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概念是客观事物本质属性特征在人脑中的反映,数学概念是现实世界的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。数学离不开推理,推理离不开判断,而判断又是以概念为基础的。数学概念是整个数学学科的细胞、精髓和灵魂,是学生进行一系列计算、解答、证明的依据。理解与掌握好数学概念是学好数学知识的基础,提高数学能力的关键。
在初中数学教学中,教师应重视和加强数学概念的教学,引导学生经历概念的探索、发现和创新的过程,获得相应的数学概念,体验成功的喜悦,从而真正达到理解并融会贯通的目的,以切实提高教与学的效率。
一、生动恰当的引入概念
每当学生用一个新的概念时,教师都应让其感到有必要学习这个概念,从而使他全身心地投入到下面的学习中去。要做到这一点有时并非轻而易举,而是要费一番周折的。因此,合理地“引入”就显得尤为重要。
1.以史为引。
在讲授新概念时,教师结合课题内容,适当引入数学史、数学典故或数学家的故事,往往能激起学生的学习兴趣、热情。如讲“无理数”时,教师可由无理数的发现者希伯索斯捍卫真理的英勇故事引入等。
2.以旧带新。
在数学中有很多概念和以往学习的旧概念有密切的联系。因此,在学习这些概念时,教师可在复习旧概念的基础上类比引入新概念。如在讲“一元二次方程”概念时,教师可先复习一元一次方程的概念,让学生理解什么是“元”和“次”,接着写出一个一元二次方程如x2 2x-1=0,让学生将其与一元一次方程进行比较,找出异同,从而得出一元二次方程的概念。这样既自然,又利于学生理解、记忆。再如不等式可类比方程引入,分式可类比分数引入,等等。
3.猜想导入。
“数学的发展并非是无可怀疑的真理在数学上的单纯积累,而是一个充满了猜想与反驳的过程”。因此,在概念引入时,教师应让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想像,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段,以培养学生敢于猜想的习惯,形成数学直觉,发展数学思维。
4.从“需要”入手。
有的概念可以从解决数学内部的需要来引入,如“负数”概念的教学,教师可以从温度计上的零下温度入手,引导学生感知现实生活中存在比零更小的数,但用以前学过的数无法表示出来,产生了思维冲突,从而有必要引入“负数”这一比零更小的数来表示这一部分数,导入自然,恰到好处。
5.直观操作导入。
实践出真知。手是脑的老师,学生通过动手操作、实践,往往可以理解一些难以理解的概念。因此在教学中,教师可密切联系数学概念在现实世界中的实际模型,通过对事物、模型的观察、操作、比较、分析,进而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
从学生学习数学概念的心理过程来看,概念的形成大致有概念同化和概念形成两类。其中概念同化是指学生以原有知识为基础,教师以定义的方式直接向学生揭示概念的方式;概念形成是指从大量的具体例子出发,从学生肯定经验的例证中,以归纳的方式概括出事物的本质属性。
但是,初中生已有的认知结构还不够充分,知识经验还很贫乏。显然,概念同化的方式对其是不适的。所以,初中生掌握概念的典型方式还是概念形成。因此,在具体的教学中,教师应重视概念的形成过程。此环节教师绝不能包办代替,应让学生积极、主动地参与概念的形成过程。
三、准确、无误地理解概念
1.语言表述要准确。
概念形成之后,教师应及时让学生用语言表述出来,以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳,教师可从学生的表述中得到反馈信息,了解、评价学生的思维结果。如概括圆的定义时,有的学生会漏掉“在同一平面内”这个条件;讲分式的基本性质时,有的学生会丟了“零除外”这一条件等。教师让学生自己把这些概念表述出来,及时发现问题,并加以纠正,给学生一个准确的表象,这样既能培养学生的语言表达能力,又能发展他们的思维能力。
2.揭示概念的外延与内涵。
数学概念的内涵是指概念所反映的数学对象的本质属性,反映的是“质”的方面,如“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形”、“两边之和大于第三边”、“内角和为180?觷”等都是“三角形”这一概念的内涵。数学概念的外延是指数学概念所反映的对象的数量或范围,反映的是“量”的方面。如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是“三角形”这个概念的外延。充分揭示概念的内涵和外延有助于学生加深对概念的理解。
3.加深对表示数学概念的符号理解。
数学概念本身就较为抽象,加上符号表示,从而更加抽象化,因此教师必须使学生真正理解符号的含义。如有学生会将sin(-θ)中的记号sin与(-θ)认为是相乘而错误地理解为sin(-θ)=-sinθ中左边的符号是提出来的,所以教师要一开始就帮助学生正确地理解这些符号的意义,尽量克服学生发生类似的错误。
四、在灵活运用中巩固概念
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们:概念一旦获得,如不及时巩固,便会被遗忘。除了正确复述之外,教师还要引导学生在灵活运用中发展巩固相应的概念。
1.尝试错误,巩固概念。
每一个数学概念都有这样或那样的限制条件,如果忽略了这些条件就可能导致解题的失误。因此,学生巩固概念时可以允许适当“示错”,以加深印象,从而真正认识概念的本质。
2.利用变式,巩固概念。
所谓变式,就是教师使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式,使非本质属性时有时无,而本质属性保持恒在。在几何教学中教师常常采用“标准图形”,学生就有可能把非本质的属性如图形的位置、大小等当作本质属性,而造成错误。恰当运用变式,能使学生的思维不受消极定势的束缚,实现思维方向的灵活转换。
五、在概念系统中深化概念
数学是一门系统性很强的科学。布鲁纳说:“获得的知识,如果没有圆满的结构把它联在一起,那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。”因此,在每一教学单元结束后,教师要及时进行概念总结,在总结时要特别重视同类概念的区别和联系,从不同角度出发,制作较合理的概念系统归类表。这样不但可使学生的知识、概念网络化,而且可培养学生的综合能力。
总之,概念教学是初中数学教学的重要环节,教师在平时的教学中要加以足够的重视,并遵循一定的教与学的规律,不断探索、不断创新,这样一定能收到意想不到的教学效果。
参考文献:
[1]全日制九年义务教育中学数学新课程标准(试验稿).
[2]曹才翰.中学数学教学概论,人民教育出版社,2002.
[3]中学数学教育(初中版).中学数学教育杂志社,2005.6:8.
在初中数学教学中,教师应重视和加强数学概念的教学,引导学生经历概念的探索、发现和创新的过程,获得相应的数学概念,体验成功的喜悦,从而真正达到理解并融会贯通的目的,以切实提高教与学的效率。
一、生动恰当的引入概念
每当学生用一个新的概念时,教师都应让其感到有必要学习这个概念,从而使他全身心地投入到下面的学习中去。要做到这一点有时并非轻而易举,而是要费一番周折的。因此,合理地“引入”就显得尤为重要。
1.以史为引。
在讲授新概念时,教师结合课题内容,适当引入数学史、数学典故或数学家的故事,往往能激起学生的学习兴趣、热情。如讲“无理数”时,教师可由无理数的发现者希伯索斯捍卫真理的英勇故事引入等。
2.以旧带新。
在数学中有很多概念和以往学习的旧概念有密切的联系。因此,在学习这些概念时,教师可在复习旧概念的基础上类比引入新概念。如在讲“一元二次方程”概念时,教师可先复习一元一次方程的概念,让学生理解什么是“元”和“次”,接着写出一个一元二次方程如x2 2x-1=0,让学生将其与一元一次方程进行比较,找出异同,从而得出一元二次方程的概念。这样既自然,又利于学生理解、记忆。再如不等式可类比方程引入,分式可类比分数引入,等等。
3.猜想导入。
“数学的发展并非是无可怀疑的真理在数学上的单纯积累,而是一个充满了猜想与反驳的过程”。因此,在概念引入时,教师应让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想像,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段,以培养学生敢于猜想的习惯,形成数学直觉,发展数学思维。
4.从“需要”入手。
有的概念可以从解决数学内部的需要来引入,如“负数”概念的教学,教师可以从温度计上的零下温度入手,引导学生感知现实生活中存在比零更小的数,但用以前学过的数无法表示出来,产生了思维冲突,从而有必要引入“负数”这一比零更小的数来表示这一部分数,导入自然,恰到好处。
5.直观操作导入。
实践出真知。手是脑的老师,学生通过动手操作、实践,往往可以理解一些难以理解的概念。因此在教学中,教师可密切联系数学概念在现实世界中的实际模型,通过对事物、模型的观察、操作、比较、分析,进而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
从学生学习数学概念的心理过程来看,概念的形成大致有概念同化和概念形成两类。其中概念同化是指学生以原有知识为基础,教师以定义的方式直接向学生揭示概念的方式;概念形成是指从大量的具体例子出发,从学生肯定经验的例证中,以归纳的方式概括出事物的本质属性。
但是,初中生已有的认知结构还不够充分,知识经验还很贫乏。显然,概念同化的方式对其是不适的。所以,初中生掌握概念的典型方式还是概念形成。因此,在具体的教学中,教师应重视概念的形成过程。此环节教师绝不能包办代替,应让学生积极、主动地参与概念的形成过程。
三、准确、无误地理解概念
1.语言表述要准确。
概念形成之后,教师应及时让学生用语言表述出来,以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳,教师可从学生的表述中得到反馈信息,了解、评价学生的思维结果。如概括圆的定义时,有的学生会漏掉“在同一平面内”这个条件;讲分式的基本性质时,有的学生会丟了“零除外”这一条件等。教师让学生自己把这些概念表述出来,及时发现问题,并加以纠正,给学生一个准确的表象,这样既能培养学生的语言表达能力,又能发展他们的思维能力。
2.揭示概念的外延与内涵。
数学概念的内涵是指概念所反映的数学对象的本质属性,反映的是“质”的方面,如“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形”、“两边之和大于第三边”、“内角和为180?觷”等都是“三角形”这一概念的内涵。数学概念的外延是指数学概念所反映的对象的数量或范围,反映的是“量”的方面。如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是“三角形”这个概念的外延。充分揭示概念的内涵和外延有助于学生加深对概念的理解。
3.加深对表示数学概念的符号理解。
数学概念本身就较为抽象,加上符号表示,从而更加抽象化,因此教师必须使学生真正理解符号的含义。如有学生会将sin(-θ)中的记号sin与(-θ)认为是相乘而错误地理解为sin(-θ)=-sinθ中左边的符号是提出来的,所以教师要一开始就帮助学生正确地理解这些符号的意义,尽量克服学生发生类似的错误。
四、在灵活运用中巩固概念
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们:概念一旦获得,如不及时巩固,便会被遗忘。除了正确复述之外,教师还要引导学生在灵活运用中发展巩固相应的概念。
1.尝试错误,巩固概念。
每一个数学概念都有这样或那样的限制条件,如果忽略了这些条件就可能导致解题的失误。因此,学生巩固概念时可以允许适当“示错”,以加深印象,从而真正认识概念的本质。
2.利用变式,巩固概念。
所谓变式,就是教师使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式,使非本质属性时有时无,而本质属性保持恒在。在几何教学中教师常常采用“标准图形”,学生就有可能把非本质的属性如图形的位置、大小等当作本质属性,而造成错误。恰当运用变式,能使学生的思维不受消极定势的束缚,实现思维方向的灵活转换。
五、在概念系统中深化概念
数学是一门系统性很强的科学。布鲁纳说:“获得的知识,如果没有圆满的结构把它联在一起,那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。”因此,在每一教学单元结束后,教师要及时进行概念总结,在总结时要特别重视同类概念的区别和联系,从不同角度出发,制作较合理的概念系统归类表。这样不但可使学生的知识、概念网络化,而且可培养学生的综合能力。
总之,概念教学是初中数学教学的重要环节,教师在平时的教学中要加以足够的重视,并遵循一定的教与学的规律,不断探索、不断创新,这样一定能收到意想不到的教学效果。
参考文献:
[1]全日制九年义务教育中学数学新课程标准(试验稿).
[2]曹才翰.中学数学教学概论,人民教育出版社,2002.
[3]中学数学教育(初中版).中学数学教育杂志社,2005.6:8.