学时，应从整个教学知识结构体系去把握概念，即把概念的来龙去脉搞清楚，把它的逻辑链弄清楚。
教师要充分发挥自身的能动性与创造性，理性而深刻地把握教学内容，可以向前追溯这一概念的生活经验与知识经验有哪些，向后思索这一内容的数学意义是什么，在学科体系中的地位、价值又如何，蕴含了怎样的数学思想方法，体现了怎样的数学精神，等等。只有这样，学生才能在深刻理解概念的同时，获得全面的发展。
（责任编辑：李雪虹）
[教学片断一]
师：如果我们把线段的一端无限地延长，就得到了一条射线。(动画演示：线段一端隐去端点，并“无限”延伸至屏幕边)
师：谁能说说射线的特点。
生1：射线是直的，有一个端点。
生2：射线只有一个端点，另一端可以一直画下去。
生3：射线是无限长的。
师：是的，没有端点的这一头可以一直画下去，闭上眼睛、大胆地想象一下，能画到哪儿？
（生闭眼想象后交流）
生1：画出了屏幕，画到了黑板上。
生2：一直画到黑板边，还可以继续画，画出教室。
生3：直直地画下去，可以画到山西路，再继续画，画到很远很远。
生4：只要不拐弯，笔直笔直地画下去，画无限长。
师：说得真好，不拐弯、笔直的、无限长!
……
[赏析一]从感知到想象
学生在第一学段已经认识了线段，知道线段的长度是有限的，可以用尺度量。肖老师以线段为新知识的生长点来教学射线尊重了学生的数学现实。
然后肖老师首先从形象感知入手。多媒体演示一幅美丽的夜景图里有许多灯光，这些灯光各自从一点出发向天空射去，射得很远很远。这些灯射出的光线都可以看作射线。让学生形象地感受射线的特征——向一端无限地延长。
在学生对射线有了形象感知以后，继续引导他们观察数学现象，从数学的角度认识射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。
而小学生理解“无限延长”往往有些困难，为了突破难点，肖老师很好地利用了“想象”——“闭上眼睛、大胆地想象一下，能画哪儿？”从感知到想象，从有限到无限，这样设计符合儿童的认知规律。学生通过想象，充分体会了“不拐弯、笔直的、无限长”，突出了射线直而无限长的特点。
[教学片断二]
师：谁上来画一条射线？
一生板演。
师：他画的对吗？
生齐：对!
师：奇怪，你们不是说射线无限长吗？我怎么只看到黑板上这么一段，你们是怎么表示无限长的。
生1：射线虽然无限长，但我们是不可能画出无限长的，只能画出一部分。
生2：我们用一个端点表示从这儿开始，而另外一边没有端点，表示可以画得无限长。
生3：我们用一头没有端点表示射线可以无限延伸。
……
[赏析二]从形式定义到意象表征
得出了射线的定义──“把线段的一端无限延长，得到一条射线”，但这仅仅是形式定义。认知心理学家罗斯认为，记忆中的种种概念，是以这些概念的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或一系列相关特征来表示的。例如，我们讲到“射线”，可能在人的意识中首先是一个直观的图形，而并非其形式定义。由此可以知道概念的一些典型性范例在人们认识中发挥着极其重要的作用。学生头脑中概念的典型性范例常常被称为概念的意象表征或心理表征。
肖老师在让学生画射线后，有意地设置问题：“奇怪，你们不是说射线无限长吗？……你们是怎么表示无限长的？”从而将概念的典型性范例与形式定义有机地结合起来教学，帮助学生建立正确的意象表征，使概念教学具有了形象直观的表征意义，减小了学生理解和记忆概念的难度。
[教学片断三]
（学生画完角后交流）
师：我们看看这个同学画的图形，一条边长，一条边短的，这也是角吗？
■
生1：是的，它也是从一点起画了两条射线，组成的这个图形是角。
生2：角跟边的长短是没有关系的。
生3：这两条是射线，可以画长一些，也可以画短一些，不影响角。
……
师：那这个也是角吗？
■
生1：这也是角，只是方向变了。
生2：是不是角，我们只要看它是不是从一个点画出了两条射线，边画得长短、方向都没有关系的。
……
[赏析三]从语意分析到概念形成
我们得承认，在很多时候，“一个定义、三项注意”式的数学概念教学方式依然比较普遍，原因在于教师把概念仅仅作为孤立的知识点加以教学，为教概念而教概念。显然，肖老师的目标不是单纯地弄清概念的定义、记忆概念的定义，而是通过变式，让学生在“角”的各种表现形式中认识“角”的本质属性，从而促进概念的形成，使概念的理解更为深刻、概括。
小学生学习新的数学知识，形成抽象的数学概念，绝不是一次完成的，而是要经历复杂的认识过程。在感性向理性的抽象思维活动中，肖老师除了提供“常态标准”的角，还注意提供“非标准”(变换角的非本质属性，本质属性恒常)的角，这样充分、全面的变式提供，才可能让学生从具体到抽象的概括是完善的逻辑思维活动，形成的概念才可能是深刻和概括的。
[教学片断四]
师：静静地想一想线段、射线、直线、角的特征，你能说说它们的联系吗？
生1：它们是有联系的，线段的一端无限延长就得到了射线；线段的两端无限延长，就得到了直线；从一个点画出两条射线，就组成了一个角。
生2：它们都是图形，有相同的地方，也有不同点。
……
[赏析四]从单一概念到认知网络的建立
射线、直线、线段、角是四种不同的几何图形，也是不同的概念。教学中，在认识角以后再次分析、比较这四种图形间的联系，能促进学生更好地理解这几种图形的本质特征。
相反地，如果学生没有建立起线段、射线、直线、角的联系，那么他们还只是停留在对单一概念的简单分析阶段，而数学概念的理解，往往涉及与之有着逻辑联系的相关概念和有着非逻辑联系的概念。每一个概念都是认知网络结构中的一员，对它理解的深刻与否，除了取决于对内部图式结构的认识外，很大程度上取决于它与相关知识的联系的多少与强弱。把这些平面图形联系起来进行分析、比较，建立线性的、非线性的联系，既有利于学生对每一概念的理解，也有利于建立系统的认知网络。
[引发思考]
1.概念教学应在数学活动中进行
数学概念的理解应是多维度的、多因素的，它的学习过程应该是一个主体的探究过程。
心理学的研究表明，学生数学概念的获得首先有一个心理表征的建构过程。但是概念的心理表征并非是一张“心理照片”，而是主体对独特类型神经活动的体验时所产生的一些“可建构性”的神经事件。因此，在数学概念教学中，应当充分调动学生头脑中相关的知识经验，促使学生主动参与对常识材料进行探幽入微的探究性活动，在探究中丰富自发性概念向科学概念发展过程中的体验，从而把握概念的本质特征，构建概念的“恰当的”心理表征。
2.要关注概念的数学化过程
教学中，要创设问题情境，引导学生对常识材料进行观察、思考，并借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的加工，从中舍弃材料的现实意义，仅保留数量上或空间上的形式结构方面的信息，由“素朴的直观”构建“精致的抽象”。可见，数学概念的形成过程是一个数学化的过程。
在概念学习过程中学习数学化，重在意义建构，重在数学化过程。这也就是我们常说的数学课堂的“数学味”。
3.在体系中掌握概念
掌握概念就是掌握同类事物的共同本质属性，这就需要用联系的方法，把概念放到一定的体系中去考查、认识。而这个体系结构，一方面是指客体的知识体系结构，另一方面是指主体的认知结构。教学时，应从整个教学知识结构体系去把握概念，即把概念的来龙去脉搞清楚，把它的逻辑链弄清楚。
教师要充分发挥自身的能动性与创造性，理性而深刻地把握教学内容，可以向前追溯这一概念的生活经验与知识经验有哪些，向后思索这一内容的数学意义是什么，在学科体系中的地位、价值又如何，蕴含了怎样的数学思想方法，体现了怎样的数学精神，等等。只有这样，学生才能在深刻理解概念的同时，获得全面的发展。
（责任编辑：李雪虹）