摘要：三角函数是高中数学的重点内容，本文研究一类不太常见的问题，即三角函数方程或方程组，并且未知数的个数多于所给方程的个数，如何挖掘题目中的隐藏条件是解决这类问题的关键，文中同时对某些问题进行了推广。
　　关键词：三角函数;方程;不等式
　　一般来说，一个方程一个未知数，两个方程两个未知数才能够解出唯一解。但是我们在高中数学的学习中往往会发现一些反常的情况，比如一个方程两个未知数能够解出唯一解，又如两个方程五个未知数能够解出一个定比例关系。对于这种未知数个数多于方程个数的情况，下面我们就以三角方程为例进行分析。
　　一、一元二次三角方程
　　例1
　　解：将原式整理为
　　将其视为关于的一元二次方程，方程有解，则，故
　　评注：对于一元二次三角方程，一般情况下解是不确定的，只有特殊情况下才有定解。特殊情况主要有非负数之和为0，基本不等式取等号，一元二次方程判别式为O等。
　　二、二元一次三角方程组
　　例2 已知
　　解：两式平方相加得推出
　　评注：这是人教版教材必修四P147的一道习题，它本质上是四个方程四个未知数（考虑到，但用解方程的方法解出这四个未知数再计算cOs（α-β）将会非常烦琐。
　　希尔伯特说过：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之。”如果我们思考更一般的问题呢？
　　问题1：设当m，n∈R满足什么条件时有解？
　　解：两式平方相加得①
　　所以
　　解得②
　　两式分别和差化积得
　　由万能公式得
　　所以易知此不等式恒成立，所以原方程组有解的充要条件是0≤m2=n2≤4。
　　问题2：α，β的具体值能求出吗？（有些同学对例1的方法始终难以接受，因为我们始终未把α，β求出来，下面我们就利用反三角函数把α，β表示出来）
　　解：由问题1中的①③两式知
　　评注：两式相加减即可解出α，β。当然，一般情况下α，β有无穷多组解。即使取k1=k2=0，考虑到方程组两式各有正负性两种选择，此时α，β也有四组解。
　　三、多元一次三角方程组
　　例3 已知1，且求证：
　　解法一：两式相减得和差化积得即所以则a=
　　代入原式得所以
　　解法二：已知两点A（cosθ，sinθ），B（cosψ，sinψ）都在直线ax by=c上，但点A，B又决定一条直线（cosθ-cosψ）（y-sinψ）-（sinθsinψ）（x-cosψ）.化简得xCOS又因为两点确定唯一一条直线，所以两直线重合，故有对应系数成比例，即
　　评析：本题只有两个方程，而却有a，b，c，θ，ψ五个未知数，解题时很容易陷入不知所措的境况。解法一观察到两式相减可以消去变量c，通过解出a，b的比例关系，代入原式寻找c的比例关系，逐层推进，是一个可行的方法。而解法二则更胜一筹，通过观察方程的几何意义，推导出本题的数学本质，免去了烦琐的计算。
　　例4 已知O