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摘 要：在高等数学的学习当中，不定积分的计算是非常重要的内容。但是好多初学者见到不定积分的题，没有思路，遇到不知道用哪一个积分方法，本文把不定积分的求法做一个总结，希望对初学者有一定帮助。
关键词：凑微分;分部积分
在高等数学的学习当中，导数和不定积分是非常重要的内容。相对于导数而言不定积分的计算难度更大一些，方法更灵活一些。原因在于不定积分的方法很多，而且有的题目需要将各种方法结合使用，因此有一定的难度。
1 直接积分法
一些简单的不定积分题目，被积函数是基本初等函数，或者可以经过化简成基本初等函数，结合不定积分的性质和基本积分公式，可以求出它们的不定积分。
例1：求不定积分（x2-1x-1-cosx+11+x2）dx。
解：被积函数含有-cosx和11+x2，可以直接积出来，x2-1x-1化简成x+1后也可以直接用基本积分公式。原式=（x+1-cosx+11+x2）dx=x22+x-sinx+arctanx+C。
例2：求不定积分x41+x2dx。
解：不能直接用公式，但是可以先化简一下，x41+x2=x4-1+11+x2=x2-1+11+x2，原式=x41+x2dx=x4-1+11+x2dx=（x2-1+11+x2）dx=x33-x+arctanx+C。
从上面两个例题可以看出，利用基本积分公式和性质可以求一些简单函数的积分，对于比较复杂的函数比如复合函数我们就需要掌握一些积分的方法。
2 第一換元积分法（凑微分法）
定理1：若f（u）=F（u）+C，u=φ（x）具有连续导数，则f[φ（x）]dφ（x）=F[φ（x）]+C。
此公式称为第一换元积分公式，利用第一换元积分公式称为第一换元积分法。此种方法关键是要凑出φ（x），因此也称为“凑微分法”。
例3：求不定积分e3xdx。
解：基本公式exdx=ex+C，但e3xdx=e3x+C，答案是错的，因为（e3x）′=3e3xe3xdx=13e3x（3x）′dx=13e3xd3x令3x=u13eudu=13eu+C把u=3x带回13e3x+C。
例4：求不定积分cotxdx。
解：无法直接套用基本公式，在被积函数中凑微分cotx=cosxsinx，把cosx凑进去，cosxdx=（sinx）′dx=dsinx，cotxdx=cosxsinxdx=1sinxdsinx，令sinx=u，原式=1udu=lnu+C，把u=sinx=u带回，原式=lnsinx+C。
例5：求不定积分（arctanx）121+x2dx。
解：不能直接，需要凑微分。
11+x2dx=darctanx，原式=（arctanx）12darctanx，令arctanx=t，原式=t12dt=23t32+C，把arctanx=t带回，原式=23（arctanx）32+C。
3 第二换元积分法
定理2：设x=φ（t）是单调可微函数，且φ′（t）≠0，令x=φ（t），则f（x）dx=f[φ（t）]dφ（t）=f[φ（t）]φ′（t）dt=G（t）+C=G（φ-1（x））+C，此公式称为第二换元积分公式，利用第二换元积分公式称为第二换元积分法。
（1）当被积函数含有一次函数时，即ax+b时，可用根式代换。令ax+b=t，则x=t2-ba，dx=2tadt，可以达到去掉根号的目的。
例6：求不定积分xx+1dx。
解：令x+1=t，则x=t2-1，dx=2tdt，xx+1dx=（t2-1）×t×2tdt=2（t4-t2）dt=2t55-2t33+C，把x+1=t代回，原式=25（x+1）52-23（x+1）32+C。
例7：求不定积分1x（1+3x）dx。
解：被积函数中含有两个根式x，3x。如果令x=t，那么3x=x13=（x12）23=t23=3t2，达不到去掉根式的目的，同样令3x=t也一样。
2和3的最小公倍数是6，令6x=t，那么x=t6，dx=6t5dtx=（x16）3=t3，3x=（x16）2=t2。原式=6t5t3（1+t2）dt=6t21+t2dt=6（1-11+t2）dt=6（t-arctant）+C=6（6x-arctan6x）+C。
（2）对于任意的x，有a2sin2x+a2cos2x=a2，a2+a2tan2x=a2sec2x，a2sec2x-a2=a2tan2x，当被积函数含有a2-x2，a2+x2，x2-a2时，可以利用三角函数达到去掉根号的目的。
例8：求不定积分1-x2dx。
解：令x=sint，dx=costdt，原式=1-sin2t×costdt=cos2tdt=1+cos2t2dt=12（t+12sin2t）+C，t=arcsinx，sin2t=2sintcost，原式=12（arcsinx+x1-x2）+C。 例9：求不定积分1（a2+x2）2dx。
解：令x=atant，dx=asec2xdx，原式=asec2ta4sec4tdt=1a31sec2tdt=cos2tdt=12a3（1+cos2t）dt=12a3（t+12sin2t）+C，t=arctanxa，sint=xa2+x2，cost=aa2+x2，原式=12a3（arctanxa+xa2+x2×aa2+x2）+C=12a3（arctanxa+axa2+x2）+C。
例10：求不定积分x2-1xdx。
解：令x=sect，dx=sect×tantdt，原式=sec2t-1sect×sect×tantdt=tan2tdt（sec2t-1）dt=tant-t+C，把tant=x2-1，t=arccos1x带回，原式=x2-1-arccos1x+C。
例5、例6、例7给出的代换称为三角代换，它是第二换元法的一种特殊代换，应用于以下题型：
R（x，a2-x2）dx，可令x=asint，dx=acostdt;
R（x，a2+x2）dx，可令x=atant，dx=asec2tdt;
R（x，x2-a2）dx，可令x=asect，dx=asecttantdt。
4 分部积分法
d（uv）=udv+vdu，变形udv=d（uv）-vdu，对两边同时积分得到：udv=uv-vdu，此公式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法。
例11：求不定积分x2lnxdx。
解：x2lnxdx=13lnxdx3=13（lnx×x3-x3dlnx）=13（lnx×x3-x2dx）=13（lnx×x3-13x3）+C。
例12：求不定積分xe3xdx。
解：原式=13xe3xd3x=13xde3x=13（xe3x-e3xdx）=13（xe3x-13e3x）+C。
例13：求不定积分xarctandx。
解：原式=12arctanxdx2=12（arctanx×x2-x2darctanx
=12（arctanx×x2-x21+x2dx）12[arctanx×x2
-x2+1-11+x2dx）
=12[arctanx×x2-（1-11+x2dx）]=12（arctanx×
x2-x+arctanx）+C。
选择u和v规律总结如下：
（1）形如xnsinkxdx，xncoskxdx，xnekxdx的不定积分，选xn作u，余下的部分凑成dv;
（2）形如xnlnxdx，xnarctanxdx，xnarcsinxdx的不定积分，选xndx凑成dv，余下的部分作u;
（3）形如eaxsinbxdx，eaxcosbxdx的不定积分，可任意选择u和dv，要注意多次使用分部积分时要保持一致。
例14：求excosxdx。
解：excosxdx=cosxdex=excosx-exdcosx=excosx+exsinxdx=excosx+sinxdexexcosx+exsinx-exdsinx=ex（cosx+sinx）-excosxdx，移项，2excosxdx=ex（cosx+sinx）+C1，∴excosxdx=ex2（cosx+sinx）+C。
5 有理函数的积分
例15：求不定积分3x+4x2+x-6dx。
解：3x+4x2+x-6dx=（1x+3+2x-2）dx=lnx+3+2lnx-2+C。
6 第二换元和分部积分方法的结合使用
例16：求不定积分exdx。
解：令x=t，x=t2，dx=2tdt，原式=et2tdt=2tdet=2（tet-etdt）=2（tet-et）+C，2et（t-1）+C=2ex（x-1）+C。
7 利用倒代换求不定积分
例17：求不定积分1xx4+x2dx。
解：原式=12dx2x2x4+x2令x2=u，原式=12duuu2+u，令u=1t，原式=12-1t21t1t2+1tdt=-1211+tdt=-（1+t）12+C=-（1+1x2）12+C=-x2+1x+C。
8 结语
不定积分的计算方法很多，有些题目需要将不同方法融合起来。初学者一定要多加练习，总结解题规律，做到举一反三，融会贯通。
参考文献：
[1]陈立莉.不定积分的几种计算方法.科技经济导刊，2019，27（10）：167168.
[2]王艳萍，林永.不定积分的计算.阴山学刊，2018，4：3438.
[3]黄娟霞.不定积分的五种计算方法.通化示范学院学报，2017，5：3436。
[4]朱小飞.几种常见的不定积分的计算方法.产业与科技论坛，2020，19（9）：5657.
[5]安莹.论数学教学中求初等函数不定积分的方法.山东商业职业技术学院学报，2019，4：5962.
关键词：凑微分;分部积分
在高等数学的学习当中，导数和不定积分是非常重要的内容。相对于导数而言不定积分的计算难度更大一些，方法更灵活一些。原因在于不定积分的方法很多，而且有的题目需要将各种方法结合使用，因此有一定的难度。
1 直接积分法
一些简单的不定积分题目，被积函数是基本初等函数，或者可以经过化简成基本初等函数，结合不定积分的性质和基本积分公式，可以求出它们的不定积分。
例1：求不定积分（x2-1x-1-cosx+11+x2）dx。
解：被积函数含有-cosx和11+x2，可以直接积出来，x2-1x-1化简成x+1后也可以直接用基本积分公式。原式=（x+1-cosx+11+x2）dx=x22+x-sinx+arctanx+C。
例2：求不定积分x41+x2dx。
解：不能直接用公式，但是可以先化简一下，x41+x2=x4-1+11+x2=x2-1+11+x2，原式=x41+x2dx=x4-1+11+x2dx=（x2-1+11+x2）dx=x33-x+arctanx+C。
从上面两个例题可以看出，利用基本积分公式和性质可以求一些简单函数的积分，对于比较复杂的函数比如复合函数我们就需要掌握一些积分的方法。
2 第一換元积分法（凑微分法）
定理1：若f（u）=F（u）+C，u=φ（x）具有连续导数，则f[φ（x）]dφ（x）=F[φ（x）]+C。
此公式称为第一换元积分公式，利用第一换元积分公式称为第一换元积分法。此种方法关键是要凑出φ（x），因此也称为“凑微分法”。
例3：求不定积分e3xdx。
解：基本公式exdx=ex+C，但e3xdx=e3x+C，答案是错的，因为（e3x）′=3e3xe3xdx=13e3x（3x）′dx=13e3xd3x令3x=u13eudu=13eu+C把u=3x带回13e3x+C。
例4：求不定积分cotxdx。
解：无法直接套用基本公式，在被积函数中凑微分cotx=cosxsinx，把cosx凑进去，cosxdx=（sinx）′dx=dsinx，cotxdx=cosxsinxdx=1sinxdsinx，令sinx=u，原式=1udu=lnu+C，把u=sinx=u带回，原式=lnsinx+C。
例5：求不定积分（arctanx）121+x2dx。
解：不能直接，需要凑微分。
11+x2dx=darctanx，原式=（arctanx）12darctanx，令arctanx=t，原式=t12dt=23t32+C，把arctanx=t带回，原式=23（arctanx）32+C。
3 第二换元积分法
定理2：设x=φ（t）是单调可微函数，且φ′（t）≠0，令x=φ（t），则f（x）dx=f[φ（t）]dφ（t）=f[φ（t）]φ′（t）dt=G（t）+C=G（φ-1（x））+C，此公式称为第二换元积分公式，利用第二换元积分公式称为第二换元积分法。
（1）当被积函数含有一次函数时，即ax+b时，可用根式代换。令ax+b=t，则x=t2-ba，dx=2tadt，可以达到去掉根号的目的。
例6：求不定积分xx+1dx。
解：令x+1=t，则x=t2-1，dx=2tdt，xx+1dx=（t2-1）×t×2tdt=2（t4-t2）dt=2t55-2t33+C，把x+1=t代回，原式=25（x+1）52-23（x+1）32+C。
例7：求不定积分1x（1+3x）dx。
解：被积函数中含有两个根式x，3x。如果令x=t，那么3x=x13=（x12）23=t23=3t2，达不到去掉根式的目的，同样令3x=t也一样。
2和3的最小公倍数是6，令6x=t，那么x=t6，dx=6t5dtx=（x16）3=t3，3x=（x16）2=t2。原式=6t5t3（1+t2）dt=6t21+t2dt=6（1-11+t2）dt=6（t-arctant）+C=6（6x-arctan6x）+C。
（2）对于任意的x，有a2sin2x+a2cos2x=a2，a2+a2tan2x=a2sec2x，a2sec2x-a2=a2tan2x，当被积函数含有a2-x2，a2+x2，x2-a2时，可以利用三角函数达到去掉根号的目的。
例8：求不定积分1-x2dx。
解：令x=sint，dx=costdt，原式=1-sin2t×costdt=cos2tdt=1+cos2t2dt=12（t+12sin2t）+C，t=arcsinx，sin2t=2sintcost，原式=12（arcsinx+x1-x2）+C。 例9：求不定积分1（a2+x2）2dx。
解：令x=atant，dx=asec2xdx，原式=asec2ta4sec4tdt=1a31sec2tdt=cos2tdt=12a3（1+cos2t）dt=12a3（t+12sin2t）+C，t=arctanxa，sint=xa2+x2，cost=aa2+x2，原式=12a3（arctanxa+xa2+x2×aa2+x2）+C=12a3（arctanxa+axa2+x2）+C。
例10：求不定积分x2-1xdx。
解：令x=sect，dx=sect×tantdt，原式=sec2t-1sect×sect×tantdt=tan2tdt（sec2t-1）dt=tant-t+C，把tant=x2-1，t=arccos1x带回，原式=x2-1-arccos1x+C。
例5、例6、例7给出的代换称为三角代换，它是第二换元法的一种特殊代换，应用于以下题型：
R（x，a2-x2）dx，可令x=asint，dx=acostdt;
R（x，a2+x2）dx，可令x=atant，dx=asec2tdt;
R（x，x2-a2）dx，可令x=asect，dx=asecttantdt。
4 分部积分法
d（uv）=udv+vdu，变形udv=d（uv）-vdu，对两边同时积分得到：udv=uv-vdu，此公式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法。
例11：求不定积分x2lnxdx。
解：x2lnxdx=13lnxdx3=13（lnx×x3-x3dlnx）=13（lnx×x3-x2dx）=13（lnx×x3-13x3）+C。
例12：求不定積分xe3xdx。
解：原式=13xe3xd3x=13xde3x=13（xe3x-e3xdx）=13（xe3x-13e3x）+C。
例13：求不定积分xarctandx。
解：原式=12arctanxdx2=12（arctanx×x2-x2darctanx
=12（arctanx×x2-x21+x2dx）12[arctanx×x2
-x2+1-11+x2dx）
=12[arctanx×x2-（1-11+x2dx）]=12（arctanx×
x2-x+arctanx）+C。
选择u和v规律总结如下：
（1）形如xnsinkxdx，xncoskxdx，xnekxdx的不定积分，选xn作u，余下的部分凑成dv;
（2）形如xnlnxdx，xnarctanxdx，xnarcsinxdx的不定积分，选xndx凑成dv，余下的部分作u;
（3）形如eaxsinbxdx，eaxcosbxdx的不定积分，可任意选择u和dv，要注意多次使用分部积分时要保持一致。
例14：求excosxdx。
解：excosxdx=cosxdex=excosx-exdcosx=excosx+exsinxdx=excosx+sinxdexexcosx+exsinx-exdsinx=ex（cosx+sinx）-excosxdx，移项，2excosxdx=ex（cosx+sinx）+C1，∴excosxdx=ex2（cosx+sinx）+C。
5 有理函数的积分
例15：求不定积分3x+4x2+x-6dx。
解：3x+4x2+x-6dx=（1x+3+2x-2）dx=lnx+3+2lnx-2+C。
6 第二换元和分部积分方法的结合使用
例16：求不定积分exdx。
解：令x=t，x=t2，dx=2tdt，原式=et2tdt=2tdet=2（tet-etdt）=2（tet-et）+C，2et（t-1）+C=2ex（x-1）+C。
7 利用倒代换求不定积分
例17：求不定积分1xx4+x2dx。
解：原式=12dx2x2x4+x2令x2=u，原式=12duuu2+u，令u=1t，原式=12-1t21t1t2+1tdt=-1211+tdt=-（1+t）12+C=-（1+1x2）12+C=-x2+1x+C。
8 结语
不定积分的计算方法很多，有些题目需要将不同方法融合起来。初学者一定要多加练习，总结解题规律，做到举一反三，融会贯通。
参考文献：
[1]陈立莉.不定积分的几种计算方法.科技经济导刊，2019，27（10）：167168.
[2]王艳萍，林永.不定积分的计算.阴山学刊，2018，4：3438.
[3]黄娟霞.不定积分的五种计算方法.通化示范学院学报，2017，5：3436。
[4]朱小飞.几种常见的不定积分的计算方法.产业与科技论坛，2020，19（9）：5657.
[5]安莹.论数学教学中求初等函数不定积分的方法.山东商业职业技术学院学报，2019，4：5962.