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[摘要]逆向思维在某种意义上说是一种创造性的求异思维，属发散性思维范畴。在数学教学中，无论是在概念、计算还是应用题等教学方面，教师都可以利用其培养学生逆向思维能力，特别是在解决应用问题时，逆向思维显得尤为重要。教师在数学教学中，可以从反面思考的方法、概念的教学、数学公式的教学、逆向证明命题等方面养学生逆向思维能力。
[关键词]数学教学 培养逆向思维能力
逆向思维在某种意义上说是一种创造性的求异思维，属发散性思维范畴。在对事物的认识发展过程中，人们往往习惯沿事物的发展方向去思考问题，并寻找出解决问题的方法。但就有些情况而言，反过来思考，从事物的结果逆推到已知情况，往往会使问题变得非常简单，使问题的解决变得轻而易举。在传统初中数学教学过程中，往往对正向思维关注较多，而忽视了学生逆向思维能力的培养，从而也使中学生逆向思维能力的培养成为教学任务中的难点。初中数学新课程标准要求，在注重学生学习能力的同时，还应注重学生创新能力、推理能力及逆向思维能力的培养。在数学教学中，无论是在概念、计算还是应用题等教学方面，教师都可以利用其培养学生逆向思维能力，特别是在解决应用问题时，逆向思维显得尤为重要。如果把综合法解题作为正向思维解决问题的方法，那么用分析法解题就可以认为是用逆向思维来解决问题。而在计算教学中，有些教师认为培养逆向思维能力的材料较少，往往不够重视，进而忽视了对学生这一方面能力的培养。对此，笔者就以培养学生逆向思维能力的问题谈谈自己的陋见。
一、从反面思考方法中培养学生逆向思维能力
反面思考方法就是刻意从既有的数学事实的相反方面（或另一面）来进行思考，检验其正确性，进而解决问题。如数学中的反证法就是逆向思维的充分运用，当正向顺推和证明感到力不从心时，正确运用反面思考方法就会有意想不到的结果。
例如：用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角。
已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C都是锐角。
假设等腰三角形的底角非锐角，则根据等角对等边，可知：两底角相等均为非锐角。而三角形内角和为180度。两底角相加和已大于等于180度。不符合客观事实，无法构成三角形。因此假设不成立。所以等腰三角形的底角是锐角。原命题得证。
再如：例: 设两个实数a和b，试证明:若a2+ b2=0，则a、b必须同时为0。这道题看似好像挺简单，但是如果正向推理，还有一定的难度。但如果用逆向思维来证明就会很简单。证明:假设a、b至少有一个数不为0，则有a2+ b2﹥0，与已知相矛盾，所以假设不成立，原式成立。
用反面思考方法的逆向运用易繁就简，可把复杂问题转变为简便的问题，但要注意思考时一定要考虑全面，绝无遗漏，适当运用。
二、在数学概念的教学中培养学生逆向思维能力
在概念教学中，对有些重要的概念，教师必须引导学生从逆向、多角度去进行思考，找出概念的本质属性。例如，初一代数课本中对互为倒数的定义是:乘积为1的两个数叫做互为倒数。在讲述概念时，可反间学生:互为倒数的两个数有何特征?5的倒数是什么数？弄清这些问题以帮助学生深刻理解倒数的概念。又如，讲绝对值概念时，可问:绝对值是3的数是什么数?什么数的绝对值是2.5?还可结合数轴上的点所表示的数来进行分析，使学生能从代数几何两个角度去加深对绝对值概念的理解。通过逆向理解概念，能加深对概念的理解，提高掌握概念的准确性。
三、在数学公式的教学中培养学生逆向思维能力
数学中的公式大多数是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。在公式的教学中，若能培养学生灵活地逆用公式，再解题时就能得心应手，逆向思维能力将会不断提高。逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。数学中的公式很多，要求学生记忆公式时不但要“正记”，而且要不断地进行“逆记”和“逆写”训练。记忆公式要善于找出公式由左向右的特点及功能，同时也要相应找出公式由右向左的特点及功能。如三角公式由左向右，余弦变正弦、倍角变单角、升幂等；由右向左，正弦变余弦、单角变倍角、降幂等。只有了解这些特点及功能，运用起来才能得心应手。教师在讲授公式时，不但要做一些公式的正用练习，也要作一些公式的逆用练习。应将公式适当变形，公式的逆用范例紧接着原来公式后出现，这样可以加深学生的理解，给学生以完整的印象。对于一个公式从左至右的使用比较熟练，运用自如。但反过来从右至左的使用或变形使用，往往比较生疏、困难。这也从反面说明了培养学生逆向思维的重要性。
一些数学问题，如果运用公式从正面求解，有时会很困难，甚至难以下手，而当引导学生逆用公式与法则从反面去考虑时，却往往很快找到解决方法，使问题得到顺利解决。
例1 分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 (在有理数范围内)
分析：按分解因式的基本步骤，此题却无从下手。因此应从反面去考虑，先对(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)进行重组相乘并展开得:(x2+5x)2+10(x2+5x)+24，然后用分解因式的方法进行分解。
解：原式= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
= (x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
= (x2+5x)2+10(x2+5x+25)
= (x2+5x+5)2
再如：已知：am=8，an=32，求：am+n的值。
分析：对于初一学生来说，m、n是求不出来的，只能考虑将同底数幂乘法法则逆用后得到结果。
解：am+n=am×an=8×32=216
此方法简单明确，一目了然，由此还可以激发学生学习数学的兴趣，可达到事半功倍的目的。
四、逆向证明命题培养学生逆向思维能力
有些命题，从顺向证明有时很困难，这时可采用反证法。反证法是培养学生逆向思维的一种有效的方法，教师在讲述反证法时，要着重引导学生理解反证法的基本思想，教会他们学会假设和掌握证明的步骤，让学生从反证法中品尝逆向思维的甜头，从而提高逆向思维的能力。这个方法在代数、几何中都有广泛的应用，特别在几何教学的开始阶段，因学过的定理少，好多命题从顺向证明很困难，只能采取反证法，有关这方面的例子，课本上屡见不鲜。
总之，科学有效的思维方法为教师和学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式。本着以人为本，注重个性发展的教育新思路，强化学生的逆向思维能力、创造性思维与综合实践能力，不断提高学生的学习效率和完善教师的教学艺术，为社会培养高素质人才。
[关键词]数学教学 培养逆向思维能力
逆向思维在某种意义上说是一种创造性的求异思维，属发散性思维范畴。在对事物的认识发展过程中，人们往往习惯沿事物的发展方向去思考问题，并寻找出解决问题的方法。但就有些情况而言，反过来思考，从事物的结果逆推到已知情况，往往会使问题变得非常简单，使问题的解决变得轻而易举。在传统初中数学教学过程中，往往对正向思维关注较多，而忽视了学生逆向思维能力的培养，从而也使中学生逆向思维能力的培养成为教学任务中的难点。初中数学新课程标准要求，在注重学生学习能力的同时，还应注重学生创新能力、推理能力及逆向思维能力的培养。在数学教学中，无论是在概念、计算还是应用题等教学方面，教师都可以利用其培养学生逆向思维能力，特别是在解决应用问题时，逆向思维显得尤为重要。如果把综合法解题作为正向思维解决问题的方法，那么用分析法解题就可以认为是用逆向思维来解决问题。而在计算教学中，有些教师认为培养逆向思维能力的材料较少，往往不够重视，进而忽视了对学生这一方面能力的培养。对此，笔者就以培养学生逆向思维能力的问题谈谈自己的陋见。
一、从反面思考方法中培养学生逆向思维能力
反面思考方法就是刻意从既有的数学事实的相反方面（或另一面）来进行思考，检验其正确性，进而解决问题。如数学中的反证法就是逆向思维的充分运用，当正向顺推和证明感到力不从心时，正确运用反面思考方法就会有意想不到的结果。
例如：用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角。
已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C都是锐角。
假设等腰三角形的底角非锐角，则根据等角对等边，可知：两底角相等均为非锐角。而三角形内角和为180度。两底角相加和已大于等于180度。不符合客观事实，无法构成三角形。因此假设不成立。所以等腰三角形的底角是锐角。原命题得证。
再如：例: 设两个实数a和b，试证明:若a2+ b2=0，则a、b必须同时为0。这道题看似好像挺简单，但是如果正向推理，还有一定的难度。但如果用逆向思维来证明就会很简单。证明:假设a、b至少有一个数不为0，则有a2+ b2﹥0，与已知相矛盾，所以假设不成立，原式成立。
用反面思考方法的逆向运用易繁就简，可把复杂问题转变为简便的问题，但要注意思考时一定要考虑全面，绝无遗漏，适当运用。
二、在数学概念的教学中培养学生逆向思维能力
在概念教学中，对有些重要的概念，教师必须引导学生从逆向、多角度去进行思考，找出概念的本质属性。例如，初一代数课本中对互为倒数的定义是:乘积为1的两个数叫做互为倒数。在讲述概念时，可反间学生:互为倒数的两个数有何特征?5的倒数是什么数？弄清这些问题以帮助学生深刻理解倒数的概念。又如，讲绝对值概念时，可问:绝对值是3的数是什么数?什么数的绝对值是2.5?还可结合数轴上的点所表示的数来进行分析，使学生能从代数几何两个角度去加深对绝对值概念的理解。通过逆向理解概念，能加深对概念的理解，提高掌握概念的准确性。
三、在数学公式的教学中培养学生逆向思维能力
数学中的公式大多数是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。在公式的教学中，若能培养学生灵活地逆用公式，再解题时就能得心应手，逆向思维能力将会不断提高。逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。数学中的公式很多，要求学生记忆公式时不但要“正记”，而且要不断地进行“逆记”和“逆写”训练。记忆公式要善于找出公式由左向右的特点及功能，同时也要相应找出公式由右向左的特点及功能。如三角公式由左向右，余弦变正弦、倍角变单角、升幂等；由右向左，正弦变余弦、单角变倍角、降幂等。只有了解这些特点及功能，运用起来才能得心应手。教师在讲授公式时，不但要做一些公式的正用练习，也要作一些公式的逆用练习。应将公式适当变形，公式的逆用范例紧接着原来公式后出现，这样可以加深学生的理解，给学生以完整的印象。对于一个公式从左至右的使用比较熟练，运用自如。但反过来从右至左的使用或变形使用，往往比较生疏、困难。这也从反面说明了培养学生逆向思维的重要性。
一些数学问题，如果运用公式从正面求解，有时会很困难，甚至难以下手，而当引导学生逆用公式与法则从反面去考虑时，却往往很快找到解决方法，使问题得到顺利解决。
例1 分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 (在有理数范围内)
分析：按分解因式的基本步骤，此题却无从下手。因此应从反面去考虑，先对(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)进行重组相乘并展开得:(x2+5x)2+10(x2+5x)+24，然后用分解因式的方法进行分解。
解：原式= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
= (x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
= (x2+5x)2+10(x2+5x+25)
= (x2+5x+5)2
再如：已知：am=8，an=32，求：am+n的值。
分析：对于初一学生来说，m、n是求不出来的，只能考虑将同底数幂乘法法则逆用后得到结果。
解：am+n=am×an=8×32=216
此方法简单明确，一目了然，由此还可以激发学生学习数学的兴趣，可达到事半功倍的目的。
四、逆向证明命题培养学生逆向思维能力
有些命题，从顺向证明有时很困难，这时可采用反证法。反证法是培养学生逆向思维的一种有效的方法，教师在讲述反证法时，要着重引导学生理解反证法的基本思想，教会他们学会假设和掌握证明的步骤，让学生从反证法中品尝逆向思维的甜头，从而提高逆向思维的能力。这个方法在代数、几何中都有广泛的应用，特别在几何教学的开始阶段，因学过的定理少，好多命题从顺向证明很困难，只能采取反证法，有关这方面的例子，课本上屡见不鲜。
总之，科学有效的思维方法为教师和学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式。本着以人为本，注重个性发展的教育新思路，强化学生的逆向思维能力、创造性思维与综合实践能力，不断提高学生的学习效率和完善教师的教学艺术，为社会培养高素质人才。