论文部分内容阅读
摘 要： 创新是一个民族进步的灵魂，在数学教学中必须高度重视开发学生的创新潜能，有计划、有目的地对学生进行科学训练.教师在教学中要注意适时引导学生发现知识间的联系，将有关概念、定理进行归纳综合，使之系统化，训练学生的系统思维，掌握发现数学内在规律的方法.创新教育是时代的要求，教师要根据不同的教学内容，采用不同的教学方法培养学生的创新能力.
关键词： 创新思维 逆向思维 直觉思维 联想思维 发散思维
数学被称为探索和发明的乐土，是思维训练颇佳的工具.数学是一门培养思维能力的基础课程，数学教学的任务不但是使学生获得新的知识，而且要促进学生思维能力的发展，同时要培养学生自觉运用数学知识、考虑和处理日常生活生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质.创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，在教学中必须高度重视开发学生的创新潜能，有计划、有目的地对学生进行科学训练.
一、训练学生的逆向思维，学会从反面分析问题
逆向思维是有意地从常规思维的反向思考问题的思维方式，在数学里，正逆运算、正逆定理、正向或逆向应用公式、互为对称关系、综合法与分析法、直接证法和反证法等，都反映思维过程中思维方向的改变.逆向思维具有求异性、探索性和发散性等特征，能培养学生突破原有的思维模式寻求新的思维方式的思维能力，具有很大的创造性.
例1：已知：0 证法一（综合法）：
∵02a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，以上诸式相加，得1+a+…+a■+a■+…+a■>2na■，
即有1+a+…+a■>（2n+1）a■，从而■>（2n+1）a■.
两边同乘以1-a，得1-a■>（2n+1）a■（1-a），即得证：（2n+1）a■（1-a）<1-a■.
证法二（分析法）：
∵0 也就是■■+a■<1+a+…+a■
=（1+a■）+（a+a■）+…+（a■+a■）+a■……①
因为1+a■>2a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，所以不等式①成立，从而原不等式成立.
这个不等式还可以用比较法、反证法证明（略）.
从所给的证法可以看到，正向思维与逆向思维的思维方向虽然完全不同，但逆向思维并不完全是以相反的程序重复正向思维的过程，思维方向的改变并不是简单的思维过程的颠倒，而是有着实质性的差异.了解它们在思维过程中的区别与联系，能有效地培养学生的逆向思维，学会反向分析问题.
二、训练学生的直觉思维，掌握凭直觉思考问题的方法
直觉思维是运用有关知识对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能发现解决问题的方向和途径的思维形式，是以高度省略、简化、浓缩的洞察问题实质的思维.教学中不仅要强调思维的严密性、知识的完整性、结论的正确性，更应重视学生的直觉思维.直觉思维要求学生有相当的知识结构和娴熟的推理技能，因此要强化基础知识教学，完善学生知识结构，同时在教学中要鼓励学生猜想、大胆假设，展开合理想象，提高学生对直觉的敏感性；教给学生捕捉直觉的方法，让学生尽可能多地获得解决问题的经验等.
例2：已知u=cosα+isinα，v=cosβ+isinβ，且u+v=■+■i.（1）求tan（α+β）的值；（2）求u■+v■+uv的值.
[直觉1]复数问题三角化：由u+v得cosα+cosβ=■sinα+sinβ=■，两式相除得tan■后，再由万能公式得tan（α+β），sin（α+β），cos（α+β），这样uv确定后，（1）（2）均迎刃而解.
[直觉2]复数问题代数化：由|u|=|v|=1，可设u=x+yi（x，y∈R），v=（■-x）+（■-y）i，从而得x，y的方程组，求出u，v后可确定uv的值，使问题得解.
[直觉3]复数问题整体化：∵u+v=u·v·■+v·u·■=u·v·（■+■），∴uv=■=（u+v）■，可得uv的值.
三、训练学生的联想思维，掌握举一反三、触类旁通的创新方法
由此及彼的类比、联想，常能拓宽我们的视野，启发我们的思维.运用类比、联想法探索解题的规律和方法，不仅有利于基础知识和基本技能的掌握和巩固，而且对于提高发现问题、分析问题、解决问题的能力无疑是极其重要的.
例3：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是圆x■+y■=r■上的两点，k■=k（非零常数，下同），P■P■平移时，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
分析：把圆的方程化为■+■=1，∵Q（x，y）是P■P■的中点，∴OQ⊥P■P■.
∵k■·k■=-1，∴■·k=-1=-■，即得所求的轨迹方程为y=-■x.
由于Q点只能在圆内部，故所求轨迹为直线y=-■x在已知圆内的部分.
由此我们可以类比联想到：
问题1：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是椭圆■+■=1，（a>b>0）上的两点，k■=k，当P■P■平移時，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
问题2：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是双曲线为■-■=1，（a>b>0）上的两点，k■=k，当P■P■平移时，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
这两个问题是否也有类似的解法？
事实上，问题1只需利用k■k■=-■，即■·k=-■.
由此可求得点Q的轨迹为直线y=-■x在已知椭圆内部的一条线段. 问题2可仿问题1利用k■k■=■，
亦可求得点Q的轨迹为直线y=■x在已知双曲线内部的两条射线（|k|>■）或经过中心的一条线段（|k|<■）.
通过对条件与条件、结论与结论、结论与条件、新题与旧题之间的“联动”思维，分析其内在联系，从而“碰撞”到解题思路的入口.
四、训练学生的发散思维，让学生掌握全方位考虑问题的方法
所謂发散思维其本质特征是思维的多向性，表现在对已知信息进行多方面、多角度、多层次的思考.在解题时，若能将问题逐步引申，使解题思路能顺利迁移，寻求多种解题途径，则不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养和发展学生的发散思维.
例4：已知f（x）=■，a、b为相异实数，求证：|f（a）-f（b）|<
|a-b|.
这一习题从解题方法的角度进行发散，不难得出如下几种解题思路：
思路一：按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去绝对值符号，作差比较，利用配方法证之.
思路二：注意函数f（x）=■的结构特征，设x=tanα转化为三角不等式证之.
思路三：考虑方程y=■表示双曲线y■-x■=1的上支，■是双曲线上两点（a，f（a））与（b，f（b））连线斜率的绝对值，于是问题可转化为双曲线上支任一弦所在直线斜率的估计问题，而双曲线y■-x■=1的渐近线斜率为x=±1，问题即可得证.
思路四：考察表达式■=■可视作P（x，1）到（0，0）的距离，当a≠b时，由点P■（a，1），P■（b，1）和原点确定的三角形OP■P■中任一边大于其余两边之差即可证得结论.
思路五：观察函数f（x）=■的特点，联想到复数的模，可构造复数z=1+xi，利用复数的三角不等式进行证明.
通过从不同角度引导学生，使学生能全方位地考虑问题，这对促进知识之间的横向联系，提高解题能力，培养学生思维的广阔性是十分有益的.在教学中还可以通过一式多变、一题多问、一题多思等方法培养学生的发散思维.
教师在教学中要注意适时引导学生发现知识间的联系，如教学完一单元，布置学生写单元小结，将有关概念、定理进行归纳综合，使之系统化，训练学生的思维能力，使其掌握发现数学内在规律的方法.总之，创新教育是时代的要求，教师要根据不同的教学内容，采用不同的教学方法培养学生的创新能力.
关键词： 创新思维 逆向思维 直觉思维 联想思维 发散思维
数学被称为探索和发明的乐土，是思维训练颇佳的工具.数学是一门培养思维能力的基础课程，数学教学的任务不但是使学生获得新的知识，而且要促进学生思维能力的发展，同时要培养学生自觉运用数学知识、考虑和处理日常生活生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质.创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，在教学中必须高度重视开发学生的创新潜能，有计划、有目的地对学生进行科学训练.
一、训练学生的逆向思维，学会从反面分析问题
逆向思维是有意地从常规思维的反向思考问题的思维方式，在数学里，正逆运算、正逆定理、正向或逆向应用公式、互为对称关系、综合法与分析法、直接证法和反证法等，都反映思维过程中思维方向的改变.逆向思维具有求异性、探索性和发散性等特征，能培养学生突破原有的思维模式寻求新的思维方式的思维能力，具有很大的创造性.
例1：已知：0
∵0
即有1+a+…+a■>（2n+1）a■，从而■>（2n+1）a■.
两边同乘以1-a，得1-a■>（2n+1）a■（1-a），即得证：（2n+1）a■（1-a）<1-a■.
证法二（分析法）：
∵0
=（1+a■）+（a+a■）+…+（a■+a■）+a■……①
因为1+a■>2a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，所以不等式①成立，从而原不等式成立.
这个不等式还可以用比较法、反证法证明（略）.
从所给的证法可以看到，正向思维与逆向思维的思维方向虽然完全不同，但逆向思维并不完全是以相反的程序重复正向思维的过程，思维方向的改变并不是简单的思维过程的颠倒，而是有着实质性的差异.了解它们在思维过程中的区别与联系，能有效地培养学生的逆向思维，学会反向分析问题.
二、训练学生的直觉思维，掌握凭直觉思考问题的方法
直觉思维是运用有关知识对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能发现解决问题的方向和途径的思维形式，是以高度省略、简化、浓缩的洞察问题实质的思维.教学中不仅要强调思维的严密性、知识的完整性、结论的正确性，更应重视学生的直觉思维.直觉思维要求学生有相当的知识结构和娴熟的推理技能，因此要强化基础知识教学，完善学生知识结构，同时在教学中要鼓励学生猜想、大胆假设，展开合理想象，提高学生对直觉的敏感性；教给学生捕捉直觉的方法，让学生尽可能多地获得解决问题的经验等.
例2：已知u=cosα+isinα，v=cosβ+isinβ，且u+v=■+■i.（1）求tan（α+β）的值；（2）求u■+v■+uv的值.
[直觉1]复数问题三角化：由u+v得cosα+cosβ=■sinα+sinβ=■，两式相除得tan■后，再由万能公式得tan（α+β），sin（α+β），cos（α+β），这样uv确定后，（1）（2）均迎刃而解.
[直觉2]复数问题代数化：由|u|=|v|=1，可设u=x+yi（x，y∈R），v=（■-x）+（■-y）i，从而得x，y的方程组，求出u，v后可确定uv的值，使问题得解.
[直觉3]复数问题整体化：∵u+v=u·v·■+v·u·■=u·v·（■+■），∴uv=■=（u+v）■，可得uv的值.
三、训练学生的联想思维，掌握举一反三、触类旁通的创新方法
由此及彼的类比、联想，常能拓宽我们的视野，启发我们的思维.运用类比、联想法探索解题的规律和方法，不仅有利于基础知识和基本技能的掌握和巩固，而且对于提高发现问题、分析问题、解决问题的能力无疑是极其重要的.
例3：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是圆x■+y■=r■上的两点，k■=k（非零常数，下同），P■P■平移时，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
分析：把圆的方程化为■+■=1，∵Q（x，y）是P■P■的中点，∴OQ⊥P■P■.
∵k■·k■=-1，∴■·k=-1=-■，即得所求的轨迹方程为y=-■x.
由于Q点只能在圆内部，故所求轨迹为直线y=-■x在已知圆内的部分.
由此我们可以类比联想到：
问题1：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是椭圆■+■=1，（a>b>0）上的两点，k■=k，当P■P■平移時，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
问题2：设P■（x■，y■），P■（x■，y■）是双曲线为■-■=1，（a>b>0）上的两点，k■=k，当P■P■平移时，试求P■P■的中点Q的轨迹方程.
这两个问题是否也有类似的解法？
事实上，问题1只需利用k■k■=-■，即■·k=-■.
由此可求得点Q的轨迹为直线y=-■x在已知椭圆内部的一条线段. 问题2可仿问题1利用k■k■=■，
亦可求得点Q的轨迹为直线y=■x在已知双曲线内部的两条射线（|k|>■）或经过中心的一条线段（|k|<■）.
通过对条件与条件、结论与结论、结论与条件、新题与旧题之间的“联动”思维，分析其内在联系，从而“碰撞”到解题思路的入口.
四、训练学生的发散思维，让学生掌握全方位考虑问题的方法
所謂发散思维其本质特征是思维的多向性，表现在对已知信息进行多方面、多角度、多层次的思考.在解题时，若能将问题逐步引申，使解题思路能顺利迁移，寻求多种解题途径，则不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养和发展学生的发散思维.
例4：已知f（x）=■，a、b为相异实数，求证：|f（a）-f（b）|<
|a-b|.
这一习题从解题方法的角度进行发散，不难得出如下几种解题思路：
思路一：按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去绝对值符号，作差比较，利用配方法证之.
思路二：注意函数f（x）=■的结构特征，设x=tanα转化为三角不等式证之.
思路三：考虑方程y=■表示双曲线y■-x■=1的上支，■是双曲线上两点（a，f（a））与（b，f（b））连线斜率的绝对值，于是问题可转化为双曲线上支任一弦所在直线斜率的估计问题，而双曲线y■-x■=1的渐近线斜率为x=±1，问题即可得证.
思路四：考察表达式■=■可视作P（x，1）到（0，0）的距离，当a≠b时，由点P■（a，1），P■（b，1）和原点确定的三角形OP■P■中任一边大于其余两边之差即可证得结论.
思路五：观察函数f（x）=■的特点，联想到复数的模，可构造复数z=1+xi，利用复数的三角不等式进行证明.
通过从不同角度引导学生，使学生能全方位地考虑问题，这对促进知识之间的横向联系，提高解题能力，培养学生思维的广阔性是十分有益的.在教学中还可以通过一式多变、一题多问、一题多思等方法培养学生的发散思维.
教师在教学中要注意适时引导学生发现知识间的联系，如教学完一单元，布置学生写单元小结，将有关概念、定理进行归纳综合，使之系统化，训练学生的思维能力，使其掌握发现数学内在规律的方法.总之，创新教育是时代的要求，教师要根据不同的教学内容，采用不同的教学方法培养学生的创新能力.