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“核心素养”是当前教育聚焦的热点。学生的核心素养强调的是满足个人基本生活需要，能够通过这些能力解决日常生活的基本问题。在小学数学教学中，教师应通过怎样的方式培养和提升学生数学核心素养呢？近日，笔者有幸聆听了特级教师牛献礼的“植树问题”一课，顿时有种豁然开朗的感觉。
【片段一】自主学习中，获取数学信息
（师出示题目：学校操场边有9棵树排成一行，为了美化校园环境，同学们又在每相邻的两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花？）
师：从题目中，你获取了什么信息？
（学生尝试解决，全班交流。）
生1：一共有9棵树，就有8个空，所以摆了8盆花。
师：这个空，数学上称为间隔。用画图的方法很容易看出9棵树之间有8个间隔，知道了间隔数，就知道了花的盆数。
师：假如有1000棵树排成一行，还是每相邻两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花呢？
（学生独立思考，全班交流。）
生2：1000棵树排成一行，就有999个间隔，所以能摆999盆花。
师：你怎么知道有999个间隔呢？
生3：9棵树有8个间隔，所以1000棵树就有999个间隔。
师：这是一种合理的猜想，有道理。还有别的方法吗？
生4：你看，从头开始，一棵树一盆花，最后这棵树很孤单，后面没有了花盆，所以花盆数比树的棵数少1，一共可以放999盆花。
师：听懂他的意思了吗？
生（齐）：听懂了。
师：尽管数变大了，我们还可以用画图的方法来分析问题（出示图）。可以像生4那样思考问题：从头开始，一棵树对应一盆花，最后这棵树很孤单，没有花盆和它对应，所以花盆数比树的棵数少1，一共可以放999盆花。这种方法好不好？
生：好。
师：数学上把这种方法称为“一一对应”。我们借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系。
【赏析】当今社会是一个信息社会，我们应学会对信息进行分析与综合并将综合的信息通过语言或文字表现出来。在上述教学片段中，牛老师精心设计了“在两棵树之间摆花盆”的情境，并让学生用自己的话对所提供的信息进行复述，从9棵树到1000棵树，由少到多，由看到算，从直观图示中能直接看到间隔个数到必须按“一一对应”的方法去计算，不只是量的增多，更是质的提高。通过对数学信息的有效处理，学生不知不觉地体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差1。牛老师引导学生感悟情境背后蕴含的基本思想方法，帮助学生尽快学会数学思维。
【片段二】本真对话中，形成数学思想方法
师：假如还是这1000棵树，每相邻两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？
（学生合作交流。）
师：放了多少盆花？
生（齐）：1001盆。
师：说说你是怎么想的。
生1：刚才“头和尾都不放花”时，可以放999盆，现在头和尾多了2盆花，999+2=1001，所以放了1001盆花。
师：他联系了上题的结果，比较两题放法的不同，得出1001盆，是个很好的办法。还有别的想法吗？
生2：我是这样想的，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多1，所以1000+1=1001。
（师借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数比树的棵数多1。）
师：还是这1000棵树，如果开头放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？
（学生独立思考，师生交流。）
生3：开头放花，一盆花对应一棵树，这样一组一组地对应下来，没有剩下的，所以花盆数与树的棵数一样多，放了1000盆花。
（师借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数和树的棵数一样多。）
师：假如有51棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放4盆花，头和尾都不放花，一共要准备多少盆花？
[学生独立思考，尝试解答，个别板演：（51-1）×4=200（棵）。]
师：这里的“51-1”求的是什么呀？
生4：树的棵数。
生5：不对，不是树的棵数，是间隔数。
师：对，题目中已经告诉我们了，树的棵数是51棵。“50”是间隔数吗？求间隔数为什么要用51-1呢？
生6：因为“头和尾都不放花”，开头的是树，结尾也是树，一棵树对应一盆花，最后剩下一棵树，所以树比花多1，就是51-1=50。
【赏析】美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构，就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”。作为数学学科一般原理的重要组成部分，数学思想与方法能够帮助学生更好地理解和掌握数学内容。在本教学片段中，牛老师围绕“树的棵数”和“花盆数”之间的关系，不断地进行变式练习，通过学生之间、学生与老师之间的本真对话，得出“一一对应”数学思想方法。事实上，“植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化。对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种情况的区分没有过分强调，更没有将相应的计算法则看成是重要的规律要求学生牢牢地去记。而是灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一数学思想方法逐步深入人心，最终内化为学生的数学素养。
【片段三】概括延伸中，提升数学思维水平
师：想一想，生活中还有什么事情跟摆花盆这样的问题类似，可以用“一一对应”的方法来解决？
（师生交流，逐步出示：植树问题、路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等。）
师：想一想，在这些问题中谁和谁是“一一对应”的？同桌互相说一说。
（学生小组讨论，然后全班交流，师借助图示帮助学生理解。）
生1：我们讨论的是路灯问题，路灯数和间隔数一一对应。
生2：在锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应。
师：锯的段数也就是间隔数，锯的次数也和间隔数一一对应。
生3：在排队问题里，人数和间隔数一一对应。
生4：在植树问题里，树的棵数和间隔数一一对应。
生5：在爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应。
师：在爬楼问题里，两层之间的楼梯数也就是两个楼层的间隔，楼层数与间隔数——
生：一一对应。
师：大家想一想，这些问题有什么共同特点？
生：它们都与“间隔”有关。
师：对，不管是树的棵数、路灯数、排队的人数、楼层数，还是锯的次数，它们都与“间隔数”一一对应，属于同一类数学问题。在数学上，这些问题统称为“分隔问题”。
（板书：分隔问题。）
师：你认为要解决分隔问题，关键是找到什么？
生：找到间隔数。
师：对，找到了间隔数，再按照一一对应的方法，就能找到跟它对应的数量了。
【赏析】数学模型的构建是为了解决实际问题，而构建
【片段一】自主学习中，获取数学信息
（师出示题目：学校操场边有9棵树排成一行，为了美化校园环境，同学们又在每相邻的两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花？）
师：从题目中，你获取了什么信息？
（学生尝试解决，全班交流。）
生1：一共有9棵树，就有8个空，所以摆了8盆花。
师：这个空，数学上称为间隔。用画图的方法很容易看出9棵树之间有8个间隔，知道了间隔数，就知道了花的盆数。
师：假如有1000棵树排成一行，还是每相邻两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花呢？
（学生独立思考，全班交流。）
生2：1000棵树排成一行，就有999个间隔，所以能摆999盆花。
师：你怎么知道有999个间隔呢？
生3：9棵树有8个间隔，所以1000棵树就有999个间隔。
师：这是一种合理的猜想，有道理。还有别的方法吗？
生4：你看，从头开始，一棵树一盆花，最后这棵树很孤单，后面没有了花盆，所以花盆数比树的棵数少1，一共可以放999盆花。
师：听懂他的意思了吗？
生（齐）：听懂了。
师：尽管数变大了，我们还可以用画图的方法来分析问题（出示图）。可以像生4那样思考问题：从头开始，一棵树对应一盆花，最后这棵树很孤单，没有花盆和它对应，所以花盆数比树的棵数少1，一共可以放999盆花。这种方法好不好？
生：好。
师：数学上把这种方法称为“一一对应”。我们借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系。
【赏析】当今社会是一个信息社会，我们应学会对信息进行分析与综合并将综合的信息通过语言或文字表现出来。在上述教学片段中，牛老师精心设计了“在两棵树之间摆花盆”的情境，并让学生用自己的话对所提供的信息进行复述，从9棵树到1000棵树，由少到多，由看到算，从直观图示中能直接看到间隔个数到必须按“一一对应”的方法去计算，不只是量的增多，更是质的提高。通过对数学信息的有效处理，学生不知不觉地体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差1。牛老师引导学生感悟情境背后蕴含的基本思想方法，帮助学生尽快学会数学思维。
【片段二】本真对话中，形成数学思想方法
师：假如还是这1000棵树，每相邻两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？
（学生合作交流。）
师：放了多少盆花？
生（齐）：1001盆。
师：说说你是怎么想的。
生1：刚才“头和尾都不放花”时，可以放999盆，现在头和尾多了2盆花，999+2=1001，所以放了1001盆花。
师：他联系了上题的结果，比较两题放法的不同，得出1001盆，是个很好的办法。还有别的想法吗？
生2：我是这样想的，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多1，所以1000+1=1001。
（师借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数比树的棵数多1。）
师：还是这1000棵树，如果开头放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？
（学生独立思考，师生交流。）
生3：开头放花，一盆花对应一棵树，这样一组一组地对应下来，没有剩下的，所以花盆数与树的棵数一样多，放了1000盆花。
（师借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数和树的棵数一样多。）
师：假如有51棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放4盆花，头和尾都不放花，一共要准备多少盆花？
[学生独立思考，尝试解答，个别板演：（51-1）×4=200（棵）。]
师：这里的“51-1”求的是什么呀？
生4：树的棵数。
生5：不对，不是树的棵数，是间隔数。
师：对，题目中已经告诉我们了，树的棵数是51棵。“50”是间隔数吗？求间隔数为什么要用51-1呢？
生6：因为“头和尾都不放花”，开头的是树，结尾也是树，一棵树对应一盆花，最后剩下一棵树，所以树比花多1，就是51-1=50。
【赏析】美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构，就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”。作为数学学科一般原理的重要组成部分，数学思想与方法能够帮助学生更好地理解和掌握数学内容。在本教学片段中，牛老师围绕“树的棵数”和“花盆数”之间的关系，不断地进行变式练习，通过学生之间、学生与老师之间的本真对话，得出“一一对应”数学思想方法。事实上，“植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化。对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种情况的区分没有过分强调，更没有将相应的计算法则看成是重要的规律要求学生牢牢地去记。而是灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一数学思想方法逐步深入人心，最终内化为学生的数学素养。
【片段三】概括延伸中，提升数学思维水平
师：想一想，生活中还有什么事情跟摆花盆这样的问题类似，可以用“一一对应”的方法来解决？
（师生交流，逐步出示：植树问题、路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等。）
师：想一想，在这些问题中谁和谁是“一一对应”的？同桌互相说一说。
（学生小组讨论，然后全班交流，师借助图示帮助学生理解。）
生1：我们讨论的是路灯问题，路灯数和间隔数一一对应。
生2：在锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应。
师：锯的段数也就是间隔数，锯的次数也和间隔数一一对应。
生3：在排队问题里，人数和间隔数一一对应。
生4：在植树问题里，树的棵数和间隔数一一对应。
生5：在爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应。
师：在爬楼问题里，两层之间的楼梯数也就是两个楼层的间隔，楼层数与间隔数——
生：一一对应。
师：大家想一想，这些问题有什么共同特点？
生：它们都与“间隔”有关。
师：对，不管是树的棵数、路灯数、排队的人数、楼层数，还是锯的次数，它们都与“间隔数”一一对应，属于同一类数学问题。在数学上，这些问题统称为“分隔问题”。
（板书：分隔问题。）
师：你认为要解决分隔问题，关键是找到什么？
生：找到间隔数。
师：对，找到了间隔数，再按照一一对应的方法，就能找到跟它对应的数量了。
【赏析】数学模型的构建是为了解决实际问题，而构建