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我们学过一元二次不等式,分式不等式以及高次不等式的多种解法。我在这针对每一种不等式要介绍一种更加简易,快捷的方法。下面举例说明:
一、一元二次不等式
例1. x2-2x-3>0
知识回顾:一元二次不等式,我们通常利用二次函数的图像——抛物线数形结合来分析未知数x的取值范围,这就涉及了抛物线的对称轴,顶点坐标以及根等诸多因素。对于普高学生,尤其是初中基础稍差的学生,容易混淆。下面我介绍一种快捷的方式来对此问题加以解决。
解析:首先对不等式借助十字相乘因式分解得(x+1)(x-3)>0。我们知道(x+1)(x-3)=0的根为-1和3,分别在数轴上标出根来,进行穿针引线。在这我们可以定义数轴把平面分成三部分:①数轴上方>0;②数轴下方< 0;③数轴上=0。因为题目中要求“>0”,所以我们去数轴上方,用阴影表示。图示如下:
很容易,我们得出解集为{x∣x<-1或x>3}。解题过程如下:
解:x2-2x-3>0因式分解得(x+1)(x-3)>0
∴不等式的解集为{x∣x<-1或x>3}。
评注:这种方法的前身还是数轴标根和穿针引线的原理。应用这种方法,有个前提条件是很关键的,那就是因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。这种方法避免了由于初中知识(二次函数的图像——抛物线)的漏洞导致无法求解的困难。此法对于普通高中学生更具简捷化,对于重点高中的学生,增加了一种新颖的方法,这样就使各个层面的学生都会灵活运用。当然此方法只在一元二次方程有两个根时才适用,对于无根或只有一根时,这里不作研究。
变式1:x2-2x-3≥0
解:因式分解得(x+1)(x-3) ≥0
不等式的解集为{x∣x≤-1或x≥3}
变式2:-x2+2x+3>0
解:不等式两边同时乘以-1得x2-2x-3<0;(x+1)(x-3) >0
不等式的解集为{x∣-1 评注:应用“穿针引线”要注意它的应用前提,那就是因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。
上面介绍了一元二次不等式的解法。总而言之一句话,解一元二次不等式,先因式分解,再数轴标根,穿针引线。但要注意一个前提,那就是因式分解后,未知数x的系数必须都为正数才可以。
二、分时不等式
下面我将重点介绍分时不等式的解法。首先展示课本介绍的方法:
例2.解不等式
解:这个不等式的解集是下面的不等式组(Ⅰ),(Ⅱ)的解集的并集:
先解不等式组(Ⅰ):
解不等式①,得解集 {x∣x<1或x>2}
解不等式②,得解集 {x∣-1 因此,不等式组(Ⅰ)的解集是
再解不等式组(Ⅱ):
解不等式③,得解集 {x∣1 解不等式④,得解集 {x∣x<-1或x>3}
因此,不等式组(Ⅱ)的解集是 Φ。
由此可知,原不等式的解集是{x∣-1 下面对比一下我的方法:
例2.解不等式
解:原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0
因式分解得(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0
原不等式的解集是{x∣-1 评注:二者对比可看出后者有下面一些优点:①免去了分情况讨论带来的繁琐工作;②避免了交集,并集运算的误区;③篇幅短,减少运算量,同时也节省了计算的时间;④容易理解,实用性高。总而言之一句话,方法简捷,运算量小,实用性高。
变式1:
解:原不等式等价于
解得
原不等式的解集是{x∣-1 评注:应用此方法注意,当分式不等式用 或 连接时,即包含“=”,需特别考虑分母不为0。而不含“=”,如上例3,则不用考虑。
∴原不等式的解集是{x∣-2≤x<-1或1≤x<3}
三、高次不等式
例3.(x+1)(x-3)(x-1)>0
解:(x+1)(x-3)(x-1)>0
穿针引线得
∴原不等式的解集是{x∣-1≤x<1或x>3}
评注:高次不等式同样可用穿针引线,但是要注意应用穿针引线的前提条件,那就是不等式因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。
变式1. (x+1)(x-3)(x-1)≤0
解:(x+1)(x-3)(x-1)≤0
∴原不等式的解集是{x∣x ≤1或1≤x≤3}
变式2. (x+1)(x-3)(x-1)<0
解:(x+1)(x-3)(x-1)<0
两边同时乘以-1得(x+1)(x-3)(x-1)>0
∴原不等式的解集是{x∣-1 评注:高次不等式同样可用穿针引线,但是要注意应用穿针引线的前提条件,那就是不等式因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。
变式3. x(x+1)(x-3)(x-1)≥0
解:x(x+1)(x-3)(x-1)≥0
∴原不等式的解集是{x∣x≤--1或0≤x≤1或≥3}
例4. (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3<0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3<0
∴原不等式的解集是
评注:本题考查的是穿针引线的规则:奇穿偶不穿。所谓的“奇穿偶不穿”中的“奇”,“偶”指的是因式分解后的每一个括号的次数,而不是根。
变式1:(3x+2)(1-2x)2(x-1)5(2- x)3<0
解:(3x+2)(1-2x)2(x-1)5(2- x)3<0
两边同时乘以-1得 (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3>0
原不等式的解集是
评注:要注意应用穿针引线的前提条件。
变式2:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≥0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≥0
原不等式的解集是
即
评注:最后结果要写成最简形式。
变式3. (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≤0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≤0
原不等式的解集是
评注:千万别忘了x=1/2也为解。
一、一元二次不等式
例1. x2-2x-3>0
知识回顾:一元二次不等式,我们通常利用二次函数的图像——抛物线数形结合来分析未知数x的取值范围,这就涉及了抛物线的对称轴,顶点坐标以及根等诸多因素。对于普高学生,尤其是初中基础稍差的学生,容易混淆。下面我介绍一种快捷的方式来对此问题加以解决。
解析:首先对不等式借助十字相乘因式分解得(x+1)(x-3)>0。我们知道(x+1)(x-3)=0的根为-1和3,分别在数轴上标出根来,进行穿针引线。在这我们可以定义数轴把平面分成三部分:①数轴上方>0;②数轴下方< 0;③数轴上=0。因为题目中要求“>0”,所以我们去数轴上方,用阴影表示。图示如下:
很容易,我们得出解集为{x∣x<-1或x>3}。解题过程如下:
解:x2-2x-3>0因式分解得(x+1)(x-3)>0
∴不等式的解集为{x∣x<-1或x>3}。
评注:这种方法的前身还是数轴标根和穿针引线的原理。应用这种方法,有个前提条件是很关键的,那就是因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。这种方法避免了由于初中知识(二次函数的图像——抛物线)的漏洞导致无法求解的困难。此法对于普通高中学生更具简捷化,对于重点高中的学生,增加了一种新颖的方法,这样就使各个层面的学生都会灵活运用。当然此方法只在一元二次方程有两个根时才适用,对于无根或只有一根时,这里不作研究。
变式1:x2-2x-3≥0
解:因式分解得(x+1)(x-3) ≥0
不等式的解集为{x∣x≤-1或x≥3}
变式2:-x2+2x+3>0
解:不等式两边同时乘以-1得x2-2x-3<0;(x+1)(x-3) >0
不等式的解集为{x∣-1
上面介绍了一元二次不等式的解法。总而言之一句话,解一元二次不等式,先因式分解,再数轴标根,穿针引线。但要注意一个前提,那就是因式分解后,未知数x的系数必须都为正数才可以。
二、分时不等式
下面我将重点介绍分时不等式的解法。首先展示课本介绍的方法:
例2.解不等式
解:这个不等式的解集是下面的不等式组(Ⅰ),(Ⅱ)的解集的并集:
先解不等式组(Ⅰ):
解不等式①,得解集 {x∣x<1或x>2}
解不等式②,得解集 {x∣-1
再解不等式组(Ⅱ):
解不等式③,得解集 {x∣1
因此,不等式组(Ⅱ)的解集是 Φ。
由此可知,原不等式的解集是{x∣-1
例2.解不等式
解:原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0
因式分解得(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0
原不等式的解集是{x∣-1
变式1:
解:原不等式等价于
解得
原不等式的解集是{x∣-1
∴原不等式的解集是{x∣-2≤x<-1或1≤x<3}
三、高次不等式
例3.(x+1)(x-3)(x-1)>0
解:(x+1)(x-3)(x-1)>0
穿针引线得
∴原不等式的解集是{x∣-1≤x<1或x>3}
评注:高次不等式同样可用穿针引线,但是要注意应用穿针引线的前提条件,那就是不等式因式分解后,未知数x的系数必须都为正数。
变式1. (x+1)(x-3)(x-1)≤0
解:(x+1)(x-3)(x-1)≤0
∴原不等式的解集是{x∣x ≤1或1≤x≤3}
变式2. (x+1)(x-3)(x-1)<0
解:(x+1)(x-3)(x-1)<0
两边同时乘以-1得(x+1)(x-3)(x-1)>0
∴原不等式的解集是{x∣-1
变式3. x(x+1)(x-3)(x-1)≥0
解:x(x+1)(x-3)(x-1)≥0
∴原不等式的解集是{x∣x≤--1或0≤x≤1或≥3}
例4. (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3<0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3<0
∴原不等式的解集是
评注:本题考查的是穿针引线的规则:奇穿偶不穿。所谓的“奇穿偶不穿”中的“奇”,“偶”指的是因式分解后的每一个括号的次数,而不是根。
变式1:(3x+2)(1-2x)2(x-1)5(2- x)3<0
解:(3x+2)(1-2x)2(x-1)5(2- x)3<0
两边同时乘以-1得 (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3>0
原不等式的解集是
评注:要注意应用穿针引线的前提条件。
变式2:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≥0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≥0
原不等式的解集是
即
评注:最后结果要写成最简形式。
变式3. (3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≤0
解:(3x+2)(2x-1)2(x-1)5(x-2)3≤0
原不等式的解集是
评注:千万别忘了x=1/2也为解。