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分类讨论思想是初中阶段重要的数学思想方法之一，也是近几年中考的一个重点和热点，但是初中学生在解决此类问题时，由于分类讨论意识不强，往往不得要领，致使所得结果不完整，出现遗漏现象。这就需要教师在教学中逐步引导，认真归纳，启发诱导，揭示分类讨论的本质，从而自觉形成应用分类讨论的意识。
初中几何主要研究的图形就是点、线、角、三角形，四边形和圆，在一些问题中，由于点的位置的不确定性，或者三角形的边角的不确定性，或是运动过程中图形的变化引起的结果的不唯一，就需要进行分类讨论。下面通过一些三角形、、圆和图形相互运动中的实例来谈谈几何中常见的分类讨论思想的应用。
一、三角形中分类讨论思想的应用
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
1、三角形的形状不定需要分类讨论
例1、 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，由， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B=25°。可知∠BAD=65°。所以∠BCA=∠BAD=65°。 如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B=∠CAD=25°∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°
2、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例2、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为______________。
解析：由，可得且， 分别解这两个方程，可得满足条件的解，或。
由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；
当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。
综上，第三边的长为或或。
3、相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
例3、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选（B）。
二、图形运动过程中分类讨论的应用
图形的运动过程中，涉及到动线、动点、动图问题，每一种情况往往都会因为运动产生不同的结果，从而要求应用分类讨论来解决。
1、 点的运动引起的图形变化产生的分类讨论问题
例4、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动
点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒.
（1） 求直线AB的解析式；
（2） 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意，得 b=6
8k+b=0
解得 k=— b=6
所以，直线AB的解析式为y=—x+6.
（2）由 AO=6， BO=8 得 AB=10，所以AP=t ，AQ=10—2t
1°当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）
2°当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）
2、 线的运动引起图形的变化产生的分类讨论问题
例5、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
解析：如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12
∵QB=16—t，∴S=×12×（16—t）=96—t
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
① 若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2=BQ2 得 ，解得t=；
② 若BP=BQ。在Rt△PMB中，。由BP2=BQ2 得：
即。
由于Δ=—704<0 ∴无解， ∴PB≠BQ
③ 若PB=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得。解得（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
通过以上的一些实例，我们可以发现，几何中的分类讨论应用十分广泛。只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题准确无误。分类过程中应把握的原则是（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。在整个教学的过程中，教师应该循序渐进，逐步渗透分类方法和分类原则，使学生通过较长时间的培养，形成分类讨论的意识，提高学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，从而达到课标的要求。
参考文献
[1] 《全日制义务教育课程标准（实验稿）》。北京师范大学出版社
[2] 《数学思想和数学方法》。蔡上鹤
[3] 《中考中的数学思想》。南秀全
初中几何主要研究的图形就是点、线、角、三角形，四边形和圆，在一些问题中，由于点的位置的不确定性，或者三角形的边角的不确定性，或是运动过程中图形的变化引起的结果的不唯一，就需要进行分类讨论。下面通过一些三角形、、圆和图形相互运动中的实例来谈谈几何中常见的分类讨论思想的应用。
一、三角形中分类讨论思想的应用
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
1、三角形的形状不定需要分类讨论
例1、 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，由， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B=25°。可知∠BAD=65°。所以∠BCA=∠BAD=65°。 如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B=∠CAD=25°∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°
2、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例2、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为______________。
解析：由，可得且， 分别解这两个方程，可得满足条件的解，或。
由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；
当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。
综上，第三边的长为或或。
3、相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
例3、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选（B）。
二、图形运动过程中分类讨论的应用
图形的运动过程中，涉及到动线、动点、动图问题，每一种情况往往都会因为运动产生不同的结果，从而要求应用分类讨论来解决。
1、 点的运动引起的图形变化产生的分类讨论问题
例4、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动
点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒.
（1） 求直线AB的解析式；
（2） 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意，得 b=6
8k+b=0
解得 k=— b=6
所以，直线AB的解析式为y=—x+6.
（2）由 AO=6， BO=8 得 AB=10，所以AP=t ，AQ=10—2t
1°当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）
2°当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）
2、 线的运动引起图形的变化产生的分类讨论问题
例5、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
解析：如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12
∵QB=16—t，∴S=×12×（16—t）=96—t
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
① 若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2=BQ2 得 ，解得t=；
② 若BP=BQ。在Rt△PMB中，。由BP2=BQ2 得：
即。
由于Δ=—704<0 ∴无解， ∴PB≠BQ
③ 若PB=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得。解得（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
通过以上的一些实例，我们可以发现，几何中的分类讨论应用十分广泛。只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题准确无误。分类过程中应把握的原则是（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。在整个教学的过程中，教师应该循序渐进，逐步渗透分类方法和分类原则，使学生通过较长时间的培养，形成分类讨论的意识，提高学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，从而达到课标的要求。
参考文献
[1] 《全日制义务教育课程标准（实验稿）》。北京师范大学出版社
[2] 《数学思想和数学方法》。蔡上鹤
[3] 《中考中的数学思想》。南秀全