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案例透视：三角形的面积计算教学“过程缺失”
为了考查过程性目标的落实情况。我们编拟了如下一道关于三角形面积计算的简单问题：
一个三角形的底是6厘米，面积是24平方厘米。它的高是多少厘米?
检测中，我们发现有相当一部分学生无法顺利且正确地解决该问题，要么列式为“24÷6”，要么列式为“24÷2÷6”。据教者反映，他在教学三角形面积计算时曾经多次组织类似练习，但依然有部分学生不能掌握正确的方法。对此，笔者以为，这主要是学生在提取需要逆向思考的三角形面积计算方法时存在着困难或出现了错误。像这样的例子不胜枚举。这就从一个侧面反映了当前小学数学课堂教学仍然存在“过程缺失”的问题。
冷静思考：课堂教学“过程缺失”的形态及其危害
应当承认。目前多数教师已经清晰地认识到，在数学学习活动中应该引导学生自主探究、主动建构，亲身经历知识形成的过程。但是。他们比较熟悉或者能够把握的仍然是“看得见、摸得着”的知识技能目标。例如让学生学会一种运算，能解一类方程，知道一个性质，而对于需要学生亲身经历学习活动才能实现的过程性目标，则普遍感觉有点摸不着边际，认为学生什么“实质性”的东西也没有学到。
在这种思想的左右下，不少教师弱化、压缩甚至削减了知识形成的过程。大抵有这样3种表现：
其一，表现为过程被削减。课中。教师对基础知识、基本原理的教学通常三言两语一笔带过，或者为学生规定详细的解题程序，然后通过大量的模仿练习和强化训练，促使学生快速地熟悉相关的知识与技能，而本应引起高度重视的知识形成过程被忽略了。
其二，表现为过程表面化。在这样的课堂上，“过程”由教师直接讲授或演示，学生的数学学习由原先的“听结果”、“看结果”变成了现在的“听过程”、“看过程”，“过程”在这里仅仅停留于字面意义而已。关注知识形成过程的教学目标貌合神离!
其三。表现为过程不到位。可以说，时下教师已经开始注意引导学生在学习过程中自主建构知识、训练技能，但又经常忽视引导学生积累必要的数学活动经验，体验知识和技能背后所蕴含的数学思想方法。
众所周知，数学教材承载的是数学知识的逻辑体系，而诸如数学对象的抽象过程、数学思维的活动过程等内容则基本上被掩盖或省略了。如果我们仅是照本宣科，不向学生充分展示数学知识的发生、发展过程，不引导学生亲身经历知识的形成过程，那么学生在学习过程中获得的与知识内涵、外延密切相关的信息量就会被大大削减，从而出现知觉不准、分类不清、联系贫乏、记忆痕迹模糊等问题，致使学生在解决问题时遭遇困难。要知道，不让学生经历知识的发生发展过程，事实上是剥夺了学生亲身体验学习过程的机会。其结果必然会大大降低学生学习的质量。影响学生理解知识的深刻程度和洞察学习错误的敏锐程度。所以，“过程缺失”的课堂，从表面上看可能单位时间内的教学容量变大了，练习的密度也变高了，实际教学效果却常常不够理想。
实践策略：着力提高知识形成过程的质量
实践证明，要想提高学生数学学习的质量。使他们能够有效地记忆和顺利地提取数学知识，能够运用所学知识解决简单的实际问题，必须让学生有足够的时间和空间去亲身经历知识形成的过程，明晰知识发生与发展的线索，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。因而。教学中我们要认真分析和还原数学知识的原发现过程与学生的数学思维过程。并使这两个过程协调同步作用，避免数学学习的表面化现象。
一、联系具体情境。丰富背景性经验
心理学研究表明。学生通过对客体的活动建立起对情境的处理方式。是知识学习、技能形成的最根本基础。同时。学生对知识的记忆，是从开始较多依赖于情境逐渐转变为语义记忆的，且信息编码的方式对信息的提取具有很大影响。实践中，我们也发现失去丰富而具体的情境依托，知识的记忆就会变成对字面定义的死记硬背。知识的回忆和应用也必然会产生困难。反之，数学知识一旦获得具体情境的支持，就会变得直观易懂，使人更易于洞察其本质。
从这个意义上说，教学中我们应该为学生提供必需的知识背景以及与该知识密切相关的具体情境，并利用背景的关联性、一致性和情境的生动性、具体性，来引导学生积极参与知识的形成过程，获得丰富的背景性经验，进而在自主探究和主动建构的基础上进行有意义的记忆与理解。这里，我们以三角形面积计算教学为例作些说明：通过创设让学生亲自动手剪贴、拼接三角形，将三角形转化为已学过的平行四边形的情境，使各个操作步骤及其数学含义明确、细致地展示出来。这样，可以让具体的操作情境成为这一知识认知图式中的重要成分，有利于学生更好地回忆三角形面积计算公式及其推导过程，促进与之相关的数学问题顺利解决。所以，对知识的记忆，教学中应该努力让学生做到情境记忆和语义记忆并重。即使随着学生年级的升高而偏重语义记忆。也应该在对情境的不断抽象和概括的基础上进行，使情境成为学生数学学习“回忆链”的“中间站”，切实提高学生数学知识形成过程的质量。
二、重视几何直观。加深记忆的痕迹
所谓几何直观，本文是指利用图形来描述几何或者其他数学问题，探索解决问题的思路或者预测问题的结果。教学实践证明，如果从语言的单一角度去组织和表征信息，学生获得的知识不仅抽象、难懂，还会因为联想强度不足而失去提取该知识的能量，导致回忆失败甚至产生遗忘，而借助几何直观，则可以把复杂的数学问题变得简单明了、形象易懂。
基于此，数学教学尤其是小学数学教学需要注重学生空间与几何的经验。感觉的积累。适度加强几何直观的教学手段。实际教学中，我们可以改进学生数学信息的加工方式，采用数形结合、数与形象相互表示的方法对抽象的数学知识进行编码。为学生提供从多个角度、用不同方法进行信息编码的机会。从而使数学知识所具有的双重表象作用得到充分发挥，在语言记忆和视觉记忆同步作用的基础上，增加学生对数学知识长时记忆痕迹的强度，促进信息正确且顺利地提取。此处，我们也以三角形面积计算教学为例进行说明：在组织学生操作学具的前提下。教师要引导学生借助演示直观平面图形，进一步感悟和理解三角形计算公式及其推导过程，明确各个操作步骤的数学含义，使直观图形融进该知识的认知图式之中，从而促进学生对三角形面积计算公式等知识的记忆和提取。顺利解决与之相关的各种数学问题。需要强调的是，几何直观不仅在“图形与几何”领域知识的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程之中。
三、提供丰富变式，促进深层次理解
研究表明。对知识的教学，如果，日借助特殊的、单一的、复制性的背景。那么学生获得的“标准样式”知识将缺少活力，一旦背景发生变化，知识的表征和问题的 解决就会发生困难，同时还会削弱学生的推理能力，影响学生思维能力的发展和学习质量的提高。从这个意义上说，要使学生深刻理解知识，并不是要让他们学习更多更难的内容，而是要让他们掌握知识本质特征的不同表述方式，即能够用等值语言对信息进行编码，对同一数学对象给出不同的表示，建立起知识的多元联系，并在背景变化中应用数学知识，促进学生对已有知识的理解进行修正。
从这个角度说。数学教学应该改变数学研究对象的形状、大小、方向等非本质属性，为学生提供凸显知识本质属性的丰富变式，促进学生对知识形成多角度的理解，增强他们数学思维的灵活性与可逆性，从而使他们在面临问题时能够更加容易地激活知识，顺利地解决问题。为了突出问题的针对性。仍以三角形面积计算教学为例：当学生初步理解和掌握三角形计算公式及其推导过程之后，教师除了要组织学生利用计算公式去计算不同类型三角形面积之外，还需要组织学生进行变式训练，如提供类似文初的需要学生逆向运用三角形面积计算公式的数学情境，让学生能够灵活地从不同角度思考解决问题的策略，正确、熟练地提取有关三角形面积的计算方法。从而在运用中加深对三角形面积计算公式及其推导过程的理解。需要说明的是，为学生的数学学习提供变式，不能仅仅局限于新知识形成的过程中。也应该体现在反馈练习和知识检测的过程中，使学生在不断的变化中真正理解和掌握知识的本质。
四、挖掘思想方法。寻找提取的线索
我们知道。数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素。教学中。如果只注重通过机械强化手段让学生记忆“结果”，而没有引导学生理解形成“结果”的“过程”，没有引导学生体验和掌握数学思想方法。就会导致学生数学知识网络的结构功能差。信息联系的渠道不畅，知识的提取困难。在这里，数学思想方法就是重要的信息提取线索，数学知识的形成过程就是重要的信息记忆和提取通道。只有真正掌握了数学思想方法，充分经历了数学知识的形成过程，数学知识的理解和掌握才能水到渠成，数学知识的应用才会得心应手。
笔者以为，数学教学强调“过程性”，其核心就是强调数学教学过程的思想性，使学生能够在数学思想方法的引领下有高度地进行思维参与，从而经历实质性的数学思维过程。对此，我们应该引导学生自主探究数学活动，主动建构数学知识，让他们在知识形成的过程中感悟、体验、理解和掌握数学思想方法。最后，笔者继续以三角形面积计算教学为例进行说明：我们在通过将三角形转化为平行四边形，推导出三角形的面积计算公式时，应该借助直观的教具或者多媒体课件的演示，使学生借助图示弄清楚各个操作步骤的数学含义，记忆三角形面积计算公式及其推导过程；解决相关数学问题时，也应该启发学生借助图形或者图形表象。寻找解决问题的线索，提取有用的知识和解决问题的策略，从中体会和掌握数形结合的数学思想方法。当然，数学思想方法的形成并非一朝一夕之功。需要我们在教学中引导学生长期感受、体验和应用，最终促进学生形成科学的数学观念，学会数学地看待问题和数学地思维。
综上所述。在教学中我们应该教学留“痕”，努力将数学教学的过程性目标真正落到实处，切实提高知识形成过程的质量，从而切实减轻学生数学学习的负担，提高数学教与学的实际效果。
为了考查过程性目标的落实情况。我们编拟了如下一道关于三角形面积计算的简单问题：
一个三角形的底是6厘米，面积是24平方厘米。它的高是多少厘米?
检测中，我们发现有相当一部分学生无法顺利且正确地解决该问题，要么列式为“24÷6”，要么列式为“24÷2÷6”。据教者反映，他在教学三角形面积计算时曾经多次组织类似练习，但依然有部分学生不能掌握正确的方法。对此，笔者以为，这主要是学生在提取需要逆向思考的三角形面积计算方法时存在着困难或出现了错误。像这样的例子不胜枚举。这就从一个侧面反映了当前小学数学课堂教学仍然存在“过程缺失”的问题。
冷静思考：课堂教学“过程缺失”的形态及其危害
应当承认。目前多数教师已经清晰地认识到，在数学学习活动中应该引导学生自主探究、主动建构，亲身经历知识形成的过程。但是。他们比较熟悉或者能够把握的仍然是“看得见、摸得着”的知识技能目标。例如让学生学会一种运算，能解一类方程，知道一个性质，而对于需要学生亲身经历学习活动才能实现的过程性目标，则普遍感觉有点摸不着边际，认为学生什么“实质性”的东西也没有学到。
在这种思想的左右下，不少教师弱化、压缩甚至削减了知识形成的过程。大抵有这样3种表现：
其一，表现为过程被削减。课中。教师对基础知识、基本原理的教学通常三言两语一笔带过，或者为学生规定详细的解题程序，然后通过大量的模仿练习和强化训练，促使学生快速地熟悉相关的知识与技能，而本应引起高度重视的知识形成过程被忽略了。
其二，表现为过程表面化。在这样的课堂上，“过程”由教师直接讲授或演示，学生的数学学习由原先的“听结果”、“看结果”变成了现在的“听过程”、“看过程”，“过程”在这里仅仅停留于字面意义而已。关注知识形成过程的教学目标貌合神离!
其三。表现为过程不到位。可以说，时下教师已经开始注意引导学生在学习过程中自主建构知识、训练技能，但又经常忽视引导学生积累必要的数学活动经验，体验知识和技能背后所蕴含的数学思想方法。
众所周知，数学教材承载的是数学知识的逻辑体系，而诸如数学对象的抽象过程、数学思维的活动过程等内容则基本上被掩盖或省略了。如果我们仅是照本宣科，不向学生充分展示数学知识的发生、发展过程，不引导学生亲身经历知识的形成过程，那么学生在学习过程中获得的与知识内涵、外延密切相关的信息量就会被大大削减，从而出现知觉不准、分类不清、联系贫乏、记忆痕迹模糊等问题，致使学生在解决问题时遭遇困难。要知道，不让学生经历知识的发生发展过程，事实上是剥夺了学生亲身体验学习过程的机会。其结果必然会大大降低学生学习的质量。影响学生理解知识的深刻程度和洞察学习错误的敏锐程度。所以，“过程缺失”的课堂，从表面上看可能单位时间内的教学容量变大了，练习的密度也变高了，实际教学效果却常常不够理想。
实践策略：着力提高知识形成过程的质量
实践证明，要想提高学生数学学习的质量。使他们能够有效地记忆和顺利地提取数学知识，能够运用所学知识解决简单的实际问题，必须让学生有足够的时间和空间去亲身经历知识形成的过程，明晰知识发生与发展的线索，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。因而。教学中我们要认真分析和还原数学知识的原发现过程与学生的数学思维过程。并使这两个过程协调同步作用，避免数学学习的表面化现象。
一、联系具体情境。丰富背景性经验
心理学研究表明。学生通过对客体的活动建立起对情境的处理方式。是知识学习、技能形成的最根本基础。同时。学生对知识的记忆，是从开始较多依赖于情境逐渐转变为语义记忆的，且信息编码的方式对信息的提取具有很大影响。实践中，我们也发现失去丰富而具体的情境依托，知识的记忆就会变成对字面定义的死记硬背。知识的回忆和应用也必然会产生困难。反之，数学知识一旦获得具体情境的支持，就会变得直观易懂，使人更易于洞察其本质。
从这个意义上说，教学中我们应该为学生提供必需的知识背景以及与该知识密切相关的具体情境，并利用背景的关联性、一致性和情境的生动性、具体性，来引导学生积极参与知识的形成过程，获得丰富的背景性经验，进而在自主探究和主动建构的基础上进行有意义的记忆与理解。这里，我们以三角形面积计算教学为例作些说明：通过创设让学生亲自动手剪贴、拼接三角形，将三角形转化为已学过的平行四边形的情境，使各个操作步骤及其数学含义明确、细致地展示出来。这样，可以让具体的操作情境成为这一知识认知图式中的重要成分，有利于学生更好地回忆三角形面积计算公式及其推导过程，促进与之相关的数学问题顺利解决。所以，对知识的记忆，教学中应该努力让学生做到情境记忆和语义记忆并重。即使随着学生年级的升高而偏重语义记忆。也应该在对情境的不断抽象和概括的基础上进行，使情境成为学生数学学习“回忆链”的“中间站”，切实提高学生数学知识形成过程的质量。
二、重视几何直观。加深记忆的痕迹
所谓几何直观，本文是指利用图形来描述几何或者其他数学问题，探索解决问题的思路或者预测问题的结果。教学实践证明，如果从语言的单一角度去组织和表征信息，学生获得的知识不仅抽象、难懂，还会因为联想强度不足而失去提取该知识的能量，导致回忆失败甚至产生遗忘，而借助几何直观，则可以把复杂的数学问题变得简单明了、形象易懂。
基于此，数学教学尤其是小学数学教学需要注重学生空间与几何的经验。感觉的积累。适度加强几何直观的教学手段。实际教学中，我们可以改进学生数学信息的加工方式，采用数形结合、数与形象相互表示的方法对抽象的数学知识进行编码。为学生提供从多个角度、用不同方法进行信息编码的机会。从而使数学知识所具有的双重表象作用得到充分发挥，在语言记忆和视觉记忆同步作用的基础上，增加学生对数学知识长时记忆痕迹的强度，促进信息正确且顺利地提取。此处，我们也以三角形面积计算教学为例进行说明：在组织学生操作学具的前提下。教师要引导学生借助演示直观平面图形，进一步感悟和理解三角形计算公式及其推导过程，明确各个操作步骤的数学含义，使直观图形融进该知识的认知图式之中，从而促进学生对三角形面积计算公式等知识的记忆和提取。顺利解决与之相关的各种数学问题。需要强调的是，几何直观不仅在“图形与几何”领域知识的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程之中。
三、提供丰富变式，促进深层次理解
研究表明。对知识的教学，如果，日借助特殊的、单一的、复制性的背景。那么学生获得的“标准样式”知识将缺少活力，一旦背景发生变化，知识的表征和问题的 解决就会发生困难，同时还会削弱学生的推理能力，影响学生思维能力的发展和学习质量的提高。从这个意义上说，要使学生深刻理解知识，并不是要让他们学习更多更难的内容，而是要让他们掌握知识本质特征的不同表述方式，即能够用等值语言对信息进行编码，对同一数学对象给出不同的表示，建立起知识的多元联系，并在背景变化中应用数学知识，促进学生对已有知识的理解进行修正。
从这个角度说。数学教学应该改变数学研究对象的形状、大小、方向等非本质属性，为学生提供凸显知识本质属性的丰富变式，促进学生对知识形成多角度的理解，增强他们数学思维的灵活性与可逆性，从而使他们在面临问题时能够更加容易地激活知识，顺利地解决问题。为了突出问题的针对性。仍以三角形面积计算教学为例：当学生初步理解和掌握三角形计算公式及其推导过程之后，教师除了要组织学生利用计算公式去计算不同类型三角形面积之外，还需要组织学生进行变式训练，如提供类似文初的需要学生逆向运用三角形面积计算公式的数学情境，让学生能够灵活地从不同角度思考解决问题的策略，正确、熟练地提取有关三角形面积的计算方法。从而在运用中加深对三角形面积计算公式及其推导过程的理解。需要说明的是，为学生的数学学习提供变式，不能仅仅局限于新知识形成的过程中。也应该体现在反馈练习和知识检测的过程中，使学生在不断的变化中真正理解和掌握知识的本质。
四、挖掘思想方法。寻找提取的线索
我们知道。数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素。教学中。如果只注重通过机械强化手段让学生记忆“结果”，而没有引导学生理解形成“结果”的“过程”，没有引导学生体验和掌握数学思想方法。就会导致学生数学知识网络的结构功能差。信息联系的渠道不畅，知识的提取困难。在这里，数学思想方法就是重要的信息提取线索，数学知识的形成过程就是重要的信息记忆和提取通道。只有真正掌握了数学思想方法，充分经历了数学知识的形成过程，数学知识的理解和掌握才能水到渠成，数学知识的应用才会得心应手。
笔者以为，数学教学强调“过程性”，其核心就是强调数学教学过程的思想性，使学生能够在数学思想方法的引领下有高度地进行思维参与，从而经历实质性的数学思维过程。对此，我们应该引导学生自主探究数学活动，主动建构数学知识，让他们在知识形成的过程中感悟、体验、理解和掌握数学思想方法。最后，笔者继续以三角形面积计算教学为例进行说明：我们在通过将三角形转化为平行四边形，推导出三角形的面积计算公式时，应该借助直观的教具或者多媒体课件的演示，使学生借助图示弄清楚各个操作步骤的数学含义，记忆三角形面积计算公式及其推导过程；解决相关数学问题时，也应该启发学生借助图形或者图形表象。寻找解决问题的线索，提取有用的知识和解决问题的策略，从中体会和掌握数形结合的数学思想方法。当然，数学思想方法的形成并非一朝一夕之功。需要我们在教学中引导学生长期感受、体验和应用，最终促进学生形成科学的数学观念，学会数学地看待问题和数学地思维。
综上所述。在教学中我们应该教学留“痕”，努力将数学教学的过程性目标真正落到实处，切实提高知识形成过程的质量，从而切实减轻学生数学学习的负担，提高数学教与学的实际效果。