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【摘要】人教版数学教学“三角形的面积计算公式”时采用“双拼法”，公式表达与几何解释简单易懂，但学生缺乏图形拼组的学习经验，单个三角形转化的方法又有难度，使得教师在教学时引导痕迹过重。本文尝试从学生的角度入手，讨论三角形面积的教学策略，这些教学策略顺着学生的思维发展轨迹，使学习活动的设计更贴近学生，真正做到以生为本，顺学而教。
【关键词】顺学而教 三角形的面积 教学策略
人教版数学以两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的“双拼法”为主要方法来推导三角形的面积计算公式，承接了平行四边形的面积计算公式，公式表达和几何直观联系紧密，易于学生联系图形和公式之间的关系。但求平行四边形的面积时采用沿高剪开割补的转化方法，学生又缺乏图形拼组的经验。因此，学生理解“双拼法”不难，怎么想到“双拼法”反而有难度。
一、从人教版教材探究学生的知识起点
人教版的图形面积教学部分，以单位面积度量图形为基本方法，以长方形为基础图形，依次将平行四边形转化为长方形，将三角形转化为平行四边形。但在转化方法上却经历了图形单侧先割后补—图形拼组这样的跳跃。在教学如何计算长方形、平行四边形的面积时都有用单位面积量一量、数一数、算一算的过程，而在教学三角形的面积计算公式时却省略了格子图和计算面积的过程，直接跳到了三角形面积计算公式的推导上。
将三角形转化为已知图形的方法较多，人教版教材中仅仅出现了“双拼法”，其他方法需不需要介绍，学生是否要掌握，就很难取舍了。
二、通过动手操作探究学生的思维过程
教师为A、B两个班共67名五年级学生（已经学习了平行四边形的面积计算公式）提供三角形纸片，研究这批学生在探索三角形的面积计算公式时的思维过程。
1.原有的转化方法失效
教师第一次提供给A班32名学生每人一个非等腰三角形纸片，其中有28名学生利用转化成平行四边形的经验，将三角形沿高剪开再拼组，但全部学生都无法将三角形转化成平行四边形或长方形。
教师第二次提供给A班每个学生一个非等腰三角形纸片，仅有3名学生能采取如图1所示的双侧割补法将三角形转化为长方形，其他学生均转化失败，并且没有学生想到用多个三角形进行拼组。
2.新的转化方法突兀出现
教师提供给B班35名学生多个不同形状的三角形，62.56%的学生会利用多个三角形进行图形的拼组，但教师的教学铺垫痕迹过重。由于单个三角形转化的难度，学生在利用两个相同的三角形拼成一个平行四边形后，就不再做其他尝试了。
二、三角形面积教学的策略
1.搭桥牵线，让“双拼法”不是空穴来风
教师可以提供给学生等腰和非等腰两种三角形纸片进行操作，学生借助沿高剪拼的图形转化经验，会出现转化成功和不成功两种结果。教师引导学生对比结果，反思原因，從而获取成功转化不等腰三角形的经验：（1）不沿高剪；（2）两个完全一样的三角形可以拼成长方形或平行四边形。
2.借助格子图，提供合适的形状素材
对C、D两个班共65名五年级学生（已经学习了平行四边形的面积计算公式），教师提供给C班的学习素材如图3，提供给D班的学习素材如图4。
数据显示（如图5），学生对格子图上三角形转化的成功率都高于没有格子图的三角形，因此可采用格子图辅助学生突破单个三角形的转化难点。学生转化直角三角形时容易受直角的影响而局限了思路，转化钝角三角形时容易受到高在三角形外面的干扰，因此可提供给学生如图6的学习素材。
3.釜底抽薪，先教学三角形的面积
（1）转化方法的正迁移
既然平行四边形的面积教学中转化方法不能对三角形的面积转化有所借鉴，平行四边形的面积计算公式对三角形的面积计算公式又有负迁移，那可以尝试先教学三角形的面积。
如图7，这三种三角形面积的转化方法都不依赖于平行四边形的面积计算公式，反过来还可以运用到推导平行四边形的面积计算公式中来（如图8）。
（2）另辟蹊径，几何证明
小学数学中“图形与几何”领域的教学偏向于培养学生合情推理的能力，初中阶段偏向于培养学生演绎推理的能力，从而造成初小脱节。因此，在小学“图形与几何”的教学中，不妨让学生接触一些简单的几何证明。新加坡的教材在三角形的面积教学中就进行了这种尝试。
对于格子图中的直角三角形，可以利用两个相同的直角三角形拼成一个长方形，计算直角三角形的面积为3×4÷2=6cm2。离开格子图，借助前面的计算经验，就可以推导出S直角三角形=ah÷2。
接着以直角三角形为知识基础，计算并推导锐角三角形和钝角三角形的面积计算公式。
S△ABC=S△BCD S△BDA
S=4×4÷2 2×4÷2=12
S=a1×h÷2 a2×h÷2
=（a1 a2）×h÷2
=AC（底）×h÷2
S△ABC=S△ABD-S△CDA
S=6×4÷2-2×4÷2=12-4=8
S=a1×h÷2-a2×h÷2
=（a1-a2）×h÷2
=BC（底）×h÷2
虽然这样的证明方法对学生的思维水平要求比较高，但不妨早一点让学生接触，不要求掌握，但试着理解方法。
4.以算促理解，抽象出三角形的面积计算公式
教师将D班中能够成功转化锐角三角形的19名学生随机分为两组（一组10人，一组9人），提供两种不同的学习单如图12。
A组能推导出面积计算公式的学生比例为70%，而B组仅为22.2%，可见借助具体的数字运算能够帮助学生更好地理解三角形的底、高与面积之间的关系。
5.用“读图读式”理解多种转化方法
当学生们出现多种方法时，怎么处理？可以参考日本小学数学教材中的方法——“读式”。
图中日文翻译为：“用各种方法求右图底为8、高为6的三角形的面积，算式分别为（8×6）÷2，8×（6÷2），（8÷2）×6，请说出每道算式对应的是哪幅图，并说明原因。”
当学生出现不同的转化方法时，教师可以先展示转化的示意图，让其他学生先读图，思考：“先转化成什么图形，转化后面积变了吗？”再读算式，说一说算式中各个数字分别代表三角形的什么，通过读图读式拓展学生三角形的转化思路。
6.利用画三角形丰富对三角形面积的认识
画一个底是6cm、高是4cm的三角形，能够画出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的学生人数依次减少。如果让学生判断它们之间的面积大小关系，学生从单个图形上很难进行判断，甚至会干扰学生对三角形的面积计算公式的理解。因此，利用几何画板的动态演示功能，帮助学生直观感受同底等高的三角形面积相等，从而更深刻地体会三角形的面积计算公式不受三角形形状的干扰。
教材就像在一个杯子中投入的石块，占据了杯子中绝大多数的位置，但这并不表示杯子就满了，石头之间的空隙还可以倒入水，水就是教师对教材的二度开发。今天的学生也不再是一个容积固定的杯子，更像是一弯小池。作为教师要找到学生的思维哪里堵住了，哪里停住了，帮助引、疏通，从不同角度选择不同的教学策略，顺应、拓展、提升学生的思维，从而做到以生为本，顺生而教。？筻
【参考文献】
[1]罗卉芳.中国、新加坡小学数学教材中“空间与图形”内容领域比较研究[D].宁波大学，2012.
[2]霍新安.中日小学数学“图形与几何”内容难度的比较研究[D].西南大学，2014.
[3]胡旺.中日小学数学教科书比较[D].湖南师范大学，2008.
【关键词】顺学而教 三角形的面积 教学策略
人教版数学以两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的“双拼法”为主要方法来推导三角形的面积计算公式，承接了平行四边形的面积计算公式，公式表达和几何直观联系紧密，易于学生联系图形和公式之间的关系。但求平行四边形的面积时采用沿高剪开割补的转化方法，学生又缺乏图形拼组的经验。因此，学生理解“双拼法”不难，怎么想到“双拼法”反而有难度。
一、从人教版教材探究学生的知识起点
人教版的图形面积教学部分，以单位面积度量图形为基本方法，以长方形为基础图形，依次将平行四边形转化为长方形，将三角形转化为平行四边形。但在转化方法上却经历了图形单侧先割后补—图形拼组这样的跳跃。在教学如何计算长方形、平行四边形的面积时都有用单位面积量一量、数一数、算一算的过程，而在教学三角形的面积计算公式时却省略了格子图和计算面积的过程，直接跳到了三角形面积计算公式的推导上。
将三角形转化为已知图形的方法较多，人教版教材中仅仅出现了“双拼法”，其他方法需不需要介绍，学生是否要掌握，就很难取舍了。
二、通过动手操作探究学生的思维过程
教师为A、B两个班共67名五年级学生（已经学习了平行四边形的面积计算公式）提供三角形纸片，研究这批学生在探索三角形的面积计算公式时的思维过程。
1.原有的转化方法失效
教师第一次提供给A班32名学生每人一个非等腰三角形纸片，其中有28名学生利用转化成平行四边形的经验，将三角形沿高剪开再拼组，但全部学生都无法将三角形转化成平行四边形或长方形。
教师第二次提供给A班每个学生一个非等腰三角形纸片，仅有3名学生能采取如图1所示的双侧割补法将三角形转化为长方形，其他学生均转化失败，并且没有学生想到用多个三角形进行拼组。
2.新的转化方法突兀出现
教师提供给B班35名学生多个不同形状的三角形，62.56%的学生会利用多个三角形进行图形的拼组，但教师的教学铺垫痕迹过重。由于单个三角形转化的难度，学生在利用两个相同的三角形拼成一个平行四边形后，就不再做其他尝试了。
二、三角形面积教学的策略
1.搭桥牵线，让“双拼法”不是空穴来风
教师可以提供给学生等腰和非等腰两种三角形纸片进行操作，学生借助沿高剪拼的图形转化经验，会出现转化成功和不成功两种结果。教师引导学生对比结果，反思原因，從而获取成功转化不等腰三角形的经验：（1）不沿高剪；（2）两个完全一样的三角形可以拼成长方形或平行四边形。
2.借助格子图，提供合适的形状素材
对C、D两个班共65名五年级学生（已经学习了平行四边形的面积计算公式），教师提供给C班的学习素材如图3，提供给D班的学习素材如图4。
数据显示（如图5），学生对格子图上三角形转化的成功率都高于没有格子图的三角形，因此可采用格子图辅助学生突破单个三角形的转化难点。学生转化直角三角形时容易受直角的影响而局限了思路，转化钝角三角形时容易受到高在三角形外面的干扰，因此可提供给学生如图6的学习素材。
3.釜底抽薪，先教学三角形的面积
（1）转化方法的正迁移
既然平行四边形的面积教学中转化方法不能对三角形的面积转化有所借鉴，平行四边形的面积计算公式对三角形的面积计算公式又有负迁移，那可以尝试先教学三角形的面积。
如图7，这三种三角形面积的转化方法都不依赖于平行四边形的面积计算公式，反过来还可以运用到推导平行四边形的面积计算公式中来（如图8）。
（2）另辟蹊径，几何证明
小学数学中“图形与几何”领域的教学偏向于培养学生合情推理的能力，初中阶段偏向于培养学生演绎推理的能力，从而造成初小脱节。因此，在小学“图形与几何”的教学中，不妨让学生接触一些简单的几何证明。新加坡的教材在三角形的面积教学中就进行了这种尝试。
对于格子图中的直角三角形，可以利用两个相同的直角三角形拼成一个长方形，计算直角三角形的面积为3×4÷2=6cm2。离开格子图，借助前面的计算经验，就可以推导出S直角三角形=ah÷2。
接着以直角三角形为知识基础，计算并推导锐角三角形和钝角三角形的面积计算公式。
S△ABC=S△BCD S△BDA
S=4×4÷2 2×4÷2=12
S=a1×h÷2 a2×h÷2
=（a1 a2）×h÷2
=AC（底）×h÷2
S△ABC=S△ABD-S△CDA
S=6×4÷2-2×4÷2=12-4=8
S=a1×h÷2-a2×h÷2
=（a1-a2）×h÷2
=BC（底）×h÷2
虽然这样的证明方法对学生的思维水平要求比较高，但不妨早一点让学生接触，不要求掌握，但试着理解方法。
4.以算促理解，抽象出三角形的面积计算公式
教师将D班中能够成功转化锐角三角形的19名学生随机分为两组（一组10人，一组9人），提供两种不同的学习单如图12。
A组能推导出面积计算公式的学生比例为70%，而B组仅为22.2%，可见借助具体的数字运算能够帮助学生更好地理解三角形的底、高与面积之间的关系。
5.用“读图读式”理解多种转化方法
当学生们出现多种方法时，怎么处理？可以参考日本小学数学教材中的方法——“读式”。
图中日文翻译为：“用各种方法求右图底为8、高为6的三角形的面积，算式分别为（8×6）÷2，8×（6÷2），（8÷2）×6，请说出每道算式对应的是哪幅图，并说明原因。”
当学生出现不同的转化方法时，教师可以先展示转化的示意图，让其他学生先读图，思考：“先转化成什么图形，转化后面积变了吗？”再读算式，说一说算式中各个数字分别代表三角形的什么，通过读图读式拓展学生三角形的转化思路。
6.利用画三角形丰富对三角形面积的认识
画一个底是6cm、高是4cm的三角形，能够画出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的学生人数依次减少。如果让学生判断它们之间的面积大小关系，学生从单个图形上很难进行判断，甚至会干扰学生对三角形的面积计算公式的理解。因此，利用几何画板的动态演示功能，帮助学生直观感受同底等高的三角形面积相等，从而更深刻地体会三角形的面积计算公式不受三角形形状的干扰。
教材就像在一个杯子中投入的石块，占据了杯子中绝大多数的位置，但这并不表示杯子就满了，石头之间的空隙还可以倒入水，水就是教师对教材的二度开发。今天的学生也不再是一个容积固定的杯子，更像是一弯小池。作为教师要找到学生的思维哪里堵住了，哪里停住了，帮助引、疏通，从不同角度选择不同的教学策略，顺应、拓展、提升学生的思维，从而做到以生为本，顺生而教。？筻
【参考文献】
[1]罗卉芳.中国、新加坡小学数学教材中“空间与图形”内容领域比较研究[D].宁波大学，2012.
[2]霍新安.中日小学数学“图形与几何”内容难度的比较研究[D].西南大学，2014.
[3]胡旺.中日小学数学教科书比较[D].湖南师范大学，2008.