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[摘 要] 数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力. 数学核心素养不是与生俱来的，而是在数学学习过程中逐步形成的，是可以通过数学学习、反思、积累、应用的过程逐渐养成的. 课堂是教学的主战场，那么如何进行有效的教学设计，在课堂教学中落实、内化数学核心素养？在教学过程中，如何寻找发展学生数学核心素养的有效途径？针对这些问题，本文结合笔者的教学实际，以一题为例，谈解题教学中强化核心概念、发展核心素养的实践与探索.
[关键词] 核心概念；内化；核心素养
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”掌握数学概念是学习数学的基本要求，它是学生进一步学习数学知识的基础. 数学核心概念是一个拥有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系. 解题教学中利用核心概念将数学知识有效地整合，构建知识网络，有利于学生发展思维能力，内化核心素养.
例题？摇 （2004年浙江高考）已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，求■·■ ■·■ ■·■的值.
■构建概念思维导图，使知识网络化，发散思维，内化素养
数量积是高考考查的热点，以基础题和中档题为主. 平面向量数量积包含夹角和模两大几何核心概念，概念是计算数量积有关问题的源与流. 概念思维导图有利于整合新旧知识，构建知识网络，能帮助学生从整体上把握知识，提升学生的自学能力，促进思维发展，内化核心素养. 数量积的思维导图如图1.
■一题多解，揭示概念本质，提升技能，内化素养
我们应挖掘概念思维导图的教学价值，揭示概念的本质，明确概念的内涵与外延. 一题多解、全方位多角度地突破概念生成、分析、组织中的障碍，能使学生更好地形成与获得概念，提升解题技能，内化核心素养.
探究视角1：定义法
平面向量数量积的定义为a·b=a·bcosθ，所以■·■ ■·■ ■·■=0 4×5×-■ 3×5×-■=0-16-9= -25.
探究视角2：投影法
平面向量数量积的几何意义如下：
a·b=abcosθ=a×（b在a方向上的投影）=b×（a在b方向上的投影），所以■·■ ■·■ ■·■=0 4×（-4） 3×（-3）=-16-9=-25.
探究视角3：转化法，化未知为已知
■
探究视角4：坐标法
注意到平面向量数量积的坐标表示为a·b=x1x2 y1y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
由已知可得AB⊥BC，建立如图2所示的坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，3），■=（0，-3），■=（4，0），■=（-4，3）. 所以■·■ ■·■ ■·■=0 （4，0）·（-4，3） （-4，3）·（0，-3）=0-16-9=-25.
■
圖2
■评价与反思，形成技能，内化核心素养
现代教学论认为：学生在课堂中不仅要主动参与学习活动，还应参与对学习成果的评价. 如果缺少评价，就是不完整的学习. 对解题进行多元评价，有利于教师、学生不断地对自己的教育活动和学习活动进行反思，对自己的活动进行自我调控、自我完善、自我修正，能让学生在思索、感悟、内化的过程中提高思维能力，内化核心素养. 评价方式以及流程如图3，反思方法如表1.
■
图3
表1 反思提升：数量积计算方法小结
■
■变式拓展，巩固概念，内化素养
在解题教学中能适时适当地进行变式训练，通过一道数学题，引导学生从不同方向、不同角度进行思考，这样不仅能对概念进行辨析和变式训练，达到对概念的准确运用，还能激活学生的思维，帮助学生训练基本技能、基本方法，更重要的是，可以开阔学生的视野，培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性，可使学生触类旁通，能锻炼学生分析问题、归纳问题和解决问题的能力，进而有效地减轻学生的学业负担，提升素养.
变式1：如图4，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若■·■=■，则■·■的值是__________.
■
图4
变式2：如图5，已知△ABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC=3，BC=■，求■·■.
■
图5
■改编试题，提升能力，发展核心素养
数学家波利亚指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们成堆地生长，找到一个以后，你就应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.” 问题解决后，应当让学生从问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，派生出一些常规问题和开放性问题，使得问题“成片开发”.
例题 （2004年浙江高考）已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，求■·■ ■·■ ■·■的值.
1. 由特殊到一般，化直角三角形为普通三角形
改编1：已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=6，求■·■ ■·■ ■·■的值.
2. 由静到动，动静皆宜，化求值为求范围
改编2：已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，P为边AC上一动点，求■·■的取值范围.
■配套作业强化，巩固概念，内化素养，提升能力
作业是课堂教学的延续，是开拓学生思维、培养和训练学生各方面能力的主战场，及时有效的课后作业能及时补救学生在学习过程中存在的问题，能有效地发挥评价与检测的目的，能促进思维的发展，能提升核心素养.
课后作业（选择合适的解法，并尝试用多种解法处理问题）：
1. 在菱形ABCD中，AC=5，BD=4，求（■ ■）·（■ ■）的值.
2. 已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且■ ■=2■，■=■·■，求■·■的值.
3. 在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，■=■，■=2■，求■·■的值.
4. 在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，点M，N分别是BC，CD边上的动点，且■=■，求■·■的取值范围.
5. 在△ABC中，O为中线AM上一动点，若AM=2，求■·（■ ■）的最小值.
“一个人，如果他不是以数学为终身职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题、解题有多快、数学能考多少分，关键在于他能否真正领会数学的思想、数学的精神. ” 可见，核心素养是最关键、最重要、不可缺的素养，任何一门学科的目标定位和教学活动都要从素养的高度来进行. 核心概念是内化核心素养的有效载体，如何创建高效的核心概念应用解题教学，实现价值引领、思维启迪、品格塑造是新高考背景下一个值得数学教师深入研究的问题！
[关键词] 核心概念；内化；核心素养
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”掌握数学概念是学习数学的基本要求，它是学生进一步学习数学知识的基础. 数学核心概念是一个拥有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系. 解题教学中利用核心概念将数学知识有效地整合，构建知识网络，有利于学生发展思维能力，内化核心素养.
例题？摇 （2004年浙江高考）已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，求■·■ ■·■ ■·■的值.
■构建概念思维导图，使知识网络化，发散思维，内化素养
数量积是高考考查的热点，以基础题和中档题为主. 平面向量数量积包含夹角和模两大几何核心概念，概念是计算数量积有关问题的源与流. 概念思维导图有利于整合新旧知识，构建知识网络，能帮助学生从整体上把握知识，提升学生的自学能力，促进思维发展，内化核心素养. 数量积的思维导图如图1.
■一题多解，揭示概念本质，提升技能，内化素养
我们应挖掘概念思维导图的教学价值，揭示概念的本质，明确概念的内涵与外延. 一题多解、全方位多角度地突破概念生成、分析、组织中的障碍，能使学生更好地形成与获得概念，提升解题技能，内化核心素养.
探究视角1：定义法
平面向量数量积的定义为a·b=a·bcosθ，所以■·■ ■·■ ■·■=0 4×5×-■ 3×5×-■=0-16-9= -25.
探究视角2：投影法
平面向量数量积的几何意义如下：
a·b=abcosθ=a×（b在a方向上的投影）=b×（a在b方向上的投影），所以■·■ ■·■ ■·■=0 4×（-4） 3×（-3）=-16-9=-25.
探究视角3：转化法，化未知为已知
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探究视角4：坐标法
注意到平面向量数量积的坐标表示为a·b=x1x2 y1y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
由已知可得AB⊥BC，建立如图2所示的坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，3），■=（0，-3），■=（4，0），■=（-4，3）. 所以■·■ ■·■ ■·■=0 （4，0）·（-4，3） （-4，3）·（0，-3）=0-16-9=-25.
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圖2
■评价与反思，形成技能，内化核心素养
现代教学论认为：学生在课堂中不仅要主动参与学习活动，还应参与对学习成果的评价. 如果缺少评价，就是不完整的学习. 对解题进行多元评价，有利于教师、学生不断地对自己的教育活动和学习活动进行反思，对自己的活动进行自我调控、自我完善、自我修正，能让学生在思索、感悟、内化的过程中提高思维能力，内化核心素养. 评价方式以及流程如图3，反思方法如表1.
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图3
表1 反思提升：数量积计算方法小结
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■变式拓展，巩固概念，内化素养
在解题教学中能适时适当地进行变式训练，通过一道数学题，引导学生从不同方向、不同角度进行思考，这样不仅能对概念进行辨析和变式训练，达到对概念的准确运用，还能激活学生的思维，帮助学生训练基本技能、基本方法，更重要的是，可以开阔学生的视野，培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性，可使学生触类旁通，能锻炼学生分析问题、归纳问题和解决问题的能力，进而有效地减轻学生的学业负担，提升素养.
变式1：如图4，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若■·■=■，则■·■的值是__________.
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图4
变式2：如图5，已知△ABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC=3，BC=■，求■·■.
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图5
■改编试题，提升能力，发展核心素养
数学家波利亚指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们成堆地生长，找到一个以后，你就应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.” 问题解决后，应当让学生从问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，派生出一些常规问题和开放性问题，使得问题“成片开发”.
例题 （2004年浙江高考）已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，求■·■ ■·■ ■·■的值.
1. 由特殊到一般，化直角三角形为普通三角形
改编1：已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=6，求■·■ ■·■ ■·■的值.
2. 由静到动，动静皆宜，化求值为求范围
改编2：已知平面上的三点A，B，C满足■=3，■=4，■=5，P为边AC上一动点，求■·■的取值范围.
■配套作业强化，巩固概念，内化素养，提升能力
作业是课堂教学的延续，是开拓学生思维、培养和训练学生各方面能力的主战场，及时有效的课后作业能及时补救学生在学习过程中存在的问题，能有效地发挥评价与检测的目的，能促进思维的发展，能提升核心素养.
课后作业（选择合适的解法，并尝试用多种解法处理问题）：
1. 在菱形ABCD中，AC=5，BD=4，求（■ ■）·（■ ■）的值.
2. 已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且■ ■=2■，■=■·■，求■·■的值.
3. 在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，■=■，■=2■，求■·■的值.
4. 在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，点M，N分别是BC，CD边上的动点，且■=■，求■·■的取值范围.
5. 在△ABC中，O为中线AM上一动点，若AM=2，求■·（■ ■）的最小值.
“一个人，如果他不是以数学为终身职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题、解题有多快、数学能考多少分，关键在于他能否真正领会数学的思想、数学的精神. ” 可见，核心素养是最关键、最重要、不可缺的素养，任何一门学科的目标定位和教学活动都要从素养的高度来进行. 核心概念是内化核心素养的有效载体，如何创建高效的核心概念应用解题教学，实现价值引领、思维启迪、品格塑造是新高考背景下一个值得数学教师深入研究的问题！