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摘 要：实施变式教学能在一定程度上克服和减少由于绝对化思维而出现的思维僵化、思维惰性，从而培养学生思维的发散性。文章用“新”“变”的手法诠释初中数学题通过变式后的“鲜活”与“灵动”，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，使所学知识点融会贯通，培养学生探索创新的思维能力。
关键词：变式教学；激发兴趣；思维能力
随着新课程改革的不断深入，新的教育理念必将贯穿于教学实践中。课堂教学要求学生在课堂上有参与意识，使之真正成为课堂教学的主体。学生的自主、合作、探究、猜想是当前数学课堂教学必不可少的元素。这就要求教师在课堂教学中要根据教学内容，设计出隐藏着“丰富内涵”的教学材料，引导学生发现，让学生利用自己已有的知识探索猜想，进而培养学生思维的创造性。
“变式教学”是通过对教材中的定理、命题进行变式，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过“使一题多用，多题重组”的教学设计，增加学生的新奇感和参与感，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与活动的兴趣和热情。本文从几个方面谈谈对变式教学的探索与感悟。
一、扩一扩，变点为面沟通新知
认知心理学家奥苏伯尔认为，建立新旧知识之间的联系符合下述两条才是有意义的：其一是合理联系，其二是实质联系。数学基础知识、基本概念是解决数学问题的关键，要从新知识产生的过程设计问题，突出新概念的形成过程；从学生原有的认知的最近发展区来设计问题，而不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得出的结论进行论证。
例1 原题：依次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。它是什么图形？（人教版，八年级下册P128活动3）
变式1：依次连结矩形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式2：依次连结菱形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式3：依次连结正方形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式4：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是菱形？
变式5：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是矩形？
变式6：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是正方形？
通过这样一系列的变式训练，学生充分掌握了四边形这一章所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线等。学生感悟出：连结四边形各边中点所得到的是什么四边形与原四边形的对角线有关。这样极大地拓展了学生的解题思路，活跃了学生思维，激发了学生兴趣。因此教师要根据教材的特点，有重点地对课本知识进行深入浅出地归纳。这种归纳不是概念、性质的重复和罗列，也不同于一个单元的复习，而是一种源于课本而又高于课本的知识概括。“概括”需要有一定的思维能力，这种能力不同于其它思维能力，它是通过对许多知识的提炼而得出的条理化、规律化的东西，经过概括的知识易记、易懂。
二、换一换，变更题设推陈出新
现代认知心理学从信息加工的角度，把广义知识分为两大类：陈述性知识和程序性知识。该理论进一步认为，程序性知识学习的前身是陈述性知识，陈述性知识学习的本质是必须保证所表示的新信息（事实、概念、规则等）进入学生原有认知结构的适当部位。如果要将陈述性知识转化为解决问题的技能，则必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于他们日后在新变化环境中应用。因为中学生学习数学的最终目的是用它熟练地解决有关问题，因此中学生学习的数学知识大部分是程序性知识，也就是说，中学生掌握知识要通过变式训练来实现技能操作的自动化。
例2 原题：如图1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。（人教版，八年级下册P73探究）
图1 图2 图3
变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。
变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。
变式3：你认为所作的图形具备什么特征时，S1，S2，S3均有这样的关系。
丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，有“知”未必有“能”，但无“知”必定无“能”，因此教师在教学中要使学生掌握知识，更要使学生把握知识产生的“过程”。在勾股定理形成之后，教师不应急于让学生应用定理解决问题，而是引导学生对定理作进一步的探讨，通过变更题设和转换图形，使学生对定理有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。
三、探一探，变中求真解中求新
根据现代心理学的观点，一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。所谓发散思维，是指从同一材料出发探求不同答案的思维过程，它往往透过现象找到问题的本质所在。发散思维具有流畅性、变通性和创造性的特征，加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。
例3 原题：抛物线y=3x2向右平移2个单位得：_____；向上平移2个单位得：______。
变式1：双曲线y=向左平移2个单位得：______；向下平移2个单位得：______。
变式2：猜想函数图象y=是由双曲线_____向_____平移______单位，再向______平移______单位得到。 这样使学生意识到：变式1，图象向上平移a个单位即y用y-a替换，向下平移a个单位即y用y+a替换。向右平移a个单位即x用x-a替换，向左平移a个单位即x用x+a替换。
变式2，y===1+，即y-1=，因此由原题和变式1就可以说明是双曲线y=向右平移2单位，再向下平移1单位得到。
数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求较高，但仍有一定的方法、技能可循。我们要引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把新问题转化为老问题，把难问题分解成容易的问题来解决，做到变中求解，解中求真。
四、移一移，变迁知识衍生新题
迁移是教育心理学的一条重要规律。认知心理学认为：“迁移”是已经获得的知识、技能以至方法、态度与学习新知识、新技能之间所发生的相互影响。通俗地讲，就是对于所学过的知识能熟练应用。数学教学中的迁移变式指的是把所学的典型的若干公式、定理的推导、基本图形，在对知识的来龙去脉的探究中加以同类迁移，它有利于学生形成解题的思维方法。而问题的层次增加则要求抓住一个问题的条件，引导学生用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而发现数学问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的目的。
例4 原题：如图4，△ABC中，AB=AC，在AB、AC延长线上分别取点D、E，且BD=CE，连DE交BC于F。求证：DF=EF。
提示：过D作DH∥AC交BC于H，再证△DHF≌△ECF （图中，△DHF与△ECF构成平行型“X”形）。
变式1：如图5，正方形ABCD，边长为4，P、Q分别从A、C出发，同时以1个单位/秒的速度分别沿AB，BC方向运动，PQ与对角线AC交于E，连接DE。
（1）找出图中与线段PE相等的一条线段，并加以证明。
（2）探究DE与PQ的位置关系，并加以证明。（自编题）
这样使学生认识到：利用原题可得PE=EQ，但连结BE后，由直角三角形的中线性质得：PE=BE，又由正方形的对称性得BE=DE，因此PE=EQ=DE。又可证△APD≌△CQD，所以DP=DQ，从而可得DE⊥PQ。
变式2：如图6，直线AB：y=x+8，与坐标轴交于A，B两点，P在点A处以每秒1个单位的速度向点B方向移动，同时，点Q从原点O出发，以同样的速度沿x轴正方向移动。设t秒钟后，点P、Q到达如图位置。
（1）t为何值时，ΔPBQ是直角三角形。
（2）t为何值时，M为AO中点。
（3）t为何值时，ΔPBQ是等腰三角形。
（4）在P、Q运动过程中，设四边形BOMP的面积为s，写出s关于t的函数关系式。
（5）在点P、Q运动时，的值是否会保持不变，若不变，求其值；若要使点M始终是PQ的中点，则应如何改变点P（或Q）的速度，并加以说明。（自编题）
变式2的编拟，结合了初三中考的要求，强化了动态几何在串题中的作用，是一个比较综合的“压轴题”。通过证明ΔAPD∽ΔABO，ΔPDM∽ΔQOM和三角形形状的研究渗透常用的数学思想，（如函数思想、方程思想、分类讨论思想、化归思想等，）同时又考查了几何和代数中的重点内容。
创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论和条件，引导学生自编一些开放性题目，这样既激发了学生的学习兴趣，同时又培养了学生研究探索问题的能力，进一步发展了学生的创造性思维。
新课程标准的实施，新课程理念的普及，给我们带来了许多与之相适应的教学模式，如自主探究法、活动探究法、开放探究法等。但无论怎样的教学模式，数学的教学都离不开解题，解题中用到的数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，只是有些题目的立意、创设的情境、设问的角度和解题技巧中力求新颖和鲜活。因此鲜活的题材、灵动的方法是数学教师在新课程教学中必须掌握和运用的两大法宝。变式教学恰恰作为载体为我们提供了使用两大法宝的平台，如果我们能运用得恰当，则于师于生都无不大有益处。
参考文献：
[1]刘兼，孙晓天.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[2]谢景力.数学变式教学的认识与实践研究[M].长沙：湖南师范大学出版社，2006.
[3]王伟.数学变式百例精讲[M].宁波：宁波出版社，2006.
关键词：变式教学；激发兴趣；思维能力
随着新课程改革的不断深入，新的教育理念必将贯穿于教学实践中。课堂教学要求学生在课堂上有参与意识，使之真正成为课堂教学的主体。学生的自主、合作、探究、猜想是当前数学课堂教学必不可少的元素。这就要求教师在课堂教学中要根据教学内容，设计出隐藏着“丰富内涵”的教学材料，引导学生发现，让学生利用自己已有的知识探索猜想，进而培养学生思维的创造性。
“变式教学”是通过对教材中的定理、命题进行变式，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过“使一题多用，多题重组”的教学设计，增加学生的新奇感和参与感，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与活动的兴趣和热情。本文从几个方面谈谈对变式教学的探索与感悟。
一、扩一扩，变点为面沟通新知
认知心理学家奥苏伯尔认为，建立新旧知识之间的联系符合下述两条才是有意义的：其一是合理联系，其二是实质联系。数学基础知识、基本概念是解决数学问题的关键，要从新知识产生的过程设计问题，突出新概念的形成过程；从学生原有的认知的最近发展区来设计问题，而不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得出的结论进行论证。
例1 原题：依次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。它是什么图形？（人教版，八年级下册P128活动3）
变式1：依次连结矩形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式2：依次连结菱形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式3：依次连结正方形各边中点所得的中点四边形是什么图形？
变式4：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是菱形？
变式5：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是矩形？
变式6：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是正方形？
通过这样一系列的变式训练，学生充分掌握了四边形这一章所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线等。学生感悟出：连结四边形各边中点所得到的是什么四边形与原四边形的对角线有关。这样极大地拓展了学生的解题思路，活跃了学生思维，激发了学生兴趣。因此教师要根据教材的特点，有重点地对课本知识进行深入浅出地归纳。这种归纳不是概念、性质的重复和罗列，也不同于一个单元的复习，而是一种源于课本而又高于课本的知识概括。“概括”需要有一定的思维能力，这种能力不同于其它思维能力，它是通过对许多知识的提炼而得出的条理化、规律化的东西，经过概括的知识易记、易懂。
二、换一换，变更题设推陈出新
现代认知心理学从信息加工的角度，把广义知识分为两大类：陈述性知识和程序性知识。该理论进一步认为，程序性知识学习的前身是陈述性知识，陈述性知识学习的本质是必须保证所表示的新信息（事实、概念、规则等）进入学生原有认知结构的适当部位。如果要将陈述性知识转化为解决问题的技能，则必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于他们日后在新变化环境中应用。因为中学生学习数学的最终目的是用它熟练地解决有关问题，因此中学生学习的数学知识大部分是程序性知识，也就是说，中学生掌握知识要通过变式训练来实现技能操作的自动化。
例2 原题：如图1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。（人教版，八年级下册P73探究）
图1 图2 图3
变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。
变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为S1，S2，S3，探索S1，S2，S3之间的关系。
变式3：你认为所作的图形具备什么特征时，S1，S2，S3均有这样的关系。
丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，有“知”未必有“能”，但无“知”必定无“能”，因此教师在教学中要使学生掌握知识，更要使学生把握知识产生的“过程”。在勾股定理形成之后，教师不应急于让学生应用定理解决问题，而是引导学生对定理作进一步的探讨，通过变更题设和转换图形，使学生对定理有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。
三、探一探，变中求真解中求新
根据现代心理学的观点，一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。所谓发散思维，是指从同一材料出发探求不同答案的思维过程，它往往透过现象找到问题的本质所在。发散思维具有流畅性、变通性和创造性的特征，加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。
例3 原题：抛物线y=3x2向右平移2个单位得：_____；向上平移2个单位得：______。
变式1：双曲线y=向左平移2个单位得：______；向下平移2个单位得：______。
变式2：猜想函数图象y=是由双曲线_____向_____平移______单位，再向______平移______单位得到。 这样使学生意识到：变式1，图象向上平移a个单位即y用y-a替换，向下平移a个单位即y用y+a替换。向右平移a个单位即x用x-a替换，向左平移a个单位即x用x+a替换。
变式2，y===1+，即y-1=，因此由原题和变式1就可以说明是双曲线y=向右平移2单位，再向下平移1单位得到。
数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求较高，但仍有一定的方法、技能可循。我们要引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把新问题转化为老问题，把难问题分解成容易的问题来解决，做到变中求解，解中求真。
四、移一移，变迁知识衍生新题
迁移是教育心理学的一条重要规律。认知心理学认为：“迁移”是已经获得的知识、技能以至方法、态度与学习新知识、新技能之间所发生的相互影响。通俗地讲，就是对于所学过的知识能熟练应用。数学教学中的迁移变式指的是把所学的典型的若干公式、定理的推导、基本图形，在对知识的来龙去脉的探究中加以同类迁移，它有利于学生形成解题的思维方法。而问题的层次增加则要求抓住一个问题的条件，引导学生用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而发现数学问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的目的。
例4 原题：如图4，△ABC中，AB=AC，在AB、AC延长线上分别取点D、E，且BD=CE，连DE交BC于F。求证：DF=EF。
提示：过D作DH∥AC交BC于H，再证△DHF≌△ECF （图中，△DHF与△ECF构成平行型“X”形）。
变式1：如图5，正方形ABCD，边长为4，P、Q分别从A、C出发，同时以1个单位/秒的速度分别沿AB，BC方向运动，PQ与对角线AC交于E，连接DE。
（1）找出图中与线段PE相等的一条线段，并加以证明。
（2）探究DE与PQ的位置关系，并加以证明。（自编题）
这样使学生认识到：利用原题可得PE=EQ，但连结BE后，由直角三角形的中线性质得：PE=BE，又由正方形的对称性得BE=DE，因此PE=EQ=DE。又可证△APD≌△CQD，所以DP=DQ，从而可得DE⊥PQ。
变式2：如图6，直线AB：y=x+8，与坐标轴交于A，B两点，P在点A处以每秒1个单位的速度向点B方向移动，同时，点Q从原点O出发，以同样的速度沿x轴正方向移动。设t秒钟后，点P、Q到达如图位置。
（1）t为何值时，ΔPBQ是直角三角形。
（2）t为何值时，M为AO中点。
（3）t为何值时，ΔPBQ是等腰三角形。
（4）在P、Q运动过程中，设四边形BOMP的面积为s，写出s关于t的函数关系式。
（5）在点P、Q运动时，的值是否会保持不变，若不变，求其值；若要使点M始终是PQ的中点，则应如何改变点P（或Q）的速度，并加以说明。（自编题）
变式2的编拟，结合了初三中考的要求，强化了动态几何在串题中的作用，是一个比较综合的“压轴题”。通过证明ΔAPD∽ΔABO，ΔPDM∽ΔQOM和三角形形状的研究渗透常用的数学思想，（如函数思想、方程思想、分类讨论思想、化归思想等，）同时又考查了几何和代数中的重点内容。
创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论和条件，引导学生自编一些开放性题目，这样既激发了学生的学习兴趣，同时又培养了学生研究探索问题的能力，进一步发展了学生的创造性思维。
新课程标准的实施，新课程理念的普及，给我们带来了许多与之相适应的教学模式，如自主探究法、活动探究法、开放探究法等。但无论怎样的教学模式，数学的教学都离不开解题，解题中用到的数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，只是有些题目的立意、创设的情境、设问的角度和解题技巧中力求新颖和鲜活。因此鲜活的题材、灵动的方法是数学教师在新课程教学中必须掌握和运用的两大法宝。变式教学恰恰作为载体为我们提供了使用两大法宝的平台，如果我们能运用得恰当，则于师于生都无不大有益处。
参考文献：
[1]刘兼，孙晓天.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[2]谢景力.数学变式教学的认识与实践研究[M].长沙：湖南师范大学出版社，2006.
[3]王伟.数学变式百例精讲[M].宁波：宁波出版社，2006.