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摘 要 本文分析了包括BS的鞅方法在内的四种期权定价方法.Mogens Bldt和郑红给出的保险精算定价方法是非套利定价，缺少足够的理论基础.另外，存在同质信念的市场上BS定价并非完全无套利，如果对不同股票进行分散化投资，只要基础资产种类足够多，也可套取利益.不同投资者的漂移率取同一常数μ体现了他们的同质信念，与弱有效的现实市场情况相符.进一步分析得出结论，即使存在同质信念，如果μt是一个可料过程而非常数，会使得精算定价难以计算确定期望，从而无效.根据SAS软件的模拟结果，在同质信念下，精算套利定价显著高于BS鞅方法定价.通过恒生股指期权的实证检验，说明同质信念下的漂移率更适合取同一常数而不是可料过程，实证检验发现精算套利理论价格与实际价格差距很小，说明此方法比较有效.
关键词 期权定价；同质信念；精算套利；弱有效市场
中图分类号 F831.5 文献标识码 A
Homogeneous Beliefs and Mispricing of BlackScholes
Model Option Pricing Model Based on Actuarial Method
KE Zheng1，QIN Meng2
（1.National Council for Social Security Fund，Beijing 100032；
2.Bank of Communications，Shanghai 200120，China）
Abstract This paper analyzed the four option pricing methods including the martingale method. Mogens Bldt and Hong Zheng gave actuarial pricing methods for options respectively， however， both of the methods are not nonarbitrage lack adequate theoretical basis. In addition， BS pricing method is not completely nonarbitrage， for diversified investment at different stock， as long as a sufficient number， may make profit. Moreover， the same drift of stock for different investors embodies homogeneous beliefs， which complies with weak efficient market assumption in real market. Further analysis concludes that， even if homogeneous beliefs exist， the drift of stock could be a previsible process， which results in difficulty to calculate and determine the expectations in actuarial pricing and thus invalids the pricing in actuarial method. According to the simulation run by SAS， with homogeneous assumption， actuarial nonarbitrage pricing gives significantly higher price for options than BS. Through empirical test of the Hang Seng index options， the authors believe that， under the assumption of homogeneous beliefs， the drift should be a constant other than a previsible process and this method is very accurate.
Key words option pricing； homogeneous beliefs； actuarial nonarbitrage method； weak efficient market
1 引 言
假设在弱式有效的市场中，存在两家相同行业的公司发行股票和看涨期权，股票价格相同，两家公司期权条款完全相同.但是根据各种渠道获得的公司披露信息，投资者可以通过基本面分析，判断其中一家公司的股价将会持续上涨，另一家公司的股价将会持续下跌，那么其发行的期权价格显然应该不一样.但是BS公式中不包含股价的漂移率，所以会给出相同的价格，这是有问题的.另外，现实市场中的期权定价总是高于BS公式给出的理论价格，所以在计算期权价格时会用隐含波动率代替真实波动率[1].
本文解释并验证了上述两个问题.本文认为现实市场中，同质信念导致了BS公式的定价偏差，将用精算套利定价给出更精准贴切的定价.
2 文献综述
2.1 三种方式定价介绍
为了精炼，只考虑欧式看涨期权的定价.用统一的代换公式对各种定价方法重新推导，以便进行比较.三种方法如下：①BS公式—鞅方法定价，②流行的保险精算定价方法——Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg提出，③郑红提出的保险精算定价方法. 另外，实务界一般将BS定价偏低归结为股价历史波动率不足，常利用隐含波动率来计算期权价格.（注：隐含波动率为利用期权实际价格与BS公式倒推得到.）但是隐含波动率对于期权价格解释不足.例如：BS公式无法解释美联储、加拿大央行利率决议对隐含波动率的巨大影响.而精算套利定价认为美联储、加拿大央行的利率决议将对恒生指数漂移率产生影响，进而对期权价格产生影响.
笔者在美联储或者加拿大央行公布利率决议后调整一次精算套利定价中漂移率（mu）2011年3月28日至7月15日经济指标和金融事件一览http：//finance.sina.com.cn/money/forex/.而此漂移率围绕3%波动，与世界范围内国债的普遍收益率、通胀率类似，较为可信.极小的精算套利定价偏差也从另一方面验证了股票价格的几何布朗运动假设.
时间/年
图1 BS定价和精算套利定价与实际价格的偏差
从上面的分析可以看出，恒生指数的漂移率在某一阶段内不变，而发生特定的事项时，产生陡然变化.这表现在当美联储或者加拿大央行提出货币政策时，漂移率产生变化，其余时间不变.漂移率的不变性进而验证了存在同质信念的市场中漂移率更适合被认为是一个常数，而不是某一可料过程.
6 结 论
本文对四种期权定价方法进行推导和分析，并讨论了两种套利方法，得出以下结论.
1）同质信念下，如果股票收益漂移率应该为可料过程μt，应利用BS公式定价.
2）现实市场存在同质信念，且漂移率可被认为是常数，所以精算套利定价是其主要的定价方法，这还解释了为何BS公式定价偏低.
在加了众多假设的弱有效市场上应该使用套利定价思想，在严格假设下得出不严格的定价没有意义.而Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg、郑红等人提出的定价都是在严格假设下的非套利定价，缺少足够的理论基础.
BS公式是基于对冲风险，而产生的无套利价格.而本文采用的精算定价是在同质信念假设下基于分散化投资，而产生的无套利价格.本文的精算套利定价导出的定价公式与BS公式不同.由于两种定价不同，所以不管用哪种方法定价，都可以用不同方法进行套利.
同质信念下，只有当股票收益即漂移率μ与r相同时才能解决存在两种套利方法的矛盾.但是当漂移率μt成为可料过程，股价服从dSt=St（μtdt σdt）时将使得精算定价失效，而对BS公式的鞅方法无影响.
存在同质信念的弱有效的现实市场中漂移可率以被预测到，这种情况下，会由于多种套利方式使得定价产生混乱，但是现实情况下复制组合套利的成本太高，而精算套利的成本相对较低，所以BS定价不会产生决定性影响.另一方面，较高的风险偏好会使得投资者从精算套利的角度来看待资产的价值：他们就是衡量投入与可能的产出后，进行价格的判断.
本文采用恒生指数期权进行实证检验，采用美联储与加拿大央行的利率决议作为漂移率变化的驱动因素，发现精算套利定价非常精确，显著优于BS定价.并解决了BS定价不能解释货币政策对于其隐含波动率的影响的问题.
综上，符合弱有效市场假说的现实市场存在同质信念，而精算套利定价是其主要的定价方法，这很好地解决了BS定价总是低于市场价格的问题.
参考文献
[1] JOHN C Hull. 期权、期货和其他衍生品[M] 张陶伟译.华夏出版社，1999.
[2] F BLACK， M SCHOLES. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Economy. 1973，81（3）：637-654.
[3] B MOGENS， R T HVIID. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 1998，22（1）：65-74.
[4] N SCHMITZ.Note on option pricing by actuarial considerations [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 2005，36（3）：517-524.
[5] 郑红， 郭亚军， 李勇， 刘芳华. 保险精算方法在期权定价模型中的应用[J]. 东北大学学报：自然科学版 ， 2008（3）：430-431.
关键词 期权定价；同质信念；精算套利；弱有效市场
中图分类号 F831.5 文献标识码 A
Homogeneous Beliefs and Mispricing of BlackScholes
Model Option Pricing Model Based on Actuarial Method
KE Zheng1，QIN Meng2
（1.National Council for Social Security Fund，Beijing 100032；
2.Bank of Communications，Shanghai 200120，China）
Abstract This paper analyzed the four option pricing methods including the martingale method. Mogens Bldt and Hong Zheng gave actuarial pricing methods for options respectively， however， both of the methods are not nonarbitrage lack adequate theoretical basis. In addition， BS pricing method is not completely nonarbitrage， for diversified investment at different stock， as long as a sufficient number， may make profit. Moreover， the same drift of stock for different investors embodies homogeneous beliefs， which complies with weak efficient market assumption in real market. Further analysis concludes that， even if homogeneous beliefs exist， the drift of stock could be a previsible process， which results in difficulty to calculate and determine the expectations in actuarial pricing and thus invalids the pricing in actuarial method. According to the simulation run by SAS， with homogeneous assumption， actuarial nonarbitrage pricing gives significantly higher price for options than BS. Through empirical test of the Hang Seng index options， the authors believe that， under the assumption of homogeneous beliefs， the drift should be a constant other than a previsible process and this method is very accurate.
Key words option pricing； homogeneous beliefs； actuarial nonarbitrage method； weak efficient market
1 引 言
假设在弱式有效的市场中，存在两家相同行业的公司发行股票和看涨期权，股票价格相同，两家公司期权条款完全相同.但是根据各种渠道获得的公司披露信息，投资者可以通过基本面分析，判断其中一家公司的股价将会持续上涨，另一家公司的股价将会持续下跌，那么其发行的期权价格显然应该不一样.但是BS公式中不包含股价的漂移率，所以会给出相同的价格，这是有问题的.另外，现实市场中的期权定价总是高于BS公式给出的理论价格，所以在计算期权价格时会用隐含波动率代替真实波动率[1].
本文解释并验证了上述两个问题.本文认为现实市场中，同质信念导致了BS公式的定价偏差，将用精算套利定价给出更精准贴切的定价.
2 文献综述
2.1 三种方式定价介绍
为了精炼，只考虑欧式看涨期权的定价.用统一的代换公式对各种定价方法重新推导，以便进行比较.三种方法如下：①BS公式—鞅方法定价，②流行的保险精算定价方法——Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg提出，③郑红提出的保险精算定价方法. 另外，实务界一般将BS定价偏低归结为股价历史波动率不足，常利用隐含波动率来计算期权价格.（注：隐含波动率为利用期权实际价格与BS公式倒推得到.）但是隐含波动率对于期权价格解释不足.例如：BS公式无法解释美联储、加拿大央行利率决议对隐含波动率的巨大影响.而精算套利定价认为美联储、加拿大央行的利率决议将对恒生指数漂移率产生影响，进而对期权价格产生影响.
笔者在美联储或者加拿大央行公布利率决议后调整一次精算套利定价中漂移率（mu）2011年3月28日至7月15日经济指标和金融事件一览http：//finance.sina.com.cn/money/forex/.而此漂移率围绕3%波动，与世界范围内国债的普遍收益率、通胀率类似，较为可信.极小的精算套利定价偏差也从另一方面验证了股票价格的几何布朗运动假设.
时间/年
图1 BS定价和精算套利定价与实际价格的偏差
从上面的分析可以看出，恒生指数的漂移率在某一阶段内不变，而发生特定的事项时，产生陡然变化.这表现在当美联储或者加拿大央行提出货币政策时，漂移率产生变化，其余时间不变.漂移率的不变性进而验证了存在同质信念的市场中漂移率更适合被认为是一个常数，而不是某一可料过程.
6 结 论
本文对四种期权定价方法进行推导和分析，并讨论了两种套利方法，得出以下结论.
1）同质信念下，如果股票收益漂移率应该为可料过程μt，应利用BS公式定价.
2）现实市场存在同质信念，且漂移率可被认为是常数，所以精算套利定价是其主要的定价方法，这还解释了为何BS公式定价偏低.
在加了众多假设的弱有效市场上应该使用套利定价思想，在严格假设下得出不严格的定价没有意义.而Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg、郑红等人提出的定价都是在严格假设下的非套利定价，缺少足够的理论基础.
BS公式是基于对冲风险，而产生的无套利价格.而本文采用的精算定价是在同质信念假设下基于分散化投资，而产生的无套利价格.本文的精算套利定价导出的定价公式与BS公式不同.由于两种定价不同，所以不管用哪种方法定价，都可以用不同方法进行套利.
同质信念下，只有当股票收益即漂移率μ与r相同时才能解决存在两种套利方法的矛盾.但是当漂移率μt成为可料过程，股价服从dSt=St（μtdt σdt）时将使得精算定价失效，而对BS公式的鞅方法无影响.
存在同质信念的弱有效的现实市场中漂移可率以被预测到，这种情况下，会由于多种套利方式使得定价产生混乱，但是现实情况下复制组合套利的成本太高，而精算套利的成本相对较低，所以BS定价不会产生决定性影响.另一方面，较高的风险偏好会使得投资者从精算套利的角度来看待资产的价值：他们就是衡量投入与可能的产出后，进行价格的判断.
本文采用恒生指数期权进行实证检验，采用美联储与加拿大央行的利率决议作为漂移率变化的驱动因素，发现精算套利定价非常精确，显著优于BS定价.并解决了BS定价不能解释货币政策对于其隐含波动率的影响的问题.
综上，符合弱有效市场假说的现实市场存在同质信念，而精算套利定价是其主要的定价方法，这很好地解决了BS定价总是低于市场价格的问题.
参考文献
[1] JOHN C Hull. 期权、期货和其他衍生品[M] 张陶伟译.华夏出版社，1999.
[2] F BLACK， M SCHOLES. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Economy. 1973，81（3）：637-654.
[3] B MOGENS， R T HVIID. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 1998，22（1）：65-74.
[4] N SCHMITZ.Note on option pricing by actuarial considerations [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 2005，36（3）：517-524.
[5] 郑红， 郭亚军， 李勇， 刘芳华. 保险精算方法在期权定价模型中的应用[J]. 东北大学学报：自然科学版 ， 2008（3）：430-431.