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一、案例主题及其内涵
1.案例主题
如果学生掌握一些基本数学思想方法，能使数学知识更易于理解与记忆。根据本节课的教学内容和教学目标，本案例主要体现数形结合思想、模型思想的培养。
2.分数乘分数内涵阐述
数形结合就是根据数量与图形之间的关系，运用“数”来刻画、研究形，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑，通过“以形助数”或“以数解形”使抽象思维与形象思绪结合起来，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到解决问题的目的。
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。
二、案例描述与分析
1.案例描述
（1）看算式，猜想积是多少
师：你是怎么想的？怎么列算式解决？
师：=？这个算式你们猜一猜积是多少呢？你是怎么猜的？
生：因为分数乘整数的方法是分子乘整数做积的分子，分母不变。所以我猜这里是分子乘分子做积的分子，分母乘分母做积的分母，这个算式的积是。
师：那这个答案到底对不对呢？我们需要验证。
【设计意图：通过这个猜想情节，立即把学生思维进入新知学习的开端，好像把学生领到了新知的入门口，一下子把学生的思维唤醒了。分数乘分数到底是怎样计算呢？和分数乘整数的计算方法一样吗？学生的认知情趣油然而生】
（2）尝试画图，体会算理
师：借助学具，小组合作探讨这个算式的积是多少？
学生小组合作：拿出准备好的长方形纸，用它表示1公顷的面积，涂出公顷的面积。接着再用折一折、涂一涂探索公顷的是多少。
生：我们先把这个长方形看成是1公顷，把它平均分成 2 份，涂出其中的一份就是公顷，然后再把画出的部分平均分成 5 份，涂出其中的 1 份。我们涂出的结果是。
【设计意图：通过让学生动手涂一涂，感受每次画图表示的分数是什么，表示什么意思。第一次画图，学生不明白怎样画出一个分数乘分数的图形，教师重点指导学生画图的方法，并理解每一步所画的分数表示的意义。】
师：从涂色的结果看出公顷的是公顷，根据涂色的过程你是怎么得出×的结果呢？
生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×1==。
师：像这样利用几何图形理解和解决分数乘分数的方法，在数学上叫数形结合的数学思想方法。这种方法在我们日常的数学学习新知识或者解决比较难的题目时都会用到。
【设计意图：先引导学生逐步掌握用画图的方法表示两个分数相乘，接着结合图形对相关计算过程和结果的比较，再归纳总结分数乘分数的计算方法。在这个过程中，构造图形表示分数乘分数，是学生建立数感的重要环节。最后回顾解决过程教师点拨与介绍数形结合的数学思想方法，让学生知道数学思想方法在我们日常学习中常常用到，它们并不是离我们遥不可及的。这对培养学生的形象思维和数感很有促进作用】
（3）再次画图，理解算理
師：那么种玉米的面积有多少公顷？怎么列式？
师：×的积是多少？请同学们仿照第一小题的解决方法独自画图算出算式的积。
生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的3份，即×3==。
【设计意图：学生理解画图的方法后，尝试独立画图，既是对画图方法的熟悉，更是对分数乘分数的算理的再次理解。在这过程中，充分展示学生画的图进行分析理解，明确算理。】
（4）小结算法，建立模型
师：结合两道题的计算过程，分数乘分数怎样计算的？
生：分数乘分数，用分子相乘的积做分子，用分母相乘的积做分母。也就是×。
【设计意图：通过使用数形结合，让算理有依据。通过数形结合，让学生建立计算分数乘分数的模型，使其看到分数乘分数，就能想起图形的样子，知道结果是怎样得来的，这样很好地培养了学生的形象思维和数感】
2.案例分析
整节课以画图理解新知，数形结合，把抽象新知转化为直观的几何图形，体现几何直观的作用，并充分发挥学生的主体作用。在理解算理后教师帮助学生建立模型，使学生日后能更好地运用。
（1）数形结合，理解算理
教学×时，因为分数乘分数是一项比较抽象的知识，这个知识点的数感建立尤其困难，学生第一次接触都会比较抵触，不知从何入手。书本的插图学生也不好理解，最好的办法是让学生自主操作探究出方法来理解新知。首先，教师引导学生把长方形设为1公顷，在长方形上画出，这里教师需要让学生说一说表示什么意思，单位“1”是多少？然后再理解公顷的是什么意思，现在的单位“1”又是什么？理解后学生下笔画图。在这个过程中，构造图形表示分数乘分数，再通过图形与算式的计算过程和结果的比较，归纳总结分数乘分数的计算方法。
教学×时，学生已有了初步的画图体验，这里可以放手让学生独立尝试画图得出试算结果。这时，教师的工作主要在学生操作时，给予画图有困难的学生适当的帮助就可以了。通过两次画图理解，充分调动学生原有的知识经验，在画图中深刻理解算理，引导学生多种方法地探索算理的形成过程，充分体现了“数形结合”思想。
最后在两个小题的教授完毕后适当地点拨、提升出“数形结合”思想，让学生明确知道我们在解题过程中使用的方法是什么，以后在什么情况下可以使用，从而有效地渗透了“数形结合”思想，避免把渗透数学思想变成形式化，真正地做到学以致用。
（2）归纳并建立模型
利用画图的方法表示两个分数相乘，建立形与数的联系，最后总结归纳构建计算分数乘分数的直观模型是。在小学阶段，模型思想是学生很常用的一种数学思想方法，是学生把所学知识学以致用的一种学习支撑。所以，在“数的运算”这一板块教学中渗透并使用数学模型的思想方法具有重要意义。
本案例的实施效果比较好，其运用的数学思想方法有多种，如，数形结合、转化、猜想、符号化思想等，但如果每个思想都让学生理解并知道，这样对学生来说比较吃力，也让教学过程变得重点不突出。所以，教师主要以渗透数形结合这一数学思想方法，主次突出，让渗透数学思想方法不流于形式，意在让学生可以学以致用。
1.案例主题
如果学生掌握一些基本数学思想方法，能使数学知识更易于理解与记忆。根据本节课的教学内容和教学目标，本案例主要体现数形结合思想、模型思想的培养。
2.分数乘分数内涵阐述
数形结合就是根据数量与图形之间的关系，运用“数”来刻画、研究形，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑，通过“以形助数”或“以数解形”使抽象思维与形象思绪结合起来，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到解决问题的目的。
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。
二、案例描述与分析
1.案例描述
（1）看算式，猜想积是多少
师：你是怎么想的？怎么列算式解决？
师：=？这个算式你们猜一猜积是多少呢？你是怎么猜的？
生：因为分数乘整数的方法是分子乘整数做积的分子，分母不变。所以我猜这里是分子乘分子做积的分子，分母乘分母做积的分母，这个算式的积是。
师：那这个答案到底对不对呢？我们需要验证。
【设计意图：通过这个猜想情节，立即把学生思维进入新知学习的开端，好像把学生领到了新知的入门口，一下子把学生的思维唤醒了。分数乘分数到底是怎样计算呢？和分数乘整数的计算方法一样吗？学生的认知情趣油然而生】
（2）尝试画图，体会算理
师：借助学具，小组合作探讨这个算式的积是多少？
学生小组合作：拿出准备好的长方形纸，用它表示1公顷的面积，涂出公顷的面积。接着再用折一折、涂一涂探索公顷的是多少。
生：我们先把这个长方形看成是1公顷，把它平均分成 2 份，涂出其中的一份就是公顷，然后再把画出的部分平均分成 5 份，涂出其中的 1 份。我们涂出的结果是。
【设计意图：通过让学生动手涂一涂，感受每次画图表示的分数是什么，表示什么意思。第一次画图，学生不明白怎样画出一个分数乘分数的图形，教师重点指导学生画图的方法，并理解每一步所画的分数表示的意义。】
师：从涂色的结果看出公顷的是公顷，根据涂色的过程你是怎么得出×的结果呢？
生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×1==。
师：像这样利用几何图形理解和解决分数乘分数的方法，在数学上叫数形结合的数学思想方法。这种方法在我们日常的数学学习新知识或者解决比较难的题目时都会用到。
【设计意图：先引导学生逐步掌握用画图的方法表示两个分数相乘，接着结合图形对相关计算过程和结果的比较，再归纳总结分数乘分数的计算方法。在这个过程中，构造图形表示分数乘分数，是学生建立数感的重要环节。最后回顾解决过程教师点拨与介绍数形结合的数学思想方法，让学生知道数学思想方法在我们日常学习中常常用到，它们并不是离我们遥不可及的。这对培养学生的形象思维和数感很有促进作用】
（3）再次画图，理解算理
師：那么种玉米的面积有多少公顷？怎么列式？
师：×的积是多少？请同学们仿照第一小题的解决方法独自画图算出算式的积。
生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的3份，即×3==。
【设计意图：学生理解画图的方法后，尝试独立画图，既是对画图方法的熟悉，更是对分数乘分数的算理的再次理解。在这过程中，充分展示学生画的图进行分析理解，明确算理。】
（4）小结算法，建立模型
师：结合两道题的计算过程，分数乘分数怎样计算的？
生：分数乘分数，用分子相乘的积做分子，用分母相乘的积做分母。也就是×。
【设计意图：通过使用数形结合，让算理有依据。通过数形结合，让学生建立计算分数乘分数的模型，使其看到分数乘分数，就能想起图形的样子，知道结果是怎样得来的，这样很好地培养了学生的形象思维和数感】
2.案例分析
整节课以画图理解新知，数形结合，把抽象新知转化为直观的几何图形，体现几何直观的作用，并充分发挥学生的主体作用。在理解算理后教师帮助学生建立模型，使学生日后能更好地运用。
（1）数形结合，理解算理
教学×时，因为分数乘分数是一项比较抽象的知识，这个知识点的数感建立尤其困难，学生第一次接触都会比较抵触，不知从何入手。书本的插图学生也不好理解，最好的办法是让学生自主操作探究出方法来理解新知。首先，教师引导学生把长方形设为1公顷，在长方形上画出，这里教师需要让学生说一说表示什么意思，单位“1”是多少？然后再理解公顷的是什么意思，现在的单位“1”又是什么？理解后学生下笔画图。在这个过程中，构造图形表示分数乘分数，再通过图形与算式的计算过程和结果的比较，归纳总结分数乘分数的计算方法。
教学×时，学生已有了初步的画图体验，这里可以放手让学生独立尝试画图得出试算结果。这时，教师的工作主要在学生操作时，给予画图有困难的学生适当的帮助就可以了。通过两次画图理解，充分调动学生原有的知识经验，在画图中深刻理解算理，引导学生多种方法地探索算理的形成过程，充分体现了“数形结合”思想。
最后在两个小题的教授完毕后适当地点拨、提升出“数形结合”思想，让学生明确知道我们在解题过程中使用的方法是什么，以后在什么情况下可以使用，从而有效地渗透了“数形结合”思想，避免把渗透数学思想变成形式化，真正地做到学以致用。
（2）归纳并建立模型
利用画图的方法表示两个分数相乘，建立形与数的联系，最后总结归纳构建计算分数乘分数的直观模型是。在小学阶段，模型思想是学生很常用的一种数学思想方法，是学生把所学知识学以致用的一种学习支撑。所以，在“数的运算”这一板块教学中渗透并使用数学模型的思想方法具有重要意义。
本案例的实施效果比较好，其运用的数学思想方法有多种，如，数形结合、转化、猜想、符号化思想等，但如果每个思想都让学生理解并知道，这样对学生来说比较吃力，也让教学过程变得重点不突出。所以，教师主要以渗透数形结合这一数学思想方法，主次突出，让渗透数学思想方法不流于形式，意在让学生可以学以致用。