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【摘要】函数思想是数学解题中的一种非常重要的数学思想方法，在数学解题中有着非常广泛的应用.许多数学问题，诸如方程问题、不等式问题，如若按常规解题策略，可能会带来繁琐的计算和复杂的证明过程，不利于解题的顺利进行；相反，根据已知条件和结论中的信息，构造适当的函数，常常能优化解题，从而达到事半功倍的效果.
【关键词】函数；方程；不等式
一、引 言
构造性解题方法是一种古老而又崭新的科学方法，历史上许多著名的数学家如欧几里得、高斯、拉格朗日等人，都曾用这一方法成功地解决过数学中的难题.本文主要从“构造函数解决一些方程和不等式问题”来阐述构造函数法在数学解题中的重要作用，同时也给出一些关于构造函数解题的看法.
二、构造函数法在数学解题中的重要作用
1构造函数在解决一些方程问题中的优越性
函数的思想，就是利用变化的观点，把研究的数量关系用函数的形式表示出来，然后利用函数性质进行研究，最终使问题获解.一旦给出具体形式的方程，就可以转化为求解相应函数取值为零时的情形，使问题顺利获解的同时，优化了解题.
例1 已知多项式函数P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e满足关系式P(1)=1997，P(2)=3994，P(3)=5991，P(4)=7998，求表达式P(10)+P(-5)的值.
分析 此题若按常规求解，逐一将x=1,2,3,4代入，求解系数a，b，c，d，e，势必带来繁琐的计算，当然这样解题也不是命题者的初衷.其实解题的关键是：
（1）归纳得到P(x)=1997x（x=1，2，3，4，x∈Z）.
（2）构造函数Q(x)=P(x)-1997x，（x∈Z），将方程转化为函数问题.
（3）利用因式定理分解Q(x).
事实上，Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r),r∈Z，代入解得结果为75315.
评注 函数Q(x)的出现，使得解题简捷了许多.对于此类给出方程的基本形式及其若干取值的题型，经常考虑构造函数，结合因式定理来求解.
通过对上述例子的分析与评注，我们发现，对于一些特殊的函数方程问题，直接求解未必能使问题顺利获解，或者解题效率不高.此时我们必须认真分析条件与结论，探究其内在的联系，构造出适当的函数，转化解题思路，最终达到较为理想的解题效果.
2构造函数在解决一些不等式问题中的优越性
不等式问题是数学解题的一个重要对象，因此寻求实用有效的解题策略就非常有必要.由于不等式也蕴涵在函数观点之下，所以利用函数思想来解决不等式问题也成为许多解题爱好者竞相尝试的一种方法，而且收到了不错的效果.
例2 设A，B，C∈R，多元函数f(x,y,z)=A(x-y)•(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y).求对于任意的x，y，z∈R，不等式f(x,y,z)≥0恒成立的充要条件.
分析 显然，若x=y=z，f(x,y,z)=0符合题意，故可设y≠z，将函数f(x,y,z)=A(x-y)(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y)适当变形，得到f(x,y,z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2.
于是f(x,y,z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2≥0恒成立等价于二次函数f(t)=At2-(B-A-C)t+C≥0恒成立，其中t=(y-z)-1(x-y).利用二次函数的性质即可求得充要条件.
评注 在处理许多有关“恒成立”的不等式问题时，我们经常借助构造二次函数f(x)=ax2+bx+c，利用它的一些性质：
①a>0时，Δ≤（<）0等价于f(x)≥（>）0恒成立；
②a<0时，Δ≤（<）0等价于f(x)≤（<）0恒成立，
把问题转化，以便从更为便捷的途径将问题解决.这一方法在求解变元的取值范围、证明不等式问题上也很奏效.利用此法证明柯西不等式，会让我们看到其独到性和优越性.
从以上例子我们不难发现：许多不等式问题，如果不经过适当的变形，在求解时往往会出现不少障碍，有碍我们解题；有时即便已经做了合理的转化，如果不借助函数手段，也很难简捷有效地解决问题.为此，熟练掌握构造函数，利用函数思想巧解不等式问题这一项解题技巧，对于我们今后的教学工作，尤其是解题教学大有裨益.
三、构造函数求解方程和不等式问题中的误区
作为一种解题策略，构造函数解题具有简捷实用的特点，因而容易使人产生误解，片面夸大了其解题的优越性和实用性，而忽视了策略自身的本质，即策略只有得到有效使用时才能体现其价值.
1审题不清，强行构造函数，造成运算繁琐
其实对于含参数及变量的方程和不等式问题，考虑运用构造函数解题当然是可取的，但未必是最佳的.由于实现解题的最优化才是解题教学的本质，而数学问题的解决具有多种方法和途径，因此选择合适的解题策略非常重要.
2理解不透，构造函数不当，使解题陷入瘫痪
事实上，对于一类特殊的数学问题，构造函数是非常理想的解题策略，而且有时候无法用其他策略来替代.在正确地选择策略的同时，必须深刻领会题意，构造合理有效的函数（可以不断尝试，不断验证），才能真正达到运用构造函数策略解题的目的.
四、结束语
数学解题策略是多种多样的，每种策略作用在不同的对象上都有各自的独特性和高效性，构造函数这一解题策略也不例外.构造函数解题要求解题者具有敏锐的洞察力和积极的创新意识，同时还需要一定的解题功底，因而决定了在付诸应用时可能存在的局限性.在充分考虑构造函数解题策略的局限性的同时，要发挥主观能动性，开拓思路，努力尝试，在实践中展示这一策略的美感.
【参考文献】
［1］余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究(下).北京：高等教育出版社.
［2］朱水根，王延文.中学数学教学导论.北京：教育科学出版社.
［3］赵小云.奥林匹克数学引论.南宁：广西教育出版社.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】函数；方程；不等式
一、引 言
构造性解题方法是一种古老而又崭新的科学方法，历史上许多著名的数学家如欧几里得、高斯、拉格朗日等人，都曾用这一方法成功地解决过数学中的难题.本文主要从“构造函数解决一些方程和不等式问题”来阐述构造函数法在数学解题中的重要作用，同时也给出一些关于构造函数解题的看法.
二、构造函数法在数学解题中的重要作用
1构造函数在解决一些方程问题中的优越性
函数的思想，就是利用变化的观点，把研究的数量关系用函数的形式表示出来，然后利用函数性质进行研究，最终使问题获解.一旦给出具体形式的方程，就可以转化为求解相应函数取值为零时的情形，使问题顺利获解的同时，优化了解题.
例1 已知多项式函数P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e满足关系式P(1)=1997，P(2)=3994，P(3)=5991，P(4)=7998，求表达式P(10)+P(-5)的值.
分析 此题若按常规求解，逐一将x=1,2,3,4代入，求解系数a，b，c，d，e，势必带来繁琐的计算，当然这样解题也不是命题者的初衷.其实解题的关键是：
（1）归纳得到P(x)=1997x（x=1，2，3，4，x∈Z）.
（2）构造函数Q(x)=P(x)-1997x，（x∈Z），将方程转化为函数问题.
（3）利用因式定理分解Q(x).
事实上，Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r),r∈Z，代入解得结果为75315.
评注 函数Q(x)的出现，使得解题简捷了许多.对于此类给出方程的基本形式及其若干取值的题型，经常考虑构造函数，结合因式定理来求解.
通过对上述例子的分析与评注，我们发现，对于一些特殊的函数方程问题，直接求解未必能使问题顺利获解，或者解题效率不高.此时我们必须认真分析条件与结论，探究其内在的联系，构造出适当的函数，转化解题思路，最终达到较为理想的解题效果.
2构造函数在解决一些不等式问题中的优越性
不等式问题是数学解题的一个重要对象，因此寻求实用有效的解题策略就非常有必要.由于不等式也蕴涵在函数观点之下，所以利用函数思想来解决不等式问题也成为许多解题爱好者竞相尝试的一种方法，而且收到了不错的效果.
例2 设A，B，C∈R，多元函数f(x,y,z)=A(x-y)•(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y).求对于任意的x，y，z∈R，不等式f(x,y,z)≥0恒成立的充要条件.
分析 显然，若x=y=z，f(x,y,z)=0符合题意，故可设y≠z，将函数f(x,y,z)=A(x-y)(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y)适当变形，得到f(x,y,z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2.
于是f(x,y,z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2≥0恒成立等价于二次函数f(t)=At2-(B-A-C)t+C≥0恒成立，其中t=(y-z)-1(x-y).利用二次函数的性质即可求得充要条件.
评注 在处理许多有关“恒成立”的不等式问题时，我们经常借助构造二次函数f(x)=ax2+bx+c，利用它的一些性质：
①a>0时，Δ≤（<）0等价于f(x)≥（>）0恒成立；
②a<0时，Δ≤（<）0等价于f(x)≤（<）0恒成立，
把问题转化，以便从更为便捷的途径将问题解决.这一方法在求解变元的取值范围、证明不等式问题上也很奏效.利用此法证明柯西不等式，会让我们看到其独到性和优越性.
从以上例子我们不难发现：许多不等式问题，如果不经过适当的变形，在求解时往往会出现不少障碍，有碍我们解题；有时即便已经做了合理的转化，如果不借助函数手段，也很难简捷有效地解决问题.为此，熟练掌握构造函数，利用函数思想巧解不等式问题这一项解题技巧，对于我们今后的教学工作，尤其是解题教学大有裨益.
三、构造函数求解方程和不等式问题中的误区
作为一种解题策略，构造函数解题具有简捷实用的特点，因而容易使人产生误解，片面夸大了其解题的优越性和实用性，而忽视了策略自身的本质，即策略只有得到有效使用时才能体现其价值.
1审题不清，强行构造函数，造成运算繁琐
其实对于含参数及变量的方程和不等式问题，考虑运用构造函数解题当然是可取的，但未必是最佳的.由于实现解题的最优化才是解题教学的本质，而数学问题的解决具有多种方法和途径，因此选择合适的解题策略非常重要.
2理解不透，构造函数不当，使解题陷入瘫痪
事实上，对于一类特殊的数学问题，构造函数是非常理想的解题策略，而且有时候无法用其他策略来替代.在正确地选择策略的同时，必须深刻领会题意，构造合理有效的函数（可以不断尝试，不断验证），才能真正达到运用构造函数策略解题的目的.
四、结束语
数学解题策略是多种多样的，每种策略作用在不同的对象上都有各自的独特性和高效性，构造函数这一解题策略也不例外.构造函数解题要求解题者具有敏锐的洞察力和积极的创新意识，同时还需要一定的解题功底，因而决定了在付诸应用时可能存在的局限性.在充分考虑构造函数解题策略的局限性的同时，要发挥主观能动性，开拓思路，努力尝试，在实践中展示这一策略的美感.
【参考文献】
［1］余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究(下).北京：高等教育出版社.
［2］朱水根，王延文.中学数学教学导论.北京：教育科学出版社.
［3］赵小云.奥林匹克数学引论.南宁：广西教育出版社.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文