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摘要：“儿童数学”的现象学意蕴是以现象学的态度——“回到事物本身”来研究数学，追求“数学思想”的敞亮和儿童“数学之思”的显发与弘扬。实践中，通过儿童“生命·实践”的数学化活动——儿童的生命实践活动体验、生命实践活动建构、生命实践活动创造、生命实践活动表达，达成“儿童数学”的现象学旨趣——“面向思的事情”！由此，现象学所带给“儿童数学”的绝不仅仅是某种特定的教育实践与研究方法（如悬置——对教学经验或理论的存而不论、数学的本质探原、返回儿童的生活世界、消解师生主客二分的本质直观等等），而是一种“儿童数学”的现象学精神——回归儿童的“生命·实践”路向！
关键词：儿童数学；现象学；生命·实践
中图分类号：G４０ 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（201１）０３-00２２-0６
基于现象学视野，儿童数学的核心信念是相遇哲学。相遇信念时刻提醒数学教师：儿童数学教学即是儿童、数学、教师之间的真实相遇，课堂即是他们相遇的场域，数学教学就是“儿童带着数学走向教师”的过程。换言之，儿童数学诞生于儿童、数学、教师间的真实相遇！
一、回到事物本身：“儿童数学”的现象学态度
１．儿童：一种新的可能性
马克斯·范梅南说：“何谓儿童？看待儿童其实是看待可能性，看待一个正在成长中的人。”教学中，经过时间的累积，教师逐渐积淀了对孩子的某种“看法”：好学生、差生……，教师总是沿着那种特定的“看”“法”去看学生。
与儿童相遇首先意味着数学教学的现象学态度：悬置——教师应该而且必须回到每一次与孩子相遇的实事本身；而且，每一次相遇都要求教师从“陌生人”的视角来关照——将班上数学学习的“弱势群体”看作新面孔，以探究、惊奇的眼光来对待！作为“陌生人”的教师，最能给每一个孩子以公平的机会，这是儿童数学教学公平的内在诉求。
其次，儿童的数学认知结构不仅包括已有的“结构性”知识，更重要的是包括大量的“非结构性”经验背景，儿童数学是儿童“街头数学”的继续和延伸。儿童独特的先天生理遗传和不同的生活阅历，尤其是在日常生活、游戏等活动中所积淀下的前数学“民俗经验”，使得每个儿童的数学学习背景都是如此地丰富而独特。儿童独特的数学“前理解”要求教师直面儿童的数学经验方式、思维方式、认知倾向等等，细腻地、科学地去剖析、研究儿童到底是怎样学习数学的。例如，儿童在计算三角形面积时总是忘记除以２，在计算圆锥体积时总是忘记除以３。对此，许多教师感到气愤：这些公式他们都能倒背如流，怎么到了运用时就丢三落四呢？原来在儿童经验中，一般的解题都是根据题目中现有的数据进行运算的（比如大多数应用题），儿童在潜意识中早就形成了“解题就是用题中给出的数据加减乘除”这样想当然的“理解”。明见这一点，教学中教师就应该用实事的态度、科学的方法去帮助儿童。
再次，由于数学教学活动建立在儿童的认知发展水平和已有知识经验基础之上，因此，教师要对每一个儿童的知识起点、能力起点、态度起点、年龄特征等作出准确解读，以便为实现儿童的各种可能性敞开道路！正是在这个意义上，美国教育心理学家奥苏贝尔说：“假如我把教育心理学归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道了什么。教师要探明这一点，并应据此进行教学。”
２．数学：一门动态成长的科学
秉持数学教学的现象学态度还必须追问数学的学科本质：数学是什么？数学的学科性质、知识性质规定着数学教与学的方式。
著名数学家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”按照英国数学家欧尼斯特的观点，教师所具有的数学观大致存在三种类型：工具主义数学观（即把数学看作适用于不同场合的事实性结论、法则和技巧的汇集而构成的一套工具）、静态的绝对主义数学观（即把数学看作一个静态的、无可怀疑的真理的集合）和动态的可误主义数学观（即把数学看作是一个动态的、由问题推动而发展的学科）。尽管教师对自我的数学观未必有清醒意识，但数学观作为一种“隐蔽观念”却时刻用“看不见的手”牵引着教师的数学教学。如果一位教师秉持工具主义或绝对主义的数学观，那他（她）就会有意无意地把儿童的头脑作为贮存知识的仓库，不断地往儿童的头脑里增加定理的数目，让儿童无条件地接受“数学真理”。而如果一位教师秉持可误主义数学观，承认数学知识的不确定性，那么，他（她）就会引领儿童去探究数学知识的来龙去脉，让儿童经历公理化、形式化、数学化的过程。数学教学就会因此而展现智慧的光彩，儿童就能体验到理智成长的愉悦！
３．活动：儿童智慧的数学学习方式
“活动是智慧的根源”（皮亚杰语），也是儿童的经验建构方式。《全日制义务教育数学课程标准》明确指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”“数学教学是数学思维活动的教学”（斯托利亚尔语），是儿童根据自己的体验，用自己的思维方式去“再创造”数学知识的活动。数学活动不仅仅指外显的“形动”（肢体活动），更重要的是内隐的“心动”、“思动”。诚如著名数学教育家斯托利亚尔所指出的，“数学知识的获得，主要不是靠实物实验，而是通过思想上的实验，进行紧张的思维活动。”根据斯托利亚尔的观点，儿童的数学活动（主要指数学思维活动）水平分为三个层次：第一层次是经验材料的数学组织化（数学描述），主要借助于观察、试验、归纳、类比、概括等方法积累事实材料；第二层次是数学材料的逻辑组织化，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；第三层次称为数学理论的应用。上述三个层次，同时契合了著名数学教育家弗赖登塔尔关于儿童数学化（水平数学化——指从儿童的生活世界引入数学的符号世界和垂直数学化——指在数学的符号世界里，符号的生成、重塑和被使用）的划分。
瑞士心理学家皮亚杰和前苏联教育心理学家列昂节夫等人关于活动在人的认识、思维、个性等形成发展中的作用研究为活动教学提供了充分的心理学依据。研究表明，儿童数学心智的发展正是儿童在主客体的交互作用中实现的，而活动正是主体身心参与的、主客体交互作用的过程，“是儿童与客观世界（自然、社会、伙伴）的全面、广泛、丰富的缔结”（马克思语）。数学活动的内涵有三：其一，数学活动应该是“数学的”，即活动要蕴涵数学本质，应该与数量关系、图形关系、统计关系紧密相连；其二，“数学活动”应该是“活动的”，这种活动不仅包括对数学材料的具体操作和形象探究，更重要的是让儿童经历“数学化”，即数学地组织现实材料过程；其三，“数学活动”应该是“自主的”，教师应该给儿童预留充分的探究时空，充分激发儿童自由创造的数学潜能！
二、面向思的事情：“儿童数学”的现象学旨趣
香港科技大学项武义先生认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。警惕“数学味”的流失，其中最根本的就是：凸显数学本质，突出数学内涵。任何“数学味”的被遮蔽、遗忘或缺席都将导致本真意义上的数学教学之“退场”。由此在数学教学中，教师要努力彰显数学中的“思想”、“方法”、“文化”、“精神”，发挥数学学科的“思”之功能，启迪儿童“运思”，让儿童的“数学之思”得以唤醒、显发、弘扬、敞亮……，让数学课堂成为儿童的数学“思维场”！
１．显现“数学思想”
比之于知识更丰富、系统更完备的高年级数学，儿童数学是质性数学，从某种意义上说是更加接近数学教育内核的数学。这个内核，不是计算技能，不是知识堆积，而是数学的思想方法。数学的精髓是什么？学习数学的价值是什么？一切都指向数学思想。数学思想是数学家解决数学问题的基本观点和根本想法，是通过思维活动得到的理性认识，形成的一种观念性结果。数学思想是活生生的数学灵魂，对数学的所有知识和方法具有统摄性。数学思想蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程之中。小学数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的易于被发现的“明河流”和数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它们是骨架和血脉的关系。正因为有了数学思想作灵魂，“游离”状态的数学知识才会凝结成优化的知识结构。因此，数学教学要充分显现数学思想（如正与负、直与曲、数与形、动与静、加与减、乘与除，等等）。数学的思想往往呈隐蔽形式，它积淀、凝聚在数学结论之后，渗透在儿童的问题解决过程之中。如果教师能从条分缕析的知识体系中跳离出来，从一个个知识点中看到隐藏在其后的朴素的学科本质方法，把数学的知识教学放在数学思想、意义与文化的长河之中，那么，数学教学就一定会于简单之处见深刻，于平常之处展博远！
要关注数学知识的“学科本质”，“淡化形式，注重实质”（陈重穆语），充分体现“数学味”（张奠宙语），“警惕数学教学中的形式主义”（曹培英语）。教学中我们不必对一些数学问题作“超理性分析”（如物体所占空间的大小叫做物体的体积，儿童对空间的概念就不甚了了），不必钻牛角尖、抠字眼（如教学中有教师对三角形——“由三条线段围成的图形”、方程——“含有未知数的等式”中一些所谓的关键词作分析），而应充分发掘“好的”数学模型——如“鸡兔同笼”模型等（此模型蕴涵了丰富的数学思想方法：化归、枚举、数形结合、假设、方程、建模等）、“好的”数学素材。
教学中我们要不断叩问：在我们精心创设的情境背后，知识和能力的根源在哪里？在煞费苦心的知识授予背后，文化和精神的支点在哪里？在环环紧扣的逻辑背后，直觉和猜想的孕育在哪里？在层次多样的背后，原理和模型的建构又在哪里？在方法提炼的技巧背后，思想与方法的引领又在哪里？只有我们关注到这些问题，我们才能准确地把握数学的学科本质！
２．敞亮“数学之思”
由于数学活动在很大程度上是思维活动，属于头脑的“暗箱操作”，因此从某种意义上说数学不是按照成人意志“直接教会儿童的”，而是通过儿童“自主建构”“发明”出来的。故而，我们要敞亮儿童的“数学之思”——引领儿童用数学的眼光观察事物，用数学的方式思考问题，用数学的语言诠释现象，用数学的观点表达认识……让儿童灵动地“思”、“想”，让儿童做到“思”之有“向”（方向），“思”之有“序”（顺序），“思”之有“理”（道理），“思”之有“创”（创新）……让儿童在提出问题和解决问题的过程中都带有鲜明的“数学色彩”，进而形成“数学的大脑”！
首先要加强“数学思维”研究，让儿童“通过数学学习学会思维”（郑毓信语）。要还原数学知识的“过程形态”，变“已完成的知识”为“未完成的知识”，给儿童尽可能多的机会，让儿童经历“数学化”，经历数学的“思想实验”、“理智历险”，不断把儿童引入数学的“思”之状态，开掘儿童的“思”之潜能，让儿童成为一个个“思”者。
其次要引领儿童把“反省性思维”运用于数学学习的各个环节。皮亚杰认为，数学表征的不是客观事物本身的性质，而是事物之间的关系。数学学习依赖于主体作用于物体的一系列动作之间的协调以及对这种协调的抽象，皮亚杰称之为“反省抽象”。大量研究表明：学生自我反省思维、自我批判思维能力的发展是学生可持续发展的动力。要启发儿童把数学的思考方式、方法整合于认知结构中，引领儿童对自身数学思维活动过程和结果进行自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控和自我调节，让儿童拥有良好的元认知技能，让儿童成为一个“反思性学习者”。例如，学习了“三角形面积”后，可以引领儿童自我发问：“我学会了什么知识？”（计算三角形面积的方法）；“知识点表征为什么？”（Ｓ＝（ａｈ）÷２）；“我是怎样学会的？”（转化法）；“在转化的过程中，我进行了哪些操作”（旋转和平移）；“为什么要除以２？”（拼成的三角形和平行四边形等底等高）。只有在这样的思维追问中，孩子的数学素养才能得到真正提升！
三、回归“生命·实践”：“儿童数学”的现象学路径
敞亮“儿童”与“数学”的现象学路径是从教育的原点去思考的。数学教育，无论它处于什么层次，都应致力于通过儿童的“生命·实践”活动去丰盈儿童的精神生命与生活，这是“儿童数学”的应有之义。“儿童数学”就是要实现书本知识与儿童的经验世界、生活世界的沟通，实现书本知识与数学整体的内在知识结构的沟通，实现书本知识与儿童发现问题与解决问题过程的沟通，由此丰富和拓展数学学科的育人资源。回归儿童的“生命·实践”是“儿童数学”的应然选择！
１．返回“生活世界”，丰盈儿童的生命实践活动体验
德国现代杰出思想家埃德蒙德·胡塞尔对我们存在于其中的世界作了“生活世界”与“科学世界”的区分。在他看来，生活世界是一个前科学、前概念、预先被给予的世界；是一个直观的、具有奠基性意义的世界；而科学世界是人们依据经验、规范、条例而形成的一种理性世界。
“生活世界”是“数学世界”的根基，是数学的意义之源，也是儿童的经验之源。数学中的许多概念、原理都可以在“生活世界”中找到原型。返回“生活世界”，可以让儿童获得多重表征：操作性表征（儿童在做数学中的直接体验）、映象性表征（儿童生活或活动中的视觉映象或其他映象）、符号性表征（儿童生活经验的抽象与概括），这些表征能让儿童获得丰富的体验，即完整的数学意义建构。
例如，教学“角的认识”（苏教版《数学》二年级下册）时，我先让孩子们到周遭的生活中去找寻“角”。第二天课堂上孩子们汇报交流对角的理解，有的是用文字写下来的：角是尖尖的、锋利的、用手摸起来戳人的；有的是画下来的：把桌子的“角”、冰箱的“角”、奥特曼头上的“角”……画在纸上；有的是让家长照下来的：有把身边一些带“角”的物体拍下来的，也有从网络上下载的图片——牛头、金字塔；还有的是自己做的或收集的：用纸折叠成的三角形状，小时候玩的积木中的三棱锥……但孩子们对角的认识停留在具体物体上，如何将“生活角”提升为“数学角”呢？
我发现孩子们对“角”的认识有两种情形：一种是认为角就是一个“点”，另一种是认为角是物体拐角的“一部分”。接着，我让大家用最简洁的方式将刚才指的“角”画下来，结果没有一位学生只画“点”的。孩子们知道，“角是需要一个点的，除了这个点还要有支撑这个点的东西。”
于是我请孩子们思考：支撑这个点还要画上什么？
根据他们的回答，我先是画上黑板的面、桌子的面、门的面，逐步过渡到这些物体面的一部分，我把原先画好的一个个面擦去两条线，再请他们观察，你看到的这个“角”由哪几部分组成？至此，孩子们逐渐领悟到“角”的数学模型：角是从一点引出两条射线组成的图形。接着我又出示一个平角，它也符合角有一个顶点，两条边组成，但它的顶点不是尖的，没有刺人的感觉。由此，孩子们弥补了对角不完全的经验性认识，科学完整地理解了“角”的数学内涵。
生活的边界就是孩子们的数学边界。“学校必须呈现现在的生活即对儿童来说是真实而生气勃勃的生活。像他在家里，在邻里间，在运动场上所经历的生活那样。”（杜威语）如果数学教学脱离孩子的生活，远离孩子的经验，那么，数学教学将逐渐导致儿童心灵和生活的荒漠化，孩子们就不能被称为一个“整体的人”。因此，数学教学要从孩子们的生活经验和已有体验开始，从直观的和容易引起想像的问题出发，通过“数学化”，逐步地将“生活数学”提升为“科学数学”，进而实现对儿童生活经验的发展、改造，让孩子们在经历中感悟，在体验中成长！
２．探询数学知识本原，引领儿童的生命实践活动建构
胡塞尔指出，“为了获得比较可靠的知识，显然需要进一步的还原，在自明的直观所给予的东西中区别出某种东西，这种东西的存在是绝对可靠的、无可置疑的。在这个意义上，只有一种自明的、具有必然性真理的东西才能满足更为确定的知识的需要。”冯·诺伊曼说：“数学思想来源于经验……但是，数学思想一旦构思出来，这门学科就开始经历它本身特有的生命……（然而）在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次‘抽象的’近亲繁殖之后，一门学科就有退化的危险。……每当到了这种地步时，在我看来，惟一的药方就是为重获青春而返本求源：重新注入多少直接来自经验的思想。”
探询数学知识的“本原”意味着对儿童而言，要考虑什么是某个数学问题最为根本的、本质的、基本的认知要素或构成。其来源有二：一是教师在备课过程中精心设计的反映学科本性的问题；二是在课堂教学活动中由学生所提出的涉及数学内容实质的问题。前者要求教师把学科本质问题“教学法化”；后者则意味着教师要善于在充满不确定性的课堂中从数学知识的生发处、生长处、生成处捕捉到学生某个朴素的数学想法并加以发展。
例如，教学“平行四边形面积”（苏教版《数学》五年级上册），多数老师从平行四边形与长方形的关系入手，通过割补平移将平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形面积公式，然后让孩子们加以运用。这种形式化的逻辑演绎造成孩子们因为缺少面积度量的意义支撑而“知其然却不知其所以然”。为此，笔者在教学中刻意弱化平行四边形与长方形在对应边关系上的直接比较，而侧重于从突出面积度量意义的角度引导学生自己产生转化的想法，进而获取图形转化的直接经验和对平行四边形面积计算本原意义的理解。于是，儿童明白了：因为平行四边形不可以直接用单位面积的小正方形去度量，所以只能转化成长方形，而且转化的前提是面积大小不能变化，与线段长度的变化无直接联系。接下来，笔者引导儿童通过摆一摆单位面积、说一说算法、找一找底和高的度量意义等学习过程，从本原意义上来体验这种转化。在随后的联系中，笔者也并不强调公式的提炼运用，而是让学生基于各自的理解程度来表述面积计算的思考过程，能概括的用抽象的算法公式，不能概括的则用头脑中的操作过程来描述。这样，面积公式在孩子丰富的数学操作体验中逐步明晰，孩子们的数学理解和数学抽象能力由此而发展。
３．还原数学知识的“过程形态”，诱发儿童的生命实践活动创造
数学“客观知识”是人类生命实践活动的智慧结晶。经过简约化提炼和符号化表达，数学知识凝结为一种符号化知识，它遮蔽了前人生命实践活动过程的真实复杂性和丰富生动性。儿童可能只是“占有”着这些“外在”的数学符号，却无法感受和获得前人的生命实践智慧。教学中，教师必须让数学知识恢复到其产生时的鲜活状态，让其成为一种“动姿化”的“过程形态”的知识。要引领儿童用他自己的认知方式、思维方式去经历、去体验、去复演人类创造知识的生动历程，让儿童在数学知识的创造活动中，与生产知识的人和历史进行对话。由此，儿童把他人生命实践活动的结果转化为自己生动的“再创造”活动历程，把他人生命实践中的经验和智慧，转化为自己生命成长的精神能量和重要资源！
例如，教学“乘法和加、减法的两步混合运算”（苏教版《数学》四年级上册）。如果按照教材上购物情境的两个实际问题，结合数量关系分析，学生也可能直观地、朴素地体会到运算顺序的合理性，却无法真正理解“算理”。为此，教学中我们应该追问运算顺序的“人为规定”：到底为什么先算乘法？一位教师在教学中首先从“１３＋８＋３”开始，然后把“３”变成“８”，得到“１３＋８＋８”；再在此算式后面加上３个８，得到“１３＋８＋８＋８＋８＋８”，连续两次动态呈现，三道相关的算式构筑了一个鲜活的变化情境。伴随学生口算时简便因素的不断增大，其口算方法逐步由“从左往右”转向“先用乘法算相同加数的和”，进而催生“简便”体验（先算乘法，后算加法）！再如香港的一位老师在教学《用厘米尺度量长度》一课，他不给学生任何提示，而是让学生自己想办法度量桌子的长度。很多学生用手一拃一拃地量，发现不同的手量出的数据各不相同，因而想到用统一的工具“回形针”一枚一枚地拼摆；发现又不方便，进而产生了用可以直接度量的尺子；但尺子没有刻度，读数极不方便，因此产生了画刻度做尺，并学会了利用刻度来读数。通过这样的数学化活动，孩子们掌握了数学独特的思考与创造模式，体验了数学的价值！
４．赋予数学知识文化与心理意义，催生儿童的生命实践活动表达
儿童的数学化过程是儿童“自组织”数学学习素材的过程，也是儿童对客观的“数学知识”进行主观“意义赋予”的过程。所谓“意义赋予”是指儿童依据自身已有知识经验（认知结构）、生活经历对数学知识所作的“非正规解释”。这些“非正规解释”承载了儿童思维中生动活泼的意念，展现了儿童对数学的“创造性理解”。
例如，一位孩子通过计算得出结论“周长相等的平面图形中圆的面积最大”（苏教版《数学》五年级下册）后，这样解释：“同样一些人手拉手围成一个圈（即周长相等），要使它尽可能大，每一个人都应尽力向后退。如果每个人力量相同，这样形成的图形便是圆。而围成其他图形只需部分的人用劲。像正方形，可以看成是只有四个角的人在使劲后退。当然是圆的面积最大了，‘团结力量大’嘛。”正是由于儿童丰富的“非正式数学经验”，由于儿童独特的“数学视界”，儿童对数学知识进行了主观的独特阐释，产生了如此个性化的表达。
再如，鉴于对分数概念的缘起及特质的认识，我们曾借助两个形象的词汇来帮助学生“认识分数”（苏教版《数学》三年级下册）。其一是“破碎的数”。这其中的“数”，显然应是指整数。因为在拉丁文里，分数一词源于ｆｒａｎｇｅｒｅ，是打破、断裂的意思。因此，分数被西方人叫做“破碎数”，以至于德国人到现在为止，形容某人陷入因境，还常说是“掉进分数里去了”。在学习分数之前，孩子们的头脑中只有整数的概念。而从这个形象的说法中，孩子们能够深刻认识到：分数缘起于测量和均分的需要——因为进行了平均分，就可能得不到整数结果，也可以说得到的结果是个“不完整的自然数”，即“破碎了的数”。其二是“几份之几”。我们借鉴全国著名特级教师华应龙的做法，在意义上将３／４表示成四份之三。如此，让学生轻松、熟练地掌握分数的概念本质。语言是思维的外壳，形象生动的语言描述能够帮助学生准确、深刻地理解概念的本真意义。
值得注意的是，一方面在教学中我们要尊重儿童对数学知识的“非正规解释”，尊重儿童给数学知识所赋予的文化与心理意义，让数学学习成为儿童的生命实践活动表达！另一方面，当孩子们用富有个性的“儿童化语言”表达自己的生命实践活动体验时，教师应发挥其引领作用，引领他们逐步用准确、凝练、简洁的“数学化语言”（文字术语、符号、图形等）去表达自己的生命实践，即“数学地说”与“数学地写”。帮助孩子们逐步学会“数学地谈论”、“数学地交流”。学会“数学地表达”可以看成是儿童数学素养得以提升的一个重要标识，即由日常语言逐步转向数学的符号语言，由对数学的“非正规解释”逐步过渡到“正规解释”，以及由较为初等的数学语言逐步过渡到较为高级的数学语言！
Ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｌｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＷＡＮＧ Ｓｈｕ－ｌｉｎ
（Ｒｕｇａｏ Ｄｉｎｇｂｅｉ Ｐｒｉｍａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌ， Ｒｕｇａｏ ２２６５７１， Ｃｈｉｎａ）
Abstract: Ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｈｉｌｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ｉｎｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ ｌｉｇｈｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｉｎ ｐｕｒｓｕｉｔ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｉｄｅｏｌｏｇｙ， ａｎｄ ｉｎ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ａｎｄ ｐｒｏｍｏｔｅ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｂｙ ｗａｙ ｏｆ ａｃｔｉｖｉｔｉｅｓ ｏｎ ｌｉｆｅ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ， ｃｒｅａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ， ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｇｏａｌ ｏｆ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｃｈｅｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｎ ｆａｃｅ ｏｆ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．
Key words: ｃｈｉｌｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ； ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ； ｌｉｆｅ； ｐｒａｃｔｉｃｅ
关键词：儿童数学；现象学；生命·实践
中图分类号：G４０ 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（201１）０３-00２２-0６
基于现象学视野，儿童数学的核心信念是相遇哲学。相遇信念时刻提醒数学教师：儿童数学教学即是儿童、数学、教师之间的真实相遇，课堂即是他们相遇的场域，数学教学就是“儿童带着数学走向教师”的过程。换言之，儿童数学诞生于儿童、数学、教师间的真实相遇！
一、回到事物本身：“儿童数学”的现象学态度
１．儿童：一种新的可能性
马克斯·范梅南说：“何谓儿童？看待儿童其实是看待可能性，看待一个正在成长中的人。”教学中，经过时间的累积，教师逐渐积淀了对孩子的某种“看法”：好学生、差生……，教师总是沿着那种特定的“看”“法”去看学生。
与儿童相遇首先意味着数学教学的现象学态度：悬置——教师应该而且必须回到每一次与孩子相遇的实事本身；而且，每一次相遇都要求教师从“陌生人”的视角来关照——将班上数学学习的“弱势群体”看作新面孔，以探究、惊奇的眼光来对待！作为“陌生人”的教师，最能给每一个孩子以公平的机会，这是儿童数学教学公平的内在诉求。
其次，儿童的数学认知结构不仅包括已有的“结构性”知识，更重要的是包括大量的“非结构性”经验背景，儿童数学是儿童“街头数学”的继续和延伸。儿童独特的先天生理遗传和不同的生活阅历，尤其是在日常生活、游戏等活动中所积淀下的前数学“民俗经验”，使得每个儿童的数学学习背景都是如此地丰富而独特。儿童独特的数学“前理解”要求教师直面儿童的数学经验方式、思维方式、认知倾向等等，细腻地、科学地去剖析、研究儿童到底是怎样学习数学的。例如，儿童在计算三角形面积时总是忘记除以２，在计算圆锥体积时总是忘记除以３。对此，许多教师感到气愤：这些公式他们都能倒背如流，怎么到了运用时就丢三落四呢？原来在儿童经验中，一般的解题都是根据题目中现有的数据进行运算的（比如大多数应用题），儿童在潜意识中早就形成了“解题就是用题中给出的数据加减乘除”这样想当然的“理解”。明见这一点，教学中教师就应该用实事的态度、科学的方法去帮助儿童。
再次，由于数学教学活动建立在儿童的认知发展水平和已有知识经验基础之上，因此，教师要对每一个儿童的知识起点、能力起点、态度起点、年龄特征等作出准确解读，以便为实现儿童的各种可能性敞开道路！正是在这个意义上，美国教育心理学家奥苏贝尔说：“假如我把教育心理学归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道了什么。教师要探明这一点，并应据此进行教学。”
２．数学：一门动态成长的科学
秉持数学教学的现象学态度还必须追问数学的学科本质：数学是什么？数学的学科性质、知识性质规定着数学教与学的方式。
著名数学家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”按照英国数学家欧尼斯特的观点，教师所具有的数学观大致存在三种类型：工具主义数学观（即把数学看作适用于不同场合的事实性结论、法则和技巧的汇集而构成的一套工具）、静态的绝对主义数学观（即把数学看作一个静态的、无可怀疑的真理的集合）和动态的可误主义数学观（即把数学看作是一个动态的、由问题推动而发展的学科）。尽管教师对自我的数学观未必有清醒意识，但数学观作为一种“隐蔽观念”却时刻用“看不见的手”牵引着教师的数学教学。如果一位教师秉持工具主义或绝对主义的数学观，那他（她）就会有意无意地把儿童的头脑作为贮存知识的仓库，不断地往儿童的头脑里增加定理的数目，让儿童无条件地接受“数学真理”。而如果一位教师秉持可误主义数学观，承认数学知识的不确定性，那么，他（她）就会引领儿童去探究数学知识的来龙去脉，让儿童经历公理化、形式化、数学化的过程。数学教学就会因此而展现智慧的光彩，儿童就能体验到理智成长的愉悦！
３．活动：儿童智慧的数学学习方式
“活动是智慧的根源”（皮亚杰语），也是儿童的经验建构方式。《全日制义务教育数学课程标准》明确指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”“数学教学是数学思维活动的教学”（斯托利亚尔语），是儿童根据自己的体验，用自己的思维方式去“再创造”数学知识的活动。数学活动不仅仅指外显的“形动”（肢体活动），更重要的是内隐的“心动”、“思动”。诚如著名数学教育家斯托利亚尔所指出的，“数学知识的获得，主要不是靠实物实验，而是通过思想上的实验，进行紧张的思维活动。”根据斯托利亚尔的观点，儿童的数学活动（主要指数学思维活动）水平分为三个层次：第一层次是经验材料的数学组织化（数学描述），主要借助于观察、试验、归纳、类比、概括等方法积累事实材料；第二层次是数学材料的逻辑组织化，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；第三层次称为数学理论的应用。上述三个层次，同时契合了著名数学教育家弗赖登塔尔关于儿童数学化（水平数学化——指从儿童的生活世界引入数学的符号世界和垂直数学化——指在数学的符号世界里，符号的生成、重塑和被使用）的划分。
瑞士心理学家皮亚杰和前苏联教育心理学家列昂节夫等人关于活动在人的认识、思维、个性等形成发展中的作用研究为活动教学提供了充分的心理学依据。研究表明，儿童数学心智的发展正是儿童在主客体的交互作用中实现的，而活动正是主体身心参与的、主客体交互作用的过程，“是儿童与客观世界（自然、社会、伙伴）的全面、广泛、丰富的缔结”（马克思语）。数学活动的内涵有三：其一，数学活动应该是“数学的”，即活动要蕴涵数学本质，应该与数量关系、图形关系、统计关系紧密相连；其二，“数学活动”应该是“活动的”，这种活动不仅包括对数学材料的具体操作和形象探究，更重要的是让儿童经历“数学化”，即数学地组织现实材料过程；其三，“数学活动”应该是“自主的”，教师应该给儿童预留充分的探究时空，充分激发儿童自由创造的数学潜能！
二、面向思的事情：“儿童数学”的现象学旨趣
香港科技大学项武义先生认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。警惕“数学味”的流失，其中最根本的就是：凸显数学本质，突出数学内涵。任何“数学味”的被遮蔽、遗忘或缺席都将导致本真意义上的数学教学之“退场”。由此在数学教学中，教师要努力彰显数学中的“思想”、“方法”、“文化”、“精神”，发挥数学学科的“思”之功能，启迪儿童“运思”，让儿童的“数学之思”得以唤醒、显发、弘扬、敞亮……，让数学课堂成为儿童的数学“思维场”！
１．显现“数学思想”
比之于知识更丰富、系统更完备的高年级数学，儿童数学是质性数学，从某种意义上说是更加接近数学教育内核的数学。这个内核，不是计算技能，不是知识堆积，而是数学的思想方法。数学的精髓是什么？学习数学的价值是什么？一切都指向数学思想。数学思想是数学家解决数学问题的基本观点和根本想法，是通过思维活动得到的理性认识，形成的一种观念性结果。数学思想是活生生的数学灵魂，对数学的所有知识和方法具有统摄性。数学思想蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程之中。小学数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的易于被发现的“明河流”和数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它们是骨架和血脉的关系。正因为有了数学思想作灵魂，“游离”状态的数学知识才会凝结成优化的知识结构。因此，数学教学要充分显现数学思想（如正与负、直与曲、数与形、动与静、加与减、乘与除，等等）。数学的思想往往呈隐蔽形式，它积淀、凝聚在数学结论之后，渗透在儿童的问题解决过程之中。如果教师能从条分缕析的知识体系中跳离出来，从一个个知识点中看到隐藏在其后的朴素的学科本质方法，把数学的知识教学放在数学思想、意义与文化的长河之中，那么，数学教学就一定会于简单之处见深刻，于平常之处展博远！
要关注数学知识的“学科本质”，“淡化形式，注重实质”（陈重穆语），充分体现“数学味”（张奠宙语），“警惕数学教学中的形式主义”（曹培英语）。教学中我们不必对一些数学问题作“超理性分析”（如物体所占空间的大小叫做物体的体积，儿童对空间的概念就不甚了了），不必钻牛角尖、抠字眼（如教学中有教师对三角形——“由三条线段围成的图形”、方程——“含有未知数的等式”中一些所谓的关键词作分析），而应充分发掘“好的”数学模型——如“鸡兔同笼”模型等（此模型蕴涵了丰富的数学思想方法：化归、枚举、数形结合、假设、方程、建模等）、“好的”数学素材。
教学中我们要不断叩问：在我们精心创设的情境背后，知识和能力的根源在哪里？在煞费苦心的知识授予背后，文化和精神的支点在哪里？在环环紧扣的逻辑背后，直觉和猜想的孕育在哪里？在层次多样的背后，原理和模型的建构又在哪里？在方法提炼的技巧背后，思想与方法的引领又在哪里？只有我们关注到这些问题，我们才能准确地把握数学的学科本质！
２．敞亮“数学之思”
由于数学活动在很大程度上是思维活动，属于头脑的“暗箱操作”，因此从某种意义上说数学不是按照成人意志“直接教会儿童的”，而是通过儿童“自主建构”“发明”出来的。故而，我们要敞亮儿童的“数学之思”——引领儿童用数学的眼光观察事物，用数学的方式思考问题，用数学的语言诠释现象，用数学的观点表达认识……让儿童灵动地“思”、“想”，让儿童做到“思”之有“向”（方向），“思”之有“序”（顺序），“思”之有“理”（道理），“思”之有“创”（创新）……让儿童在提出问题和解决问题的过程中都带有鲜明的“数学色彩”，进而形成“数学的大脑”！
首先要加强“数学思维”研究，让儿童“通过数学学习学会思维”（郑毓信语）。要还原数学知识的“过程形态”，变“已完成的知识”为“未完成的知识”，给儿童尽可能多的机会，让儿童经历“数学化”，经历数学的“思想实验”、“理智历险”，不断把儿童引入数学的“思”之状态，开掘儿童的“思”之潜能，让儿童成为一个个“思”者。
其次要引领儿童把“反省性思维”运用于数学学习的各个环节。皮亚杰认为，数学表征的不是客观事物本身的性质，而是事物之间的关系。数学学习依赖于主体作用于物体的一系列动作之间的协调以及对这种协调的抽象，皮亚杰称之为“反省抽象”。大量研究表明：学生自我反省思维、自我批判思维能力的发展是学生可持续发展的动力。要启发儿童把数学的思考方式、方法整合于认知结构中，引领儿童对自身数学思维活动过程和结果进行自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控和自我调节，让儿童拥有良好的元认知技能，让儿童成为一个“反思性学习者”。例如，学习了“三角形面积”后，可以引领儿童自我发问：“我学会了什么知识？”（计算三角形面积的方法）；“知识点表征为什么？”（Ｓ＝（ａｈ）÷２）；“我是怎样学会的？”（转化法）；“在转化的过程中，我进行了哪些操作”（旋转和平移）；“为什么要除以２？”（拼成的三角形和平行四边形等底等高）。只有在这样的思维追问中，孩子的数学素养才能得到真正提升！
三、回归“生命·实践”：“儿童数学”的现象学路径
敞亮“儿童”与“数学”的现象学路径是从教育的原点去思考的。数学教育，无论它处于什么层次，都应致力于通过儿童的“生命·实践”活动去丰盈儿童的精神生命与生活，这是“儿童数学”的应有之义。“儿童数学”就是要实现书本知识与儿童的经验世界、生活世界的沟通，实现书本知识与数学整体的内在知识结构的沟通，实现书本知识与儿童发现问题与解决问题过程的沟通，由此丰富和拓展数学学科的育人资源。回归儿童的“生命·实践”是“儿童数学”的应然选择！
１．返回“生活世界”，丰盈儿童的生命实践活动体验
德国现代杰出思想家埃德蒙德·胡塞尔对我们存在于其中的世界作了“生活世界”与“科学世界”的区分。在他看来，生活世界是一个前科学、前概念、预先被给予的世界；是一个直观的、具有奠基性意义的世界；而科学世界是人们依据经验、规范、条例而形成的一种理性世界。
“生活世界”是“数学世界”的根基，是数学的意义之源，也是儿童的经验之源。数学中的许多概念、原理都可以在“生活世界”中找到原型。返回“生活世界”，可以让儿童获得多重表征：操作性表征（儿童在做数学中的直接体验）、映象性表征（儿童生活或活动中的视觉映象或其他映象）、符号性表征（儿童生活经验的抽象与概括），这些表征能让儿童获得丰富的体验，即完整的数学意义建构。
例如，教学“角的认识”（苏教版《数学》二年级下册）时，我先让孩子们到周遭的生活中去找寻“角”。第二天课堂上孩子们汇报交流对角的理解，有的是用文字写下来的：角是尖尖的、锋利的、用手摸起来戳人的；有的是画下来的：把桌子的“角”、冰箱的“角”、奥特曼头上的“角”……画在纸上；有的是让家长照下来的：有把身边一些带“角”的物体拍下来的，也有从网络上下载的图片——牛头、金字塔；还有的是自己做的或收集的：用纸折叠成的三角形状，小时候玩的积木中的三棱锥……但孩子们对角的认识停留在具体物体上，如何将“生活角”提升为“数学角”呢？
我发现孩子们对“角”的认识有两种情形：一种是认为角就是一个“点”，另一种是认为角是物体拐角的“一部分”。接着，我让大家用最简洁的方式将刚才指的“角”画下来，结果没有一位学生只画“点”的。孩子们知道，“角是需要一个点的，除了这个点还要有支撑这个点的东西。”
于是我请孩子们思考：支撑这个点还要画上什么？
根据他们的回答，我先是画上黑板的面、桌子的面、门的面，逐步过渡到这些物体面的一部分，我把原先画好的一个个面擦去两条线，再请他们观察，你看到的这个“角”由哪几部分组成？至此，孩子们逐渐领悟到“角”的数学模型：角是从一点引出两条射线组成的图形。接着我又出示一个平角，它也符合角有一个顶点，两条边组成，但它的顶点不是尖的，没有刺人的感觉。由此，孩子们弥补了对角不完全的经验性认识，科学完整地理解了“角”的数学内涵。
生活的边界就是孩子们的数学边界。“学校必须呈现现在的生活即对儿童来说是真实而生气勃勃的生活。像他在家里，在邻里间，在运动场上所经历的生活那样。”（杜威语）如果数学教学脱离孩子的生活，远离孩子的经验，那么，数学教学将逐渐导致儿童心灵和生活的荒漠化，孩子们就不能被称为一个“整体的人”。因此，数学教学要从孩子们的生活经验和已有体验开始，从直观的和容易引起想像的问题出发，通过“数学化”，逐步地将“生活数学”提升为“科学数学”，进而实现对儿童生活经验的发展、改造，让孩子们在经历中感悟，在体验中成长！
２．探询数学知识本原，引领儿童的生命实践活动建构
胡塞尔指出，“为了获得比较可靠的知识，显然需要进一步的还原，在自明的直观所给予的东西中区别出某种东西，这种东西的存在是绝对可靠的、无可置疑的。在这个意义上，只有一种自明的、具有必然性真理的东西才能满足更为确定的知识的需要。”冯·诺伊曼说：“数学思想来源于经验……但是，数学思想一旦构思出来，这门学科就开始经历它本身特有的生命……（然而）在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次‘抽象的’近亲繁殖之后，一门学科就有退化的危险。……每当到了这种地步时，在我看来，惟一的药方就是为重获青春而返本求源：重新注入多少直接来自经验的思想。”
探询数学知识的“本原”意味着对儿童而言，要考虑什么是某个数学问题最为根本的、本质的、基本的认知要素或构成。其来源有二：一是教师在备课过程中精心设计的反映学科本性的问题；二是在课堂教学活动中由学生所提出的涉及数学内容实质的问题。前者要求教师把学科本质问题“教学法化”；后者则意味着教师要善于在充满不确定性的课堂中从数学知识的生发处、生长处、生成处捕捉到学生某个朴素的数学想法并加以发展。
例如，教学“平行四边形面积”（苏教版《数学》五年级上册），多数老师从平行四边形与长方形的关系入手，通过割补平移将平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形面积公式，然后让孩子们加以运用。这种形式化的逻辑演绎造成孩子们因为缺少面积度量的意义支撑而“知其然却不知其所以然”。为此，笔者在教学中刻意弱化平行四边形与长方形在对应边关系上的直接比较，而侧重于从突出面积度量意义的角度引导学生自己产生转化的想法，进而获取图形转化的直接经验和对平行四边形面积计算本原意义的理解。于是，儿童明白了：因为平行四边形不可以直接用单位面积的小正方形去度量，所以只能转化成长方形，而且转化的前提是面积大小不能变化，与线段长度的变化无直接联系。接下来，笔者引导儿童通过摆一摆单位面积、说一说算法、找一找底和高的度量意义等学习过程，从本原意义上来体验这种转化。在随后的联系中，笔者也并不强调公式的提炼运用，而是让学生基于各自的理解程度来表述面积计算的思考过程，能概括的用抽象的算法公式，不能概括的则用头脑中的操作过程来描述。这样，面积公式在孩子丰富的数学操作体验中逐步明晰，孩子们的数学理解和数学抽象能力由此而发展。
３．还原数学知识的“过程形态”，诱发儿童的生命实践活动创造
数学“客观知识”是人类生命实践活动的智慧结晶。经过简约化提炼和符号化表达，数学知识凝结为一种符号化知识，它遮蔽了前人生命实践活动过程的真实复杂性和丰富生动性。儿童可能只是“占有”着这些“外在”的数学符号，却无法感受和获得前人的生命实践智慧。教学中，教师必须让数学知识恢复到其产生时的鲜活状态，让其成为一种“动姿化”的“过程形态”的知识。要引领儿童用他自己的认知方式、思维方式去经历、去体验、去复演人类创造知识的生动历程，让儿童在数学知识的创造活动中，与生产知识的人和历史进行对话。由此，儿童把他人生命实践活动的结果转化为自己生动的“再创造”活动历程，把他人生命实践中的经验和智慧，转化为自己生命成长的精神能量和重要资源！
例如，教学“乘法和加、减法的两步混合运算”（苏教版《数学》四年级上册）。如果按照教材上购物情境的两个实际问题，结合数量关系分析，学生也可能直观地、朴素地体会到运算顺序的合理性，却无法真正理解“算理”。为此，教学中我们应该追问运算顺序的“人为规定”：到底为什么先算乘法？一位教师在教学中首先从“１３＋８＋３”开始，然后把“３”变成“８”，得到“１３＋８＋８”；再在此算式后面加上３个８，得到“１３＋８＋８＋８＋８＋８”，连续两次动态呈现，三道相关的算式构筑了一个鲜活的变化情境。伴随学生口算时简便因素的不断增大，其口算方法逐步由“从左往右”转向“先用乘法算相同加数的和”，进而催生“简便”体验（先算乘法，后算加法）！再如香港的一位老师在教学《用厘米尺度量长度》一课，他不给学生任何提示，而是让学生自己想办法度量桌子的长度。很多学生用手一拃一拃地量，发现不同的手量出的数据各不相同，因而想到用统一的工具“回形针”一枚一枚地拼摆；发现又不方便，进而产生了用可以直接度量的尺子；但尺子没有刻度，读数极不方便，因此产生了画刻度做尺，并学会了利用刻度来读数。通过这样的数学化活动，孩子们掌握了数学独特的思考与创造模式，体验了数学的价值！
４．赋予数学知识文化与心理意义，催生儿童的生命实践活动表达
儿童的数学化过程是儿童“自组织”数学学习素材的过程，也是儿童对客观的“数学知识”进行主观“意义赋予”的过程。所谓“意义赋予”是指儿童依据自身已有知识经验（认知结构）、生活经历对数学知识所作的“非正规解释”。这些“非正规解释”承载了儿童思维中生动活泼的意念，展现了儿童对数学的“创造性理解”。
例如，一位孩子通过计算得出结论“周长相等的平面图形中圆的面积最大”（苏教版《数学》五年级下册）后，这样解释：“同样一些人手拉手围成一个圈（即周长相等），要使它尽可能大，每一个人都应尽力向后退。如果每个人力量相同，这样形成的图形便是圆。而围成其他图形只需部分的人用劲。像正方形，可以看成是只有四个角的人在使劲后退。当然是圆的面积最大了，‘团结力量大’嘛。”正是由于儿童丰富的“非正式数学经验”，由于儿童独特的“数学视界”，儿童对数学知识进行了主观的独特阐释，产生了如此个性化的表达。
再如，鉴于对分数概念的缘起及特质的认识，我们曾借助两个形象的词汇来帮助学生“认识分数”（苏教版《数学》三年级下册）。其一是“破碎的数”。这其中的“数”，显然应是指整数。因为在拉丁文里，分数一词源于ｆｒａｎｇｅｒｅ，是打破、断裂的意思。因此，分数被西方人叫做“破碎数”，以至于德国人到现在为止，形容某人陷入因境，还常说是“掉进分数里去了”。在学习分数之前，孩子们的头脑中只有整数的概念。而从这个形象的说法中，孩子们能够深刻认识到：分数缘起于测量和均分的需要——因为进行了平均分，就可能得不到整数结果，也可以说得到的结果是个“不完整的自然数”，即“破碎了的数”。其二是“几份之几”。我们借鉴全国著名特级教师华应龙的做法，在意义上将３／４表示成四份之三。如此，让学生轻松、熟练地掌握分数的概念本质。语言是思维的外壳，形象生动的语言描述能够帮助学生准确、深刻地理解概念的本真意义。
值得注意的是，一方面在教学中我们要尊重儿童对数学知识的“非正规解释”，尊重儿童给数学知识所赋予的文化与心理意义，让数学学习成为儿童的生命实践活动表达！另一方面，当孩子们用富有个性的“儿童化语言”表达自己的生命实践活动体验时，教师应发挥其引领作用，引领他们逐步用准确、凝练、简洁的“数学化语言”（文字术语、符号、图形等）去表达自己的生命实践，即“数学地说”与“数学地写”。帮助孩子们逐步学会“数学地谈论”、“数学地交流”。学会“数学地表达”可以看成是儿童数学素养得以提升的一个重要标识，即由日常语言逐步转向数学的符号语言，由对数学的“非正规解释”逐步过渡到“正规解释”，以及由较为初等的数学语言逐步过渡到较为高级的数学语言！
Ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｌｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＷＡＮＧ Ｓｈｕ－ｌｉｎ
（Ｒｕｇａｏ Ｄｉｎｇｂｅｉ Ｐｒｉｍａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌ， Ｒｕｇａｏ ２２６５７１， Ｃｈｉｎａ）
Abstract: Ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｈｉｌｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ｉｎｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ ｌｉｇｈｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｉｎ ｐｕｒｓｕｉｔ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｉｄｅｏｌｏｇｙ， ａｎｄ ｉｎ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ａｎｄ ｐｒｏｍｏｔｅ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｂｙ ｗａｙ ｏｆ ａｃｔｉｖｉｔｉｅｓ ｏｎ ｌｉｆｅ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ， ｃｒｅａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ， ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｇｏａｌ ｏｆ ｃｈｉｌｄ＇ｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｃｈｅｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｎ ｆａｃｅ ｏｆ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．
Key words: ｃｈｉｌｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ； ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙ； ｌｉｆｅ； ｐｒａｃｔｉｃｅ