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摘要：对《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》一课，从课题引入背景、知识发生过程等角度解读教材，把握整体结构。由此，进行教学思考，体悟育人价值：教学生数学地发现和提出问题;渗透“控制变量，分解问题”“从熟悉到陌生、从简单到复杂”、类比、数形结合、归纳、演绎等数学思想和方法，培养理性思维和精神。
关键词：三角函数的图像教材解读数学思想方法
近日，南京市高中数学渠东剑名师工作室“深度研课”活动在南京市第二十七高级中学举行，课题是苏教版高中数学必修4中的“函数y=Asin（ωx+φ）的图像”，采用同课异构的形式。笔者参与其中，认真听课、评课，与专家交流，加深了对这节课教材编写意图的理解，提升了对这节课教学目标定位的认识。
一、教材解读：把握整体结构
数学知识总是处于一定的结构关联中的，具有“前后一致、逻辑连贯”的特点。研读教材，要厘清课时内容在所属知识体系中所处的地位，把握課题引入和知识发生的过程;要灵活处理数学知识结构与学生认知结构的关系，实现二者的有机结合。
（一）关注课题引入背景
这节课教材从物理学中的简谐振动模型引入，给出了位移和时间的函数关系s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0），并指明解析式中A、ω、φ的实际意义。这样的安排便于学生体会到函数y=Asin（ωx+φ）具有现实意义和研究价值，在物理学、工程技术中具有广泛的应用;并意识到它具有周期性，与函数y=sinx有类似的性质和密切的联系，从而产生学习倾向。
接下来，教材提出了本节课的核心问题：函数y=Asin（ωx+φ）的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？要求学生进行逻辑思辨，寻找研究的突破口。事实上，函数y=sinx是函数y=Asin（ωx+φ）“大家族”中的一员，它们是局部与整体的关系。从特例出发，从原有认知出发，这也渗透了从特殊到一般、从已知到未知的归纳和转化的思维过程;反过来，也体现了演绎和转化的运用，即在函数y=Asin（ωx+φ）中通过赋值A=1、ω=1、φ=0得到函数y=sinx。
这样的课题引入注重知识背景的挖掘，贴近学习的实际需求，有利于研究的开展。但是，教材对于物理模型的处理过于简单，以直接告知的方式会让人感觉不着边际：函数解析式s=Asin（ωt+φ）是怎么来的？如果留下“漏洞”继续学习，显然不利于学生体会学习的必要性和思维的严谨性。所以，要补上这个“漏洞”，加入数学建模的过程，显化函数模型的获得。可以用生活中的摩天轮或物理学中的单摆、潮汐现象等引入课题。如果兼顾学情，最好以摩天轮为载本引入课题，因为学生对单位圆更熟悉。这有利于降低数学建模的难度，给学生成就感，为本节课积累平和正向的情绪体验。
（二）理清知识发生过程
提出本节课的核心问题后，教材用问题分解的策略研究函数y=Asin（ωx+φ）图像与函数y=sinx图像的关系：控制其中两个参数，研究剩下一个参数对函数图像的影响;再控制其中一个参数（主要是A），研究剩下两个参数（主要是ω、φ）对函数图像的影响。具体地，采用由特殊到一般的策略：
（1）作出y=sin（x+1）和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=sin（x-1）和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（2）作出y=3sinx和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=13sinx和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（3）作出y=sin 2x和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=sin12x和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（4）作出y=sin（2x+1）和y=sin 2x的图像，总结图像的关系;作出y=sin（2x-1）和y=sin 2x的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
教材分别就单个参数A、ω、φ对函数图像的影响展开探究，体现的正是将复杂的问题分解为几个简单的问题分别研究，小步骤、低难度螺旋上升的策略。那么，学生能否自然地想到这个策略呢？有什么已有的知识或经验可以借鉴吗？事实上，学生在初中就有过这样的经验：研究二次函数y=ax2+bx+c的图像，用的就是分解策略：先令b=c=0，只研究参数a对函数图像的影响;再控制a，通过配方研究参数b、c对函数图像的影响。教学中，要注意引导学生前后联系，提出问题、解决问题。
教材分别就单个参数A、ω、φ对函数图像的影响展开探究时，是按照φ→A→ω的顺序进行的，并没有讨论为什么。实际上，这样的安排有一定的考量：先研究参数φ对函数图像的影响符合学生已有的认知，因为学生在必修1中已经学习了函数图像的平移变换;先研究参数A对函数图像的影响再研究参数ω对函数图像的影响符合学生认知发展的规律，因为A对纵坐标是正向影响，容易理解，ω对横坐标是反向影响，较难理解。总的来看，这样的安排符合从熟悉到陌生、从简单到复杂、从角落到中心的顺序。如果学生基础较好，也可以放手让学生讨论这个问题，自主拟订方案，实施方案，并尝试评价方案的优劣。
二、教学思考：体悟育人价值
知识产生于思维（基于问题），运用于思维（解决问题）。数学知识只是载体，数学思维才是更为本质、更有价值、更能发展学生能力（获得知识、解决问题的探究能力）的东西。解读教材时，我们着重分析了本节课的课题引入背景和知识发生过程。思考教学时，我们应该着重分析本节课的思维内涵，提炼本节课的数学思想和方法，从而体悟这节课的育人价值，抓住这节课的育人契机。
（一）教学生数学地发现和提出问题
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《2017版课标》”）提出“四能”的总目标，要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。在教学中，教师要特别重视让学生学会数学地发现问题、提出问题，形成问题意识。而数学地发现问题、提出问题需要学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”，这离不开教学情境的创设和问题的引导。 本節课中，教师可以选取摩天轮的典型例子——伦敦眼，让学生感受数学之美，然后设置问题：如图1，摩天轮半径为A（单位长度），逆时针做匀速转动，每分钟转动ω弧度，如果从摩天轮上的点P位于图中的点P1处开始计算时间，∠P0OP1=φ，请在如图所示的坐标系中，确定时刻t min时点P的纵坐标y。学生经过思考，可以获得结果：y=Asin（ωt+φ）。这样也让学生经历了实际问题的数学建模过程，感受了函数模型的价值与意义。
接下来，教师要利用“启发性提示语”启发学生思考：（1）获得函数模型y=Asin（ωx+φ）后，接下来研究什么？——学生回答：研究函数的图像与性质。（2）如何研究？——学生回答：从特例开始，从简单的开始。（3）你们最熟悉什么函数？——学生回答：正弦函数y=sinx。这样就引导学生将整个研究思路自然地过渡，提出了本节课的核心问题：函数y=Asin（ωx+φ）的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？
（二）渗透数学思想和方法，培养理性思维和精神
分析和解决数学问题的过程中，处处渗透着数学思想和方法，能培养理性思维和精神。这些是数学育人价值的集中体现，《2017版课标》将它们提炼为六大数学核心素养。本节课除了在课题引入环节渗透数学抽象、数学建模思想（素养）外，还要注意在知识发生环节渗透以下数学思想和方法：
首先，这节课要教学生控制变量，分解问题的策略。对于本节课的核心问题，要提问学生怎么研究，是否有过类似的经历，引导学生回顾反思，发现初中研究二次函数y=ax2+bx+c图像的策略：控制变量，分解问题。由此得到本节课研究的思路：分别研究函数y=Asin（ωx+φ）解析式中三个参数A、ω、φ对图像的影响。这里，要放慢过程，让学生体会到这是研究多变量（参数）问题的一般思路，具有方法论的意义。这是理性思维的体现。
其次，这节课要突出从熟悉到陌生、从简单到复杂的策略。对于研究参数的顺序问题，可引导学生展开讨论，设计方案并进行比较，从而认识到φ的问题比较熟悉，应该最先研究;ω的问题比较困难，应该最后研究。这是理性精神的体现。
再次，这节课要突出类比思想。分别研究三个参数对函数图像的影响，不管按照什么顺序，如果一个一个地展开详细研究，那么课堂容量大，重点不突出。其实，这三个参数的研究中，φ是基础，ω是关键。教师可以带领学生一起解决φ的问题，然后让学生类比研究方法，经历相似过程，研究剩下的参数;在学生分组合作、集中汇报的基础上，教师可以再强调一下ω的问题，然后让学生研究ω、φ合起来的问题。这是逻辑推理素养的体现。
接着，这节课要体现数形结合思想：最终规律的获得（核心问题的解决）要从形入手，以数析形，即画出函数图像，分析变换关系。这里，需要指出的是，教材没有说明画出函数图像的方法，只呈现了函数图像的结果，让学生归纳概括，获得规律，这是符合课标要求“能借助函数图像理解参数A、ω、φ的意义，了解参数的变化对函数图像的影响”的。但是，很多教师会在课上要求学生作出函数图像，而很多学生会直接采用“五点法”。这样做，一方面浪费了宝贵的时间，不利于这节课教学重难点，即寻找图像之间关系的凸显与突破;另一方面有循环论证的嫌疑，即在不清楚y=Asin（ωx+φ）图像的大致样子（周期性和单调性等）的情况下，使用了“五点法”。实际上，这里应该引入几何画板、图形计算器等信息技术手段画出函数图像，从而直观地得到平移变换、伸缩变换的结论。这是直观想象素养的体现。
最后，这节课还要注重归纳、演绎等逻辑推理的运用。研究每一个参数时，画出多组具体图像、得到特殊结论后，要变数字为字母进行抽象，归纳一般情况的规律。在这个过程中，无论是对特殊情况，还是对一般情况，都要多问学生、多让学生思考，引导学生注重逻辑推理，从图形的直观上回到代数的推理上。比如，y=sinωx的图像为什么就是将y=sinx图像上点的横坐标变为原来的1ω得到的？设y=sinx图像上任一点的坐标为（x0，y0），要使y=sinωx图像上点的纵坐标是y0，必须有ωx=x0，所以这个点的坐标就是1ωx0，y0，和原来的坐标相比，横坐标变成了1ω。这是严谨的推理过程，也是逻辑推理素养的体现。
最后，需要指出的是，上述育人价值除了在课题引入和知识发生环节凸显，还应该在课堂小结环节引导学生回顾、反思、总结、提炼。比如，教师启发学生：这节课临近结束，我们还要干什么？如何总结这节课？学习了什么？是怎样开展研究的？你提出的问题解决了吗？你还能研究什么问题？这样，才能让学生有更深切的体会和领悟。
参考文献：
[1] 渠东剑.基于整体把握教材结构的教学[J].中学数学教学参考（上旬），2015（7）.
[2] 岳峻.研读教材的“四字经”：入—研—出—悟[J].中学数学教学参考（上旬），2018（11）.
关键词：三角函数的图像教材解读数学思想方法
近日，南京市高中数学渠东剑名师工作室“深度研课”活动在南京市第二十七高级中学举行，课题是苏教版高中数学必修4中的“函数y=Asin（ωx+φ）的图像”，采用同课异构的形式。笔者参与其中，认真听课、评课，与专家交流，加深了对这节课教材编写意图的理解，提升了对这节课教学目标定位的认识。
一、教材解读：把握整体结构
数学知识总是处于一定的结构关联中的，具有“前后一致、逻辑连贯”的特点。研读教材，要厘清课时内容在所属知识体系中所处的地位，把握課题引入和知识发生的过程;要灵活处理数学知识结构与学生认知结构的关系，实现二者的有机结合。
（一）关注课题引入背景
这节课教材从物理学中的简谐振动模型引入，给出了位移和时间的函数关系s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0），并指明解析式中A、ω、φ的实际意义。这样的安排便于学生体会到函数y=Asin（ωx+φ）具有现实意义和研究价值，在物理学、工程技术中具有广泛的应用;并意识到它具有周期性，与函数y=sinx有类似的性质和密切的联系，从而产生学习倾向。
接下来，教材提出了本节课的核心问题：函数y=Asin（ωx+φ）的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？要求学生进行逻辑思辨，寻找研究的突破口。事实上，函数y=sinx是函数y=Asin（ωx+φ）“大家族”中的一员，它们是局部与整体的关系。从特例出发，从原有认知出发，这也渗透了从特殊到一般、从已知到未知的归纳和转化的思维过程;反过来，也体现了演绎和转化的运用，即在函数y=Asin（ωx+φ）中通过赋值A=1、ω=1、φ=0得到函数y=sinx。
这样的课题引入注重知识背景的挖掘，贴近学习的实际需求，有利于研究的开展。但是，教材对于物理模型的处理过于简单，以直接告知的方式会让人感觉不着边际：函数解析式s=Asin（ωt+φ）是怎么来的？如果留下“漏洞”继续学习，显然不利于学生体会学习的必要性和思维的严谨性。所以，要补上这个“漏洞”，加入数学建模的过程，显化函数模型的获得。可以用生活中的摩天轮或物理学中的单摆、潮汐现象等引入课题。如果兼顾学情，最好以摩天轮为载本引入课题，因为学生对单位圆更熟悉。这有利于降低数学建模的难度，给学生成就感，为本节课积累平和正向的情绪体验。
（二）理清知识发生过程
提出本节课的核心问题后，教材用问题分解的策略研究函数y=Asin（ωx+φ）图像与函数y=sinx图像的关系：控制其中两个参数，研究剩下一个参数对函数图像的影响;再控制其中一个参数（主要是A），研究剩下两个参数（主要是ω、φ）对函数图像的影响。具体地，采用由特殊到一般的策略：
（1）作出y=sin（x+1）和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=sin（x-1）和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（2）作出y=3sinx和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=13sinx和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（3）作出y=sin 2x和y=sinx的图像，总结图像的关系;作出y=sin12x和y=sinx的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
（4）作出y=sin（2x+1）和y=sin 2x的图像，总结图像的关系;作出y=sin（2x-1）和y=sin 2x的图像，总结图像的关系。在此基础上，归纳一般情况。
教材分别就单个参数A、ω、φ对函数图像的影响展开探究，体现的正是将复杂的问题分解为几个简单的问题分别研究，小步骤、低难度螺旋上升的策略。那么，学生能否自然地想到这个策略呢？有什么已有的知识或经验可以借鉴吗？事实上，学生在初中就有过这样的经验：研究二次函数y=ax2+bx+c的图像，用的就是分解策略：先令b=c=0，只研究参数a对函数图像的影响;再控制a，通过配方研究参数b、c对函数图像的影响。教学中，要注意引导学生前后联系，提出问题、解决问题。
教材分别就单个参数A、ω、φ对函数图像的影响展开探究时，是按照φ→A→ω的顺序进行的，并没有讨论为什么。实际上，这样的安排有一定的考量：先研究参数φ对函数图像的影响符合学生已有的认知，因为学生在必修1中已经学习了函数图像的平移变换;先研究参数A对函数图像的影响再研究参数ω对函数图像的影响符合学生认知发展的规律，因为A对纵坐标是正向影响，容易理解，ω对横坐标是反向影响，较难理解。总的来看，这样的安排符合从熟悉到陌生、从简单到复杂、从角落到中心的顺序。如果学生基础较好，也可以放手让学生讨论这个问题，自主拟订方案，实施方案，并尝试评价方案的优劣。
二、教学思考：体悟育人价值
知识产生于思维（基于问题），运用于思维（解决问题）。数学知识只是载体，数学思维才是更为本质、更有价值、更能发展学生能力（获得知识、解决问题的探究能力）的东西。解读教材时，我们着重分析了本节课的课题引入背景和知识发生过程。思考教学时，我们应该着重分析本节课的思维内涵，提炼本节课的数学思想和方法，从而体悟这节课的育人价值，抓住这节课的育人契机。
（一）教学生数学地发现和提出问题
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《2017版课标》”）提出“四能”的总目标，要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。在教学中，教师要特别重视让学生学会数学地发现问题、提出问题，形成问题意识。而数学地发现问题、提出问题需要学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”，这离不开教学情境的创设和问题的引导。 本節课中，教师可以选取摩天轮的典型例子——伦敦眼，让学生感受数学之美，然后设置问题：如图1，摩天轮半径为A（单位长度），逆时针做匀速转动，每分钟转动ω弧度，如果从摩天轮上的点P位于图中的点P1处开始计算时间，∠P0OP1=φ，请在如图所示的坐标系中，确定时刻t min时点P的纵坐标y。学生经过思考，可以获得结果：y=Asin（ωt+φ）。这样也让学生经历了实际问题的数学建模过程，感受了函数模型的价值与意义。
接下来，教师要利用“启发性提示语”启发学生思考：（1）获得函数模型y=Asin（ωx+φ）后，接下来研究什么？——学生回答：研究函数的图像与性质。（2）如何研究？——学生回答：从特例开始，从简单的开始。（3）你们最熟悉什么函数？——学生回答：正弦函数y=sinx。这样就引导学生将整个研究思路自然地过渡，提出了本节课的核心问题：函数y=Asin（ωx+φ）的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？
（二）渗透数学思想和方法，培养理性思维和精神
分析和解决数学问题的过程中，处处渗透着数学思想和方法，能培养理性思维和精神。这些是数学育人价值的集中体现，《2017版课标》将它们提炼为六大数学核心素养。本节课除了在课题引入环节渗透数学抽象、数学建模思想（素养）外，还要注意在知识发生环节渗透以下数学思想和方法：
首先，这节课要教学生控制变量，分解问题的策略。对于本节课的核心问题，要提问学生怎么研究，是否有过类似的经历，引导学生回顾反思，发现初中研究二次函数y=ax2+bx+c图像的策略：控制变量，分解问题。由此得到本节课研究的思路：分别研究函数y=Asin（ωx+φ）解析式中三个参数A、ω、φ对图像的影响。这里，要放慢过程，让学生体会到这是研究多变量（参数）问题的一般思路，具有方法论的意义。这是理性思维的体现。
其次，这节课要突出从熟悉到陌生、从简单到复杂的策略。对于研究参数的顺序问题，可引导学生展开讨论，设计方案并进行比较，从而认识到φ的问题比较熟悉，应该最先研究;ω的问题比较困难，应该最后研究。这是理性精神的体现。
再次，这节课要突出类比思想。分别研究三个参数对函数图像的影响，不管按照什么顺序，如果一个一个地展开详细研究，那么课堂容量大，重点不突出。其实，这三个参数的研究中，φ是基础，ω是关键。教师可以带领学生一起解决φ的问题，然后让学生类比研究方法，经历相似过程，研究剩下的参数;在学生分组合作、集中汇报的基础上，教师可以再强调一下ω的问题，然后让学生研究ω、φ合起来的问题。这是逻辑推理素养的体现。
接着，这节课要体现数形结合思想：最终规律的获得（核心问题的解决）要从形入手，以数析形，即画出函数图像，分析变换关系。这里，需要指出的是，教材没有说明画出函数图像的方法，只呈现了函数图像的结果，让学生归纳概括，获得规律，这是符合课标要求“能借助函数图像理解参数A、ω、φ的意义，了解参数的变化对函数图像的影响”的。但是，很多教师会在课上要求学生作出函数图像，而很多学生会直接采用“五点法”。这样做，一方面浪费了宝贵的时间，不利于这节课教学重难点，即寻找图像之间关系的凸显与突破;另一方面有循环论证的嫌疑，即在不清楚y=Asin（ωx+φ）图像的大致样子（周期性和单调性等）的情况下，使用了“五点法”。实际上，这里应该引入几何画板、图形计算器等信息技术手段画出函数图像，从而直观地得到平移变换、伸缩变换的结论。这是直观想象素养的体现。
最后，这节课还要注重归纳、演绎等逻辑推理的运用。研究每一个参数时，画出多组具体图像、得到特殊结论后，要变数字为字母进行抽象，归纳一般情况的规律。在这个过程中，无论是对特殊情况，还是对一般情况，都要多问学生、多让学生思考，引导学生注重逻辑推理，从图形的直观上回到代数的推理上。比如，y=sinωx的图像为什么就是将y=sinx图像上点的横坐标变为原来的1ω得到的？设y=sinx图像上任一点的坐标为（x0，y0），要使y=sinωx图像上点的纵坐标是y0，必须有ωx=x0，所以这个点的坐标就是1ωx0，y0，和原来的坐标相比，横坐标变成了1ω。这是严谨的推理过程，也是逻辑推理素养的体现。
最后，需要指出的是，上述育人价值除了在课题引入和知识发生环节凸显，还应该在课堂小结环节引导学生回顾、反思、总结、提炼。比如，教师启发学生：这节课临近结束，我们还要干什么？如何总结这节课？学习了什么？是怎样开展研究的？你提出的问题解决了吗？你还能研究什么问题？这样，才能让学生有更深切的体会和领悟。
参考文献：
[1] 渠东剑.基于整体把握教材结构的教学[J].中学数学教学参考（上旬），2015（7）.
[2] 岳峻.研读教材的“四字经”：入—研—出—悟[J].中学数学教学参考（上旬），2018（11）.