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结合近两年高考中出现的一些不等式问题，笔者经过深思熟虑，反复推敲，发现了它们的一些相通之处，从而进行分类整合，希望对我们的后续教学有所帮助.
不等式在近两年的高考中占据了非常重要的地位，而其中的二元一次不等式（组）与基本不等式又大出风头，所有这一切除了循规蹈矩的体现考纲要求以外，更是在教材习题的基础上大玩花样，亮点纷呈，让我们带着欣赏的眼光再来回顾这些经典题目.
亮点一、 围绕公式 巧妙应变
例1 （2011重庆理第7题）已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是（ ）
A． 72
B． 4
C． 92
D． 5
（巧妙应变：y=1a+4b
a2+b2=12+2+b2a+2ab≥12+2+2=92当且仅当a=23,b=43时等号成立）.
例2 （2010山东第14题）若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是 ．
（巧妙应变：因为x>0，所以xx2+3x+1=1x+1x+3，而x+1x≥2当且仅当x=1时等号成立，此时xx2+3x+1≤15，所以只需a≥15即可）.
例3 （2010江苏第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=( )2梯形的面积,则S的最小值是 .
（巧妙应变：转换为令AD=x(0 例4 （2010四川第11题）设a>b>0，则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
（巧妙应变：a(a-b)+1a(a-b)+ab+1ab≥4,当且仅当a=2,b=22时等号成立，易知最小值）.
点评:基本不等式：若a,b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”）是连接“和”与“积”不等关系的纽带，运用时应注意如何巧妙变形，使“和”或“积”成定值，同时不能忽略“一正”与“三相等”，以上高考试题的设计都是以基本不等式为核心，目的都是考查学生对于基本不等式是否达到熟练掌握的程度，从而体现考纲C级难度的要求.
亮点二、 源于课本 高于课本
例5 （苏教版必修5p80练习第3题）若x≥0，y≥0,2x+3y≤100,2x+y≤60,则z=6x+4y的最大值是 .
解法一：通过线性规划可解（过程略）.
解法二：（待定系数法）令6x+4y=α(2x+3y)+β(2x+y)，可推出α=12,β=52因为0≤12(2x+3y)≤50,0≤52(2x+y)≤150，所以6x+4y≤200.
例6 （2010江苏第12题）设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x2y4的最大值是 .
分析一：易知x>0,y>0，利用对数转换可得：lg3≤lgx+2lgy≤3lg2,2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3
先求出3lgx-4lgy的范围，即lgx3y4的范围，然后再导出x3y4范围即可.
分析二：（待定系数法）令x3y4=(xy2)x2yβ可推出α=-1,β=2，
因为18≤(xy2)-1≤13,16≤x2y2≤81,所以2≤x3y4≤27 .
点评:在课本原始题目的基础上给出新的数学情景，既能考查学生对原始题目本质的理解，又能考查学生在新的情景下分析问题、解决问题的能力.对比例题5与例题6中的法二，我们不难发现和差运算与乘除运算的相通之处，要想解决问题通过类比即可，我想作为一线的教师应该明白高考的导向.同时还必须体会到，改题、编题不是为了猜题，改编所得题目仍然体现了数学思想、方法，并且也起到了考查学生的运算能力的目的，并最终达到提高学生运用数学的能力.
亮点三、 图形转换 异曲同工
例7 （苏教版必修5p95练习14）如图,ABCD为梯形,其中AB=a,CD=b,设O为对角线的交点，GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH,KL,EF,MN与代数式a+b2,ab,21a+1b,a2+b22之间的关系，并据此得到它们之间的一个大小关系，你能用基本不等式证明所得的结论吗？
解：因为GH=a+b2,KL=ab,EF=21a+1b,MN=a2+b22.
由MN>GH>KL>EF,可得a2+b22>a+b2>ab>21a+1b.证略.
例8 （2010湖北第5题）设a>0，b>0,称2aba+b为a，b的调和平均数．如图，C为线殴AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数．
本题在例题7的基础上让我们再一次感受到有关线段与一些特殊表达式的联系，如下：
OD>CD>DEa+b2>ab>21a+1b
点评:都是从特殊图形出发，都是围绕基本不等式这一个知识点，又都是体现了数形结合的思想，题目的构思来源于教材，但又不拘泥教材，同时不回避重点.我想如果我们的老师在讲解的时候多一点阐发，那对学生而言是多么幸福的一件事啊！运用上面的有关结论，请看以下两题.
例9 （2010安徽文第15题）若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a．b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．（答案为①③⑤）
① ab≤1；② a+b≤2；③ a2+b2≥2；④ a2+b2≥3;⑤ 1a+1b≥2
例10 （2011年上海理第15题）若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
答案:D
A． a2+b2>2ab
B． a+b≥2ab
C． 1a+1b>2ab
D． ba+ab≥2
亮点四、 精心设计 回味无穷
参照例题5，我们对于例题11、例题12及例题13是倍感亲切，感觉线性规划的问题得到了进一步的升华.
例11 （2010浙江第7题）若实数x,y，满足不等式组x+3y-3≥0,
2x-y-3≤0,
x-my+1≥0,且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
解：令z=x+y则y=-x+z，由图形易知：y=-x+z过直线2x-y-3=0和直线x-my+1=0的交点M时z取最大值.
而由x-my+1=0
2x-y-3=0M3m+12m-1,52m-1
则3m+12m-1+52m-1=9，整理得:15m=15即m=1，故选C.
例12 （2011年湖南理第7题）设m＞1，在约束条件y≥x
y≤mx
x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）
A． （1，1+2）
B． （1+2，+∞）
C． （1,3 ）
D． （3，+∞）
答案:A
例13 （2010安徽理第13题）设x,y满足约束条件2x-y+2≥0
8x-y-4≤0
x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为 .
分析：不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0)(0,2),12,0,(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8，所以8=ab+4ab=4，所以a+b≥2ab=4，在a=b=2时是等号成立.所以a+b的最小值为4.
点评:线性规划问题一改以前风格，大胆创新，以逆向思维的模式解决含参数问题，重点考查学生对此类问题的本质的理解情况.此类问题通常先研究相关的可行区域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点一般能保证使目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入即可，而例题13的条件又渗透了a+b与ab的关系，显然要利用基本不等式.
以上这些有关不等式的高考题目与平时教材的内容相比增加了一定的难度，但是每道题都基本上体现了形变神不变.不同的题目，类似的条件，看似简单，方法却多变.学习数学的目的就是为了学会解决
(上接第71页)
解析：由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，如图23所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
点评：本题考查对空间几何体三视图的理解与应用，考查空间想象能力及抽象概括能力，难度适中.
例16 图24是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题：
① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
② 存在四棱锥，其正（主）视图、俯视图如图；
③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图.
其中真命题的个数是（ ）
A. 3B. 2
C. 1D. 0
图24
图25
解析：① 正确，如图25所示，一直三棱柱，其中四边形BCC1B1与四边形BAA1B1是全等的矩形，且面BCC1B1⊥面BAA1B1，即满足要求.
图26
图27
② 正确，如图26所示，一正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，即满足要求.
③ 正确，横卧的圆柱即可，如图27所示.
综上可知，真命题的个数是3，故选A.
点评：本题以对几何体三视图的理解为载体考查了对命题真假的判断，本题对空间想象能力要求较高，求解本题要熟悉三棱柱、四棱柱、圆柱在不同放置情况下的三视图的特征，本题难度较大.
问题，而少一些模仿，多一些类比；少一点重复，多一点归纳，相信数学教学只有打破常规，转变观念，有意识地培养学生的变通能力，那么学生的思维品质，才会得到本质上的提高.
不等式在近两年的高考中占据了非常重要的地位，而其中的二元一次不等式（组）与基本不等式又大出风头，所有这一切除了循规蹈矩的体现考纲要求以外，更是在教材习题的基础上大玩花样，亮点纷呈，让我们带着欣赏的眼光再来回顾这些经典题目.
亮点一、 围绕公式 巧妙应变
例1 （2011重庆理第7题）已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是（ ）
A． 72
B． 4
C． 92
D． 5
（巧妙应变：y=1a+4b
a2+b2=12+2+b2a+2ab≥12+2+2=92当且仅当a=23,b=43时等号成立）.
例2 （2010山东第14题）若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是 ．
（巧妙应变：因为x>0，所以xx2+3x+1=1x+1x+3，而x+1x≥2当且仅当x=1时等号成立，此时xx2+3x+1≤15，所以只需a≥15即可）.
例3 （2010江苏第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=( )2梯形的面积,则S的最小值是 .
（巧妙应变：转换为令AD=x(0
A. 1B. 2
C. 3D. 4
（巧妙应变：a(a-b)+1a(a-b)+ab+1ab≥4,当且仅当a=2,b=22时等号成立，易知最小值）.
点评:基本不等式：若a,b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”）是连接“和”与“积”不等关系的纽带，运用时应注意如何巧妙变形，使“和”或“积”成定值，同时不能忽略“一正”与“三相等”，以上高考试题的设计都是以基本不等式为核心，目的都是考查学生对于基本不等式是否达到熟练掌握的程度，从而体现考纲C级难度的要求.
亮点二、 源于课本 高于课本
例5 （苏教版必修5p80练习第3题）若x≥0，y≥0,2x+3y≤100,2x+y≤60,则z=6x+4y的最大值是 .
解法一：通过线性规划可解（过程略）.
解法二：（待定系数法）令6x+4y=α(2x+3y)+β(2x+y)，可推出α=12,β=52因为0≤12(2x+3y)≤50,0≤52(2x+y)≤150，所以6x+4y≤200.
例6 （2010江苏第12题）设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x2y4的最大值是 .
分析一：易知x>0,y>0，利用对数转换可得：lg3≤lgx+2lgy≤3lg2,2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3
先求出3lgx-4lgy的范围，即lgx3y4的范围，然后再导出x3y4范围即可.
分析二：（待定系数法）令x3y4=(xy2)x2yβ可推出α=-1,β=2，
因为18≤(xy2)-1≤13,16≤x2y2≤81,所以2≤x3y4≤27 .
点评:在课本原始题目的基础上给出新的数学情景，既能考查学生对原始题目本质的理解，又能考查学生在新的情景下分析问题、解决问题的能力.对比例题5与例题6中的法二，我们不难发现和差运算与乘除运算的相通之处，要想解决问题通过类比即可，我想作为一线的教师应该明白高考的导向.同时还必须体会到，改题、编题不是为了猜题，改编所得题目仍然体现了数学思想、方法，并且也起到了考查学生的运算能力的目的，并最终达到提高学生运用数学的能力.
亮点三、 图形转换 异曲同工
例7 （苏教版必修5p95练习14）如图,ABCD为梯形,其中AB=a,CD=b,设O为对角线的交点，GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH,KL,EF,MN与代数式a+b2,ab,21a+1b,a2+b22之间的关系，并据此得到它们之间的一个大小关系，你能用基本不等式证明所得的结论吗？
解：因为GH=a+b2,KL=ab,EF=21a+1b,MN=a2+b22.
由MN>GH>KL>EF,可得a2+b22>a+b2>ab>21a+1b.证略.
例8 （2010湖北第5题）设a>0，b>0,称2aba+b为a，b的调和平均数．如图，C为线殴AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数．
本题在例题7的基础上让我们再一次感受到有关线段与一些特殊表达式的联系，如下：
OD>CD>DEa+b2>ab>21a+1b
点评:都是从特殊图形出发，都是围绕基本不等式这一个知识点，又都是体现了数形结合的思想，题目的构思来源于教材，但又不拘泥教材，同时不回避重点.我想如果我们的老师在讲解的时候多一点阐发，那对学生而言是多么幸福的一件事啊！运用上面的有关结论，请看以下两题.
例9 （2010安徽文第15题）若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a．b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．（答案为①③⑤）
① ab≤1；② a+b≤2；③ a2+b2≥2；④ a2+b2≥3;⑤ 1a+1b≥2
例10 （2011年上海理第15题）若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
答案:D
A． a2+b2>2ab
B． a+b≥2ab
C． 1a+1b>2ab
D． ba+ab≥2
亮点四、 精心设计 回味无穷
参照例题5，我们对于例题11、例题12及例题13是倍感亲切，感觉线性规划的问题得到了进一步的升华.
例11 （2010浙江第7题）若实数x,y，满足不等式组x+3y-3≥0,
2x-y-3≤0,
x-my+1≥0,且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
解：令z=x+y则y=-x+z，由图形易知：y=-x+z过直线2x-y-3=0和直线x-my+1=0的交点M时z取最大值.
而由x-my+1=0
2x-y-3=0M3m+12m-1,52m-1
则3m+12m-1+52m-1=9，整理得:15m=15即m=1，故选C.
例12 （2011年湖南理第7题）设m＞1，在约束条件y≥x
y≤mx
x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）
A． （1，1+2）
B． （1+2，+∞）
C． （1,3 ）
D． （3，+∞）
答案:A
例13 （2010安徽理第13题）设x,y满足约束条件2x-y+2≥0
8x-y-4≤0
x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为 .
分析：不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0)(0,2),12,0,(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8，所以8=ab+4ab=4，所以a+b≥2ab=4，在a=b=2时是等号成立.所以a+b的最小值为4.
点评:线性规划问题一改以前风格，大胆创新，以逆向思维的模式解决含参数问题，重点考查学生对此类问题的本质的理解情况.此类问题通常先研究相关的可行区域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点一般能保证使目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入即可，而例题13的条件又渗透了a+b与ab的关系，显然要利用基本不等式.
以上这些有关不等式的高考题目与平时教材的内容相比增加了一定的难度，但是每道题都基本上体现了形变神不变.不同的题目，类似的条件，看似简单，方法却多变.学习数学的目的就是为了学会解决
(上接第71页)
解析：由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，如图23所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
点评：本题考查对空间几何体三视图的理解与应用，考查空间想象能力及抽象概括能力，难度适中.
例16 图24是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题：
① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
② 存在四棱锥，其正（主）视图、俯视图如图；
③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图.
其中真命题的个数是（ ）
A. 3B. 2
C. 1D. 0
图24
图25
解析：① 正确，如图25所示，一直三棱柱，其中四边形BCC1B1与四边形BAA1B1是全等的矩形，且面BCC1B1⊥面BAA1B1，即满足要求.
图26
图27
② 正确，如图26所示，一正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，即满足要求.
③ 正确，横卧的圆柱即可，如图27所示.
综上可知，真命题的个数是3，故选A.
点评：本题以对几何体三视图的理解为载体考查了对命题真假的判断，本题对空间想象能力要求较高，求解本题要熟悉三棱柱、四棱柱、圆柱在不同放置情况下的三视图的特征，本题难度较大.
问题，而少一些模仿，多一些类比；少一点重复，多一点归纳，相信数学教学只有打破常规，转变观念，有意识地培养学生的变通能力，那么学生的思维品质，才会得到本质上的提高.