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摘 要：建模是求解数学应用题的重中之重。建立数学模型的难点是变量的引入与变量关系的处理。在《应用题求解策略》研讨课中，采用稚化思维，让学生通过动手操作，积累基本活动经验，发现、感悟影响目标函数变化的动因；通过引入不同变量的差异分析，进行一题多解，让学生体会设置不同变量、建立不同目标函数对解题难易程度的影响，说明适当引入变量的重要性。在应用题教学中培养学生的数学核心素养，应该坚持“思维教学”，促进“深度学习”，把应用题教学变成数学建模活动。
关键词：应用题教学 数学建模素养 变量设置 目标函数
江苏高考数学试卷一直坚持将应用问题以解答题的形式呈现，突出考查分析问题、解决问题的能力。但时至今日，应用题的教学依然是高中数学教学的软肋，很多学生惧怕应用题，很多教师对此也缺乏很好的对策。
针对这种情况，我市高中数学学科领军人才团队在一所省四星级重点高中举行“应用题教学”专题研讨活动。笔者作为团队中的一员，开设了《应用题求解策略》的研讨课。本文结合这节课的教学过程，从培养学生数学核心素养的角度，谈谈笔者对教学设计的构想与反思，供同仁研讨。
一、教学设计
（一）课题内容的选择
求解常规数学应用题，一般由审题、建模、解模与还原四大环节构成。从已有的教学经验看，前三个环节都是教学的难点，但是一节课的时间很难破解三个难点问题。对于高三三轮复习，宜采用“微专题”的形式，紧紧围绕复习的重难点设计问题，切实解决学生的实际困难，力求难点问题分散突破。建模是求解数学应用题的重中之重，自然应该成为本节课教学的核心内容。
（二）典型例题的选择
由于是借班上的高三三轮复习课，学生上课前已经解决过大量的应用问题。为了防止提出的问题与学生已经解决的问题重复，无法使教学达到预期效果，笔者自编了一道操作应用题，通过课堂上师生的合作探究，开展数学建模活动，来完成教学任务。
（三）教学方法的选择
建立数学模型的难点是变量的引入与变量关系的处理。教学中，采用稚化思维的手段，让学生通过动手操作，积累基本活动经验，发现、感悟影响目标函数变化的动因；通过引入不同变量的差异分析，进行一题多解，让学生体会设置不同变量、建立不同目标函数对解题难易程度的影响，说明适当引入变量的重要性。同时，通过使用不同模块的数学知识，解决同一数学问题，打破学生的思维定式，拓展学生的思维程式。
二、教学实录
（一）情境引入
师 应用题是高考数学的必考题型，很多同学都感觉应用题难做。今天，我想让同学们轻松一下，一起来回忆小学、初中解应用题的经历，看看这些经历能给我们什么启示。（稍停）在小学低年级的时候，有这样的应用题——二年级1班有54人，2班有48人，请问：（1）两班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人？这道题想让我们弄清什么问题？
生 什么时候用加法，什么时候用减法。
师 对了，当初的小小少年最大的困惑就是“何时用加”“何时用减”，而这正是我们解应用题首先要解决的问题——（板书）“理清数量关系”。（稍停）在小学高年级的时候，还有这样的问题：小红购买2支铅笔和3支圆珠笔花去8元钱，小明购买同样的3支铅笔和3支圆珠笔花去9元钱，问购买1支铅笔和1支圆珠笔各需要多少元钱？作为小学生的你是如何解决的呢？
（三）总结提升
师 应用题的求解，关键在于数学模型的选择，而模型选择的关键又在于变量的选择，以及数量关系的挖掘。对于这道题，通过努力，我们从不同的角度（选边、选角、选点）设置了不同的变量，挖掘了不同的数量关系，得到了S△DEP的三种不同表示方式，同时体会到三种方式不同的难易程度。下面的任务就是利用导数工具，研究相应函数的单调性，求出最值，检验第一位学生答案的真伪。由于时间关系，请同学们课后完成，同时也请同学们体会不同函数模型求解的不同难易程度。（稍停）通过这节课的学习，请同学们想一想：处理最优化应用题的一般步骤是什么呢？
生 首先要读懂題目意思，分清条件和目标，弄清数量关系；其次要根据题目的条件和目标设置变量，建立函数关系式，并且要注意变量的限制条件；再次就是利用单调性、基本不等式、导数等工具求解数学结论；最后还要根据实际问题进行回顾，看看有没有需要舍去的解，并且不要忘记作答。
师 总结得很完整。我们可将其概括为：理顺数量关系、识别知识模块、寻找问题动因、巧设动因变量、建立目标函数、规范求解作答。希望同学们能增强数学应用意识，学会“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”。
三、教学反思
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养。高中数学教学，包括高三复习应用题教学，应该注意培养学生的数学核心素养，为学生的终身发展奠基。那么，具体应该如何落实呢？
（一）坚持“思维教学”
一线教师每天面对学生的基本任务是帮助学生把一个个具体知识理解到位并能用于解决问题，这是实实在在的事情。章建跃博士认为：在这种日常平凡的数学知识教学中，充分发挥数学学科“理性思维”的特色，坚持“思维的教学”就是落实发展学生数学核心素养的根本途径。郑毓信教授认为：数学核心素养的基本含义在于，我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并使他们逐步学会思考得更清晰、更深入、更全面、更合理。
思维是在表象的基础上，利用已有知识和经验，进行分析、综合、联系、比较、抽象和概括，形成概念、判断和推理等认识活动的过程。本节课从一个折纸实验开始，通过“你能提出什么问题”，激活学生的参与欲望，让学生观察现象，提出问题，形成对问题的抽象与概括；再通过“尝试在折叠的过程中寻找问题的答案”，培养学生的直观想象力，并初步形成对目标成因的分析与综合，为问题的数学化铺平道路；又通过“这些结论是否正确”，引导学生进行推理与判断，通过一题多解，把学生的思维活动引向纵深，推向高潮，进而提升思维层次，发展思维能力。 （二）促进“深度学习”
培养数学核心素养的起点是问题解决，落点则是深度学习。数学核心素养不是教出来的，是在问题情境中通过解决实践培育起来的。没有问题，就难以激发学生的求知欲望，难以促进学生的深入思考，这样的学习就只能是表层和形式的。而促进学生深度学习，引领学生深度思考数学问题，反思思维过程，可以帮助学生感悟数学本质，发展思维品质，从而提升数学核心素养。特别地，高三复习教学不应该只是对知识的再回顾，技能的再巩固，更应该是系统知识的再建构，学习能力的再提升，尤其需要通过具有一定思维含量的问题，引领学生经历深度学习和不断完善的过程。
传统的高三大专题复习教学往往只注重知识的综合性、方法的灵活性，在复习的精细度、深刻度等方面都存在一定的问题。本节课不追求解决应用题环节的面面俱到，而是从数学核心素养培育的视角出发，确立以“数学建模”为主题的教学内容，进而创设具有丰富思维含量的问题情境，引导学生不断深入地开展学习活动，完善问题的解决。实践证明，只有促进学生的深度学习，才有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法、深刻的数学理解，从而提高数学核心素养。
（三）把应用题教学变成数学建模活动
当下的高三复习应用题教学有很强的应试倾向。具体表现为：所有应用题的编拟都以高考题为范本，是经过适度形式化的数学题，有完备、封闭的条件与结论系统，没有开放性；课堂教学也仅以分析问题、
解决问题为目标，局限于应用意识的启蒙，缺乏发现问题、提出问题的创造性思維能力培养，与数学建模活动相去甚远。
实际上，不同类型的数学问题有着不同的教育功能，培养学生思维能力的着力点也有所不同，比如立体几何题侧重培养空间想象能力与推理论证能力，解析几何题侧重提高运算求解能力，概率与统计题偏向发展数据分析能力。而应用题作为数学知识在实际生活中应用的题型，其核心价值就是培养数学建模能力。因此本节课在教学设计之初，笔者就摒弃了那种“给出变量设置，只需建模求解”的应试题型，通过折纸实验的开放性提问，引领学生发现提出问题、分析解决问题，感悟数学思想方法，积累数学活动经验，把应用题的解题教学变成数学建模的思维活动。
从数学核心素养的层面来看，六大数学核心素养既相互独立，又相互交融，形成一个有机的整体。数学建模活动作为一项创造性的思维活动，在有效培养学生独立、自觉运用所学理论知识，探索解决实际问题的同时，也必然会使学生的基础知识、基本技能等得到加强，运算能力、逻辑思维能力、空间观念等得到提高，数学抽象、数据分析等素养得到逐步提升。可以说，数学建模活动全面指向数学核心素养的发展。
参考文献：
[1] 陶维林.数学教学是思维的教学——听课有感[J].数学通报，2008（3）.
[2] 曾荣.“微专题”复习：促进深度学习的有效方式[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（4）.
[3] 章建跃.数学核心素养如何落实在课堂[J].中小数学（高中版），2016（3）.
关键词：应用题教学 数学建模素养 变量设置 目标函数
江苏高考数学试卷一直坚持将应用问题以解答题的形式呈现，突出考查分析问题、解决问题的能力。但时至今日，应用题的教学依然是高中数学教学的软肋，很多学生惧怕应用题，很多教师对此也缺乏很好的对策。
针对这种情况，我市高中数学学科领军人才团队在一所省四星级重点高中举行“应用题教学”专题研讨活动。笔者作为团队中的一员，开设了《应用题求解策略》的研讨课。本文结合这节课的教学过程，从培养学生数学核心素养的角度，谈谈笔者对教学设计的构想与反思，供同仁研讨。
一、教学设计
（一）课题内容的选择
求解常规数学应用题，一般由审题、建模、解模与还原四大环节构成。从已有的教学经验看，前三个环节都是教学的难点，但是一节课的时间很难破解三个难点问题。对于高三三轮复习，宜采用“微专题”的形式，紧紧围绕复习的重难点设计问题，切实解决学生的实际困难，力求难点问题分散突破。建模是求解数学应用题的重中之重，自然应该成为本节课教学的核心内容。
（二）典型例题的选择
由于是借班上的高三三轮复习课，学生上课前已经解决过大量的应用问题。为了防止提出的问题与学生已经解决的问题重复，无法使教学达到预期效果，笔者自编了一道操作应用题，通过课堂上师生的合作探究，开展数学建模活动，来完成教学任务。
（三）教学方法的选择
建立数学模型的难点是变量的引入与变量关系的处理。教学中，采用稚化思维的手段，让学生通过动手操作，积累基本活动经验，发现、感悟影响目标函数变化的动因；通过引入不同变量的差异分析，进行一题多解，让学生体会设置不同变量、建立不同目标函数对解题难易程度的影响，说明适当引入变量的重要性。同时，通过使用不同模块的数学知识，解决同一数学问题，打破学生的思维定式，拓展学生的思维程式。
二、教学实录
（一）情境引入
师 应用题是高考数学的必考题型，很多同学都感觉应用题难做。今天，我想让同学们轻松一下，一起来回忆小学、初中解应用题的经历，看看这些经历能给我们什么启示。（稍停）在小学低年级的时候，有这样的应用题——二年级1班有54人，2班有48人，请问：（1）两班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人？这道题想让我们弄清什么问题？
生 什么时候用加法，什么时候用减法。
师 对了，当初的小小少年最大的困惑就是“何时用加”“何时用减”，而这正是我们解应用题首先要解决的问题——（板书）“理清数量关系”。（稍停）在小学高年级的时候，还有这样的问题：小红购买2支铅笔和3支圆珠笔花去8元钱，小明购买同样的3支铅笔和3支圆珠笔花去9元钱，问购买1支铅笔和1支圆珠笔各需要多少元钱？作为小学生的你是如何解决的呢？
（三）总结提升
师 应用题的求解，关键在于数学模型的选择，而模型选择的关键又在于变量的选择，以及数量关系的挖掘。对于这道题，通过努力，我们从不同的角度（选边、选角、选点）设置了不同的变量，挖掘了不同的数量关系，得到了S△DEP的三种不同表示方式，同时体会到三种方式不同的难易程度。下面的任务就是利用导数工具，研究相应函数的单调性，求出最值，检验第一位学生答案的真伪。由于时间关系，请同学们课后完成，同时也请同学们体会不同函数模型求解的不同难易程度。（稍停）通过这节课的学习，请同学们想一想：处理最优化应用题的一般步骤是什么呢？
生 首先要读懂題目意思，分清条件和目标，弄清数量关系；其次要根据题目的条件和目标设置变量，建立函数关系式，并且要注意变量的限制条件；再次就是利用单调性、基本不等式、导数等工具求解数学结论；最后还要根据实际问题进行回顾，看看有没有需要舍去的解，并且不要忘记作答。
师 总结得很完整。我们可将其概括为：理顺数量关系、识别知识模块、寻找问题动因、巧设动因变量、建立目标函数、规范求解作答。希望同学们能增强数学应用意识，学会“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”。
三、教学反思
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养。高中数学教学，包括高三复习应用题教学，应该注意培养学生的数学核心素养，为学生的终身发展奠基。那么，具体应该如何落实呢？
（一）坚持“思维教学”
一线教师每天面对学生的基本任务是帮助学生把一个个具体知识理解到位并能用于解决问题，这是实实在在的事情。章建跃博士认为：在这种日常平凡的数学知识教学中，充分发挥数学学科“理性思维”的特色，坚持“思维的教学”就是落实发展学生数学核心素养的根本途径。郑毓信教授认为：数学核心素养的基本含义在于，我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并使他们逐步学会思考得更清晰、更深入、更全面、更合理。
思维是在表象的基础上，利用已有知识和经验，进行分析、综合、联系、比较、抽象和概括，形成概念、判断和推理等认识活动的过程。本节课从一个折纸实验开始，通过“你能提出什么问题”，激活学生的参与欲望，让学生观察现象，提出问题，形成对问题的抽象与概括；再通过“尝试在折叠的过程中寻找问题的答案”，培养学生的直观想象力，并初步形成对目标成因的分析与综合，为问题的数学化铺平道路；又通过“这些结论是否正确”，引导学生进行推理与判断，通过一题多解，把学生的思维活动引向纵深，推向高潮，进而提升思维层次，发展思维能力。 （二）促进“深度学习”
培养数学核心素养的起点是问题解决，落点则是深度学习。数学核心素养不是教出来的，是在问题情境中通过解决实践培育起来的。没有问题，就难以激发学生的求知欲望，难以促进学生的深入思考，这样的学习就只能是表层和形式的。而促进学生深度学习，引领学生深度思考数学问题，反思思维过程，可以帮助学生感悟数学本质，发展思维品质，从而提升数学核心素养。特别地，高三复习教学不应该只是对知识的再回顾，技能的再巩固，更应该是系统知识的再建构，学习能力的再提升，尤其需要通过具有一定思维含量的问题，引领学生经历深度学习和不断完善的过程。
传统的高三大专题复习教学往往只注重知识的综合性、方法的灵活性，在复习的精细度、深刻度等方面都存在一定的问题。本节课不追求解决应用题环节的面面俱到，而是从数学核心素养培育的视角出发，确立以“数学建模”为主题的教学内容，进而创设具有丰富思维含量的问题情境，引导学生不断深入地开展学习活动，完善问题的解决。实践证明，只有促进学生的深度学习，才有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法、深刻的数学理解，从而提高数学核心素养。
（三）把应用题教学变成数学建模活动
当下的高三复习应用题教学有很强的应试倾向。具体表现为：所有应用题的编拟都以高考题为范本，是经过适度形式化的数学题，有完备、封闭的条件与结论系统，没有开放性；课堂教学也仅以分析问题、
解决问题为目标，局限于应用意识的启蒙，缺乏发现问题、提出问题的创造性思維能力培养，与数学建模活动相去甚远。
实际上，不同类型的数学问题有着不同的教育功能，培养学生思维能力的着力点也有所不同，比如立体几何题侧重培养空间想象能力与推理论证能力，解析几何题侧重提高运算求解能力，概率与统计题偏向发展数据分析能力。而应用题作为数学知识在实际生活中应用的题型，其核心价值就是培养数学建模能力。因此本节课在教学设计之初，笔者就摒弃了那种“给出变量设置，只需建模求解”的应试题型，通过折纸实验的开放性提问，引领学生发现提出问题、分析解决问题，感悟数学思想方法，积累数学活动经验，把应用题的解题教学变成数学建模的思维活动。
从数学核心素养的层面来看，六大数学核心素养既相互独立，又相互交融，形成一个有机的整体。数学建模活动作为一项创造性的思维活动，在有效培养学生独立、自觉运用所学理论知识，探索解决实际问题的同时，也必然会使学生的基础知识、基本技能等得到加强，运算能力、逻辑思维能力、空间观念等得到提高，数学抽象、数据分析等素养得到逐步提升。可以说，数学建模活动全面指向数学核心素养的发展。
参考文献：
[1] 陶维林.数学教学是思维的教学——听课有感[J].数学通报，2008（3）.
[2] 曾荣.“微专题”复习：促进深度学习的有效方式[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（4）.
[3] 章建跃.数学核心素养如何落实在课堂[J].中小数学（高中版），2016（3）.