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人教版二年级数学上册《数学广角（排列组合）》是教学研讨中广为展示的一节课。在优质课比赛中，一位青年教师所讲的这节课在一些環节的设计和处置方面引起了听课教师的争论，出现了在广义数学、学生认知范围、生活实际等层面不同答案如何处理的问题。为此，笔者想到了教学设计的“聚焦”问题。
先来说说这节课引起争议的问题。第一个问题在课的引入环节：“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”学生回答：“12和21。”教师认可之后说：“还可能是11和22。”对于教师提出的后两个答案，学生有些迷惑，听课教师对这个引导也有争议。第二个问题在新知探究后的巩固环节：“车子的尾号是由0、2、5组成的两位数，并且是可能出现的结果中从小到大的第三个数。车子的尾号是什么？”课堂上出现了三种答案：05、20、50。授课教师没有想到会出现这种情况，听课教师和学生对授课教师给出的答案50也没有信服。
为了以这节课出现的问题为例来说清楚教学设计中的“聚焦”问题，笔者先通过两道题来说说排列和组合的相关知识。
例题一：有从1到9共9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？解答：123和213是两个不同的三位数，对排列顺序有要求，这属于排列数的计算范畴。这个问题中，组一个数时任何一个号码球只能用一次，显然不会出现988、998之类的组合。我们可以这样想，百位数字有9种可能，十位数字就只有9-1=8种可能，个位数字应该只能有9-1-1=7种可能了。根据分步计数的原理，最终共有9×8×7=504个三位数。
回到课引入环节的问题：“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”联系使用行李箱密码的情境，每个位置有很多数字，的确可以出现11、22之类的数。按照这样的情境设计出了下题。
例题二：行李箱的密码由三位数组成，每一位都有0到9十个数字，那么行李箱一共可以设置出多少个不同的密码？解答：这道题对排列顺序有要求，显然是排列问题，但是这道题的情境与题一不同。题一中，九个号码球百位用了，十位和个位就用不了了，也就意味着不同数位上可以选择的可能性不同。而题二的情境中，组出的数在百位、十位、个位可以有重复的数字，所以每个数位都有10种可能，能组成的三位密码数有10×10×10=1000个。
有了上面两道排列组合题目及解题说明，下面来谈一谈教学设计中的聚焦问题。
一方面，教学设计要聚焦教材的编写目的。引入环节中“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”的问题，答案不必引向11和22。不但不要引向11和22，而且要设置“路障”，挡着11和22这样的答题是在排除某一个元素重复出现的问题。如：“用1、2和3组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？”“用三种颜色给地图上的两个城区涂上不同的颜色。”以上都是强调排列的元素不重复使用。在不重复的情况下才有了规律，才更容易发现规律。所以，密码锁的情境不建议在二年级课堂中出现，而应在学生理解和掌握了排列组合的基本思想方法之后，再灵活解决纷繁复杂的实际问题。
为什么在小学二年级设计排列组合这样的内容，是为了掌握定义和公式吗？显然不是的。这节课属于小学数学之“数与代数”领域中“探索规律”板块，这一板块的编排目的是让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。而这节课是要通过解决生活中排列组合之类的实际问题体会有序思考的好处，习得有序思考的方法，提高全面思考的意识和能力。整节课是要在解决问题的过程中学习数学，学生要经历的是分析问题、解决问题、得到方法的全过程，是一次探索发现之旅。
明确了教材安排这部分内容的意图，就明白为什么教材中强调“每个两位数的十位数和个位数不能一样”“两个城区涂上不同的颜色”，这是由数学的严谨所决定的，是在规避一个元素重复出现。所以，教师在本节课的教学设计中要聚焦教材的编写目的，规避一个元素的重复使用，之后才能帮助学生开启有序思考、全面思考的探索之旅。
另一方面，教学设计要聚焦教学目标的达成。这节课的教学目标是让学生通过解决简单的数学排列问题，培养学生有序、全面思考问题的意识。基于这个目标，引入环节问题的选择、例题的处置、练习的设计都要仔细斟酌、取舍。本节课的引入环节可以是从两个元素中选出两个元素的排列，但要规避一个元素重复使用的问题;探索环节应该是从三个元素中选出两个元素的排列问题，这个环节是有序思维、全面思考意识和能力形成的关键阶段;练习阶段可以延伸到四个元素中选出两个元素的排列问题，但不是必须要延伸，把从三个元素中选出两个元素的排列问题练到位即可。
教学设计应该聚焦教学目标的达成，从这个角度上看，这节课上巩固练习环节的那个题目设计显然是失败的。“车子的尾号是由0、2、5组成的两位数，并且是可能出现的结果中从小到大的第三个数。车子的尾号是什么？”这道练习题首先是难度大，要排列出所有情况，还要排序得出答案，作为第一课时的初步练习来说难度太大。其次，这个问题情境会引起数学学习经验和实际生活经验的认知冲突。按照车号数字这样的实际生活场景，有个别学生排出了“02、05、20、25、50、52”这样的答案，排在第三个的是20。当这个学生讲出自己的想法时，有学生还补充了车号00，认为排在第三个的是05。这是按照车号出现的实际生活场景思考的结果，因为01号、02号这样的生活经验学生是有的。多数学生排出的两位数是20、25、50、52，认为排在第三个的数是50。这显然是基于他们二年级学生的数学认知逻辑排出来的，因为数学的学习使他们认识到，十位上的数是0就要省了不写，所以他们删掉了00、02、05这三种情况。这道练习题让学生思维混乱，妨碍了教学目标的达成。所以，这道练习题可以修改为：“用0、2、5组出个位数字和十位数字不同的两位数，一共可以组出多少个？”这样的练习题才有助于教学目标的达成。
综上所述，教师在进行教学设计时要聚焦教材的编写目的来制定教学目标，更要聚焦教学目标的达成来进行引入环节、探究环节和巩固提升环节的教学设计。毕竟，好的教学设计是上好课的前提。
（责编 马孟贤）
先来说说这节课引起争议的问题。第一个问题在课的引入环节：“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”学生回答：“12和21。”教师认可之后说：“还可能是11和22。”对于教师提出的后两个答案，学生有些迷惑，听课教师对这个引导也有争议。第二个问题在新知探究后的巩固环节：“车子的尾号是由0、2、5组成的两位数，并且是可能出现的结果中从小到大的第三个数。车子的尾号是什么？”课堂上出现了三种答案：05、20、50。授课教师没有想到会出现这种情况，听课教师和学生对授课教师给出的答案50也没有信服。
为了以这节课出现的问题为例来说清楚教学设计中的“聚焦”问题，笔者先通过两道题来说说排列和组合的相关知识。
例题一：有从1到9共9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？解答：123和213是两个不同的三位数，对排列顺序有要求，这属于排列数的计算范畴。这个问题中，组一个数时任何一个号码球只能用一次，显然不会出现988、998之类的组合。我们可以这样想，百位数字有9种可能，十位数字就只有9-1=8种可能，个位数字应该只能有9-1-1=7种可能了。根据分步计数的原理，最终共有9×8×7=504个三位数。
回到课引入环节的问题：“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”联系使用行李箱密码的情境，每个位置有很多数字，的确可以出现11、22之类的数。按照这样的情境设计出了下题。
例题二：行李箱的密码由三位数组成，每一位都有0到9十个数字，那么行李箱一共可以设置出多少个不同的密码？解答：这道题对排列顺序有要求，显然是排列问题，但是这道题的情境与题一不同。题一中，九个号码球百位用了，十位和个位就用不了了，也就意味着不同数位上可以选择的可能性不同。而题二的情境中，组出的数在百位、十位、个位可以有重复的数字，所以每个数位都有10种可能，能组成的三位密码数有10×10×10=1000个。
有了上面两道排列组合题目及解题说明，下面来谈一谈教学设计中的聚焦问题。
一方面，教学设计要聚焦教材的编写目的。引入环节中“行李箱密码锁的密码是由1和2组成的两位数，密码是几？”的问题，答案不必引向11和22。不但不要引向11和22，而且要设置“路障”，挡着11和22这样的答题是在排除某一个元素重复出现的问题。如：“用1、2和3组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？”“用三种颜色给地图上的两个城区涂上不同的颜色。”以上都是强调排列的元素不重复使用。在不重复的情况下才有了规律，才更容易发现规律。所以，密码锁的情境不建议在二年级课堂中出现，而应在学生理解和掌握了排列组合的基本思想方法之后，再灵活解决纷繁复杂的实际问题。
为什么在小学二年级设计排列组合这样的内容，是为了掌握定义和公式吗？显然不是的。这节课属于小学数学之“数与代数”领域中“探索规律”板块，这一板块的编排目的是让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。而这节课是要通过解决生活中排列组合之类的实际问题体会有序思考的好处，习得有序思考的方法，提高全面思考的意识和能力。整节课是要在解决问题的过程中学习数学，学生要经历的是分析问题、解决问题、得到方法的全过程，是一次探索发现之旅。
明确了教材安排这部分内容的意图，就明白为什么教材中强调“每个两位数的十位数和个位数不能一样”“两个城区涂上不同的颜色”，这是由数学的严谨所决定的，是在规避一个元素重复出现。所以，教师在本节课的教学设计中要聚焦教材的编写目的，规避一个元素的重复使用，之后才能帮助学生开启有序思考、全面思考的探索之旅。
另一方面，教学设计要聚焦教学目标的达成。这节课的教学目标是让学生通过解决简单的数学排列问题，培养学生有序、全面思考问题的意识。基于这个目标，引入环节问题的选择、例题的处置、练习的设计都要仔细斟酌、取舍。本节课的引入环节可以是从两个元素中选出两个元素的排列，但要规避一个元素重复使用的问题;探索环节应该是从三个元素中选出两个元素的排列问题，这个环节是有序思维、全面思考意识和能力形成的关键阶段;练习阶段可以延伸到四个元素中选出两个元素的排列问题，但不是必须要延伸，把从三个元素中选出两个元素的排列问题练到位即可。
教学设计应该聚焦教学目标的达成，从这个角度上看，这节课上巩固练习环节的那个题目设计显然是失败的。“车子的尾号是由0、2、5组成的两位数，并且是可能出现的结果中从小到大的第三个数。车子的尾号是什么？”这道练习题首先是难度大，要排列出所有情况，还要排序得出答案，作为第一课时的初步练习来说难度太大。其次，这个问题情境会引起数学学习经验和实际生活经验的认知冲突。按照车号数字这样的实际生活场景，有个别学生排出了“02、05、20、25、50、52”这样的答案，排在第三个的是20。当这个学生讲出自己的想法时，有学生还补充了车号00，认为排在第三个的是05。这是按照车号出现的实际生活场景思考的结果，因为01号、02号这样的生活经验学生是有的。多数学生排出的两位数是20、25、50、52，认为排在第三个的数是50。这显然是基于他们二年级学生的数学认知逻辑排出来的，因为数学的学习使他们认识到，十位上的数是0就要省了不写，所以他们删掉了00、02、05这三种情况。这道练习题让学生思维混乱，妨碍了教学目标的达成。所以，这道练习题可以修改为：“用0、2、5组出个位数字和十位数字不同的两位数，一共可以组出多少个？”这样的练习题才有助于教学目标的达成。
综上所述，教师在进行教学设计时要聚焦教材的编写目的来制定教学目标，更要聚焦教学目标的达成来进行引入环节、探究环节和巩固提升环节的教学设计。毕竟，好的教学设计是上好课的前提。
（责编 马孟贤）