〔关键词〕 题目；推广；应用
　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463（2009）06（B）—0056—01
　　
　　 一、题目
　　△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于-，求顶点C的轨迹方程．
　　解：设顶点C的坐标为（x，y），依据题意得
　　 •=-，
　　 化简得：
　　 +=1，
　　 因A、B、C三点不共线，故顶点C的轨迹方程为 +=1（y≠0）．
　　 二、推广
　　由-=-推广得：
　　 若△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-a，0）、（a，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于-（a＞b＞0），则顶点C的轨迹方程为：+=1（y≠0）．
　　 性质1如图1，椭圆+=1上不在长（短）轴端点的点与其长（短）轴的两端点A、B的连线的斜率之积等于定值-．
　　证明：不妨设点A、B是长轴的两端点，设点C的坐标为（x0，y0）（x0≠±a），则kAC=，kBC=.
　　∵C（x0，y0）在椭圆+=1上，∴+=1.
　　 变形得： y02==-，
　　∴kAC•kBC=•===
　　-．
　　 当点A、B为短轴的两个端点时，证明方法相同．
　　性质2如图2，椭圆+=1上任一点P到任一直径（通过椭圆中心的弦）两端点A、B的连线的斜率之积等于定值-（PA、PB不平行于坐标轴）．证明（略）
　　性质3椭圆+=1上的任意一条不和坐标轴平行且不过原点的弦AB的斜率与此弦中点M和椭圆中心连线的斜率之积等于定值-．
　　证明：因为直线AB不平行于坐标轴且不过原点，所以可设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程得方程组y=kx+m+=1 消去y得：
　　x2（+）+x+=0，
　　∴x1+x2=-=-．
　　设中点M的坐标为（x0，y0），则x0==-，
　　y0=kx0+m=-+m=，
　　∴kOM===-，
　　 ∴ kAB•kOM=k（-）=-.
　　 三、应用
　　例：已知一直线与椭圆4x2+9y2=39相交于A、B两点，弦AB的中点为M（1，1），求直线AB的方程．
　　解：kOM=1，M是弦AB的中点，根据性质3有kOM•kAB=-，从而kAB=-，又因为M（1，1）是弦AB的中点，由点斜式得直线AB的方程为
　　y-1=-（x-1）.
　　整理得： 4x+9y-13=0．